2025年绵阳市绵中初升高自主招生考试数学试卷带答案

2025年绵阳市绵中初升高自主招生考试数学试卷带答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若两个角的和为180°，则这两个角中必有一个角是直角的充分必要条件是（）

A.其中一个角大于90°

B.其中一个角小于90°

C.其中一个角等于90°

D.其中一个角不等于90°

答案：C

解析：两个角的和为180°，则这两个角互补。若其中一个角为直角，则另一个角也必为直角，所以这两个角中必有一个角是直角的充分必要条件是其中一个角等于90°。

2.已知函数f(x)=x²2x+1，那么下列说法正确的是（）

A.函数在x=1处取得最小值

B.函数在x=1处取得最大值

C.函数的图像开口向上

D.函数的图像开口向下

答案：C

解析：f(x)=x²2x+1=(x1)²，这是一个开口向上的二次函数，顶点坐标为(1,0)。所以函数的图像开口向上。

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，S6=27，则公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(2a1+(n1)d)。由S3=9，得3/2(2a1+2d)=9；由S6=27，得6/2(2a1+5d)=27。解得d=2。

4.已知三角形ABC，BC=6，AC=8，AB=10，则∠BAC的度数为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

答案：D

解析：根据勾股定理，BC²+AC²=AB²，即6²+8²=10²，所以三角形ABC为直角三角形，∠BAC为直角，即90°。

5.下列关于x的不等式中，有解的是（）

A.x²+1<0

B.x²1<0

C.x²+2x+1<0

D.x²+2x+3<0

答案：B

解析：A选项的左边为平方加1，总是大于0，所以无解；B选项的左边为平方减1，当x在(1,1)之间时，有解；C选项的左边为完全平方，总是大于等于0，所以无解；D选项的左边为平方加2x加3，判别式小于0，所以无解。

6.已知函数g(x)=2x3，f(x)=x²2x+1，则下列说法正确的是（）

A.g(x)与f(x)在x=1处相交

B.g(x)与f(x)在x=2处相交

C.g(x)与f(x)在x=3处相交

D.g(x)与f(x)无交点

答案：B

解析：将g(x)与f(x)相等，得2x3=x²2x+1，解得x=2。所以g(x)与f(x)在x=2处相交。

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n²n，则数列{an}的通项公式为（）

A.an=2n1

B.an=2n2

C.an=n²n

D.an=n²+n

答案：A

解析：当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=SnSn1=(2n²n)(2(n1)²(n1))=2n1。所以数列{an}的通项公式为an=2n1。

8.若函数y=x²+kx+1的图像与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）

A.k<0

B.k>0

C.k≠0

D.k的取值范围为全体实数

答案：A

解析：函数与x轴有两个交点，则判别式D=k²4>0，解得k<0。

二、填空题（每题5分，共40分）

9.已知函数f(x)=|x2||x+3|，求f(x)在x=1处的值。

答案：1

解析：f(x)=|x2||x+3|，当x=1时，f(1)=|12||1+3|=32=1。

10.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a3+a5=12，a2+a6=16，求d。

答案：2

解析：由等差数列的性质，a3=a1+2d，a5=a1+4d，a2=a1+d，a6=a1+5d。所以a3+a5=2a1+6d=12，a2+a6=2a1+6d=16。解得d=2。

11.若函数y=x²2x+c的图像与x轴有交点，求c的取值范围。

答案：c≤1

解析：函数与x轴有交点，则判别式D=(2)²41c≥0，解得c≤1。

12.已知三角形ABC的面积为12，且BC=4，AC=5，求AB的长度。

答案：3

解析：由三角形面积公式S=1/2absinC，得sinC=2S/(ab)=212/(45)=0.6。由正弦定理，AB/sinC=AC/sinB，得AB=ACsinC/sinB=50.6/sinB=3。

13.若数列{an}的前n项和为Sn=n²+2n，求an的通项公式。

答案：an=2n+1

解析：当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=SnSn1=(n²+2n)[(n1)²+2(n1)]=2n+1。所以数列{an}的通项公式为an=2n+1。

14.若函数y=2x3与y=x²2x+1的图像有两个交点，求实数a的取值范围。

答案：a≠0

解析：将y=2x3代入y=x²2x+1，得x²4x+4=0，判别式D=(4)²414=0，所以x=2。但此时函数y=2x3与y=x²2x+1的图像只有一个交点，所以实数a的取值范围为a≠0。

三、解答题（共20分）

15.（10分）已知函数f(x)=x²+ax+b，其中a、b为实数。若f(x)在x=1处取得最小值，求a、b的值，并求出f(x)的最小值。

答案：a=2，b=1，f(x)的最小值为0。

解析：f(x)在x=1处取得最小值，所以顶点坐标为(1,f(1))。由顶点公式，顶点坐标为(a/2,f(a/2))，所以a/2=1，解得a=2。将a=2代入f(x)，得f(x)=x²2x+b。由顶点公式，f(1)=b1，所以b1=0，解得b=1。所以f(x)=x²2x+1，f(x)的最小值为0。

16.（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn=n²+n，求：

（1）数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}的前10项和。

答案：（1）an=2n+1；（2）S10=110。

解析：（1）当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，an=SnSn1=(n²+n)[(n1)²+(n1)]=2n+1。所以数列