2025年高起专山东省数学试题含答案

2025年高起专山东省数学试题含答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x^33x^24x+1在x=2处的导数为0，则f(2)的值为（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：C

解析：首先求出f(x)的导数f'(x)=6x^26x4。因为f'(2)=0，代入x=2得：6×2^26×24=0，解得x=2。再将x=2代入f(x)得：f(2)=2×2^33×2^24×2+1=1。

2.若函数g(x)=x^22x+c在x=1处取得最小值，则c的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：A

解析：函数g(x)的导数g'(x)=2x2。因为g(x)在x=1处取得最小值，所以g'(1)=0，代入x=1得：2×12=0。又因为g(1)=1^22×1+c，所以c=0。

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，则数列的通项公式为（）

A.an=4n3

B.an=4n1

C.an=2n+1

D.an=2n1

答案：D

解析：等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，所以an=SnS(n1)=(2n^2+n)[2(n1)^2+(n1)]=2n1。

4.设函数h(x)=|x2|+|x3|，则h(x)的最小值为（）

A.1

B.2

C.3

D.5

答案：B

解析：函数h(x)在x=2和x=3处有折点。当x<2时，h(x)=(x2)(x3)=2x+5；当2≤x<3时，h(x)=(x2)(x3)=1；当x≥3时，h(x)=(x2)+(x3)=2x5。所以h(x)的最小值为1。

5.若直线y=kx+1与圆(x1)^2+(y2)^2=4相切，则k的取值为（）

A.1

B.1

C.1或1

D.不能确定

答案：C

解析：圆心坐标为(1,2)，半径为2。直线y=kx+1与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径。根据点到直线的距离公式，得：|k×12+1|/√(k^2+1)=2。解得k=1或k=1。

6.若函数f(x)=(xa)^2+(xb)^2在x=2处取得最小值，则a和b的关系为（）

A.a=b

B.a+b=4

C.ab=4

D.a+b=2

答案：B

解析：f(x)=(xa)^2+(xb)^2=2x^22(a+b)x+a^2+b^2。因为f(x)在x=2处取得最小值，所以f'(2)=0，代入x=2得：42(a+b)=0，解得a+b=4。

7.若等比数列{bn}的前n项和为Sn=3^n1，则数列的公比q为（）

A.3

B.1/3

C.2

D.4

答案：A

解析：等比数列{bn}的前n项和为Sn=3^n1，所以bn=SnS(n1)=(3^n1)(3^(n1)1)=2×3^(n1)。所以公比q=bn/b(n1)=2×3^(n1)/(2×3^(n2))=3。

8.若函数g(x)=x^24x+c在x=2处取得最大值，则c的取值范围是（）

A.c>0

B.c≥4

C.c≤4

D.c<0

答案：B

解析：函数g(x)的导数g'(x)=2x4。因为g(x)在x=2处取得最大值，所以g'(2)=0，代入x=2得：2×24=0。又因为g(2)=2^24×2+c=48+c，所以c≥4。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则a、b、c满足的关系是______。

答案：b=2a

解析：函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，代入x=1得：2a×1+b=0，解得b=2a。

10.若等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则首项a1的值为______。

答案：2

解析：等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，所以a1=S1=1^2+1=2。

11.若函数g(x)=|x1|+|x+1|的最小值为2，则x的取值范围是______。

答案：x=1或x=1

解析：函数g(x)在x=1和x=1处有折点。当x<1时，g(x)=(x1)(x+1)=2x；当1≤x≤1时，g(x)=(x1)(x+1)=2；当x>1时，g(x)=(x1)+(x+1)=2x。因为g(x)的最小值为2，所以x=1或x=1。

12.若直线y=kx+1与圆(x2)^2+(y3)^2=9相切，则k的取值范围是______。

答案：k=±√2

解析：圆心坐标为(2,3)，半径为3。直线y=kx+1与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径。根据点到直线的距离公式，得：|k×23+1|/√(k^2+1)=3。解得k=±√2。

13.若函数f(x)=(x1)^2+(x2)^2在x=3处取得最小值，则a和b的关系是______。

答案：a+b=5

解析：f(x)=(x1)^2+(x2)^2=2x^26x+5。因为f(x)在x=3处取得最小值，所以f'(3)=0，代入x=3得：6×36=0，解得a+b=5。

14.若等比数列{bn}的前n项和为Sn=4^n1，则数列的公比q的取值范围是______。

答案：q>1

解析：等比数列{bn}的前n项和为Sn=4^n1，所以bn=SnS(n1)=(4^n1)(4^(n1)1)=3×4^(n1)。所以公比q=bn/b(n1)=3×4^(n1)/(3×4^(n2))=4。因为q>1，所以q的取值范围是q>1。

三、解答题（每题20分，共60分）

15.已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调区间。

解析：首先求出f(x)的导数f'(x)=3x^212x+9。令f'(x)=0，得：3x^212x+9=0，解得x=1或x=3。

当x<1时，f'(x)>0，所以f(x)在(∞,1)上单调递增；当1<x<3时，f'(x)<0，所以f(x)在(1,3)上单调递减；当x>3时，f'(x)>0，所以f(x)在(3,+∞)上单调递增。

16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+2n，求首项a1和公差d。

解析：由题意得，a1=S1=1^2+2×1=3。

当n≥2时，an=SnS(n1)=(n^2+2n)[(n1)^2+2(n1)]=2n+1。

所以an=3+(n1)d，代入an=2n+1得：2n+1=3+(n1)d，解得d=2。

17.已知直线y=kx+1与圆(x2)^2