2025年高起专云南数学（理科）试题含答案

2025年高起专云南数学（理科）试题含答案一、选择题（每小题5分，共40分）

1.已知集合A={x|x<2}，集合B={x|x≤3}，则A∪B的取值范围是（）

A.x<2

B.x≤3

C.x<3

D.x≤2

答案：B

解析：集合A包含所有小于2的数，集合B包含所有小于或等于3的数。A∪B即两个集合的并集，表示同时满足A或B的元素。因此，A∪B的取值范围是x≤3。

2.若函数f(x)=2x+1的图像经过点P(3,7)，则f(x)的图像也一定经过点（）

A.(2,5)

B.(3,6)

C.(4,9)

D.(5,11)

答案：C

解析：由f(x)=2x+1，代入点P(3,7)，得23+1=7，符合函数关系。将选项依次代入函数，发现只有选项C满足24+1=9，因此函数图像也经过点(4,9)。

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=35，S10=110，则该数列的公差d等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：B

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2[2a1+(n1)d]，得S5=5/2[2a1+4d]=35，S10=10/2[2a1+9d]=110。解得a1=1，d=3。

4.已知函数f(x)=x^24x+c在x=2时取得最小值，则c的值等于（）

A.4

B.3

C.4

D.3

答案：A

解析：函数f(x)=x^24x+c可以写成f(x)=(x2)^24+c，当x=2时取得最小值，此时f(2)=c4。因为最小值为0，所以c4=0，得c=4。但题目要求最小值，因此c=4。

5.已知三角形ABC的面积为12，且a=4，b=6，则三角形ABC的角A的余弦值为（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

答案：B

解析：由三角形面积公式S=1/2absinC，得sinC=2S/ab=212/(46)=1/2。因为C为锐角，所以cosC=√(1sin^2C)=√(1(1/2)^2)=√(3/4)=√3/2。但题目要求角A的余弦值，由余弦定理cosA=(b^2+c^2a^2)/(2bc)，代入a=4，b=6，得cosA=1/3。

6.已知椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1，则该椭圆的离心率e等于（）

A.1/2

B.√3/2

C.√2/2

D.√5/2

答案：A

解析：椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a^2=4，b^2=3，所以a=2，b=√3。离心率e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，c=√(a^2b^2)=√(43)=1。所以e=1/2。

7.已知函数g(x)=x^33x+c在x=1时取得极值，则c的值等于（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：A

解析：函数g(x)=x^33x+c的导数g'(x)=3x^23。当x=1时取得极值，所以g'(1)=0，代入得31^23=0，解得c=0。

8.已知函数h(x)=x^22x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为（）

A.0和1

B.1和0

C.4和0

D.4和1

答案：C

解析：函数h(x)=x^22x+1可以写成h(x)=(x1)^2。在区间[0,3]上，当x=1时，h(x)取得最小值0；当x=3时，h(x)取得最大值4。

二、填空题（每小题5分，共40分）

9.已知函数f(x)=2x+3的图像与直线y=5平行，则函数f(x)的图像与直线y=5的交点坐标为______。

答案：(1,5)

解析：函数f(x)=2x+3的斜率为2，与直线y=5平行，所以交点的横坐标为x=1，代入f(x)得纵坐标为5。

10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=27，则该数列的首项a1等于______。

答案：3

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2[2a1+(n1)d]，得S3=3/2[2a1+2d]=12，S6=6/2[2a1+5d]=27。解得a1=3，d=2。

11.已知三角形ABC的面积为18，且a=5，b=8，则三角形ABC的角B的余弦值为______。

答案：1/3

解析：由三角形面积公式S=1/2absinC，得sinC=2S/ab=218/(58)=9/20。因为C为锐角，所以cosC=√(1sin^2C)=√(1(9/20)^2)=√(11/400)=√11/20。由余弦定理cosB=(a^2+c^2b^2)/(2ac)，代入a=5，b=8，得cosB=1/3。

12.已知椭圆的方程为x^2/9+y^2/4=1，则该椭圆的焦距2c等于______。

答案：2√5

解析：椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a^2=9，b^2=4，所以a=3，b=2。焦距2c=2√(a^2b^2)=2√(94)=2√5。

13.已知函数g(x)=x^33x+c在x=2时取得极值，则c的值等于______。

答案：4

解析：函数g(x)=x^33x+c的导数g'(x)=3x^23。当x=2时取得极值，所以g'(2)=0，代入得32^23=9，解得c=4。

14.已知函数h(x)=x^24x+5在区间[1,3]上的最大值和最小值分别为______。

答案：9和1

解析：函数h(x)=x^24x+5可以写成h(x)=(x2)^2+1。在区间[1,3]上，当x=2时，h(x)取得最小值1；当x=1时，h(x)取得最大值9。

三、解答题（每小题20分，共60分）

15.已知函数f(x)=x^22x+1，求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

答案：最大值为4，最小值为0。

解析：函数f(x)=x^22x+1可以写成f(x)=(x1)^2。在区间[0,3]上，当x=1时，f(x)取得最小值0；当x=3时，f(x)取得最大值4。

16.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，求该数列的前10项和。

答案：110。

解析：等差数列{an}的前n项和的公式为Sn=n/2[2a1+(n1)d]。代入a1=1，d=2，n=10，得S10=10/2[21+(101)2]=110。

17.已知椭圆的方程为