《分析力学(全2册)》-10

10.1运动稳定性和小振动理论由Poincare和.TISIHyHOR创立的运动稳定性理论广泛应用于陀螺力学、自动控制、机器的运转、电力的传输、飞行器姿态动力学等诸多方面。小振动是发生在系统稳定平衡位置附近的微小振动。10.1.1平衡条件及平衡位置的稳定性一般完整力学系统的Lagrange方程有形式(8.3.13)，即下一页返回10.1运动稳定性和小振动理论

定理1(Lagrange-Dirichlet)如果在保守系统的某个平衡位置上势能有严格的极小，那么此位置是系统稳定的平衡位置。定理1的反述是指，平衡稳定，则势能取极小。有时反述也是对的，但一般是不对的。10.1.2运动稳定性的一些概念和结论首先，介绍一些基本概念。方程(10.1.1)可化成2n个一阶方程，记作上一页下一页返回10.1运动稳定性和小振动理论是方程(10.1.6)的一个特解，称其为无扰运动，其他的运动yi(t)称为受扰运动。令xi=yi(t)-fi(t)(10.1.8)并称之为扰动，则方程(10.1.6)成为这样，原系统的无扰运动就化成以扰动xi为变量的系统的零解，而原系统无扰运动的稳定性就相应于系统(10.1.9)的零解的稳定性。定理2(JISIHyHOR)如果对于受扰运动微分方程(10.1.9)，可以找到一个定号函数V，而由受扰运动方程求出的V是与V异号的常号函数或者恒等于零，则无扰运动xi=0(i=1,2,...,m)是稳定的。上一页下一页返回10.1运动稳定性和小振动理论定理3(JISIHyHOR)如果对于受扰运动微分方程(10.1.9)，可以找到一个定号函数V，它具有无穷小上界，而由于运动方程求出的V是与V异号的定号函数，则无扰运动xi=0(i=1,2,...,m)是渐近稳定的。上一页下一页返回10.1运动稳定性和小振动理论10.1.3保守系统的小振动小振动是自然界和工程实际中常见的一种现象。振动理论由Galilei研究摆的小振动开始，18世纪中叶由Taylor,d'Aembert,Euler和BernoulliD发展。有限自由度动力系统振动的一般理论由I,agrange给出。用分析力学的方法研究力学系统的小振动，可以得到具有极为概括的结果。研究保守系统在稳定平衡位置附近的小振动。设系统的位形由n个广义坐标qs(s=1，2，...,n)来确定，稳定平衡位置为qs=0。系统的动能和势能分别为上一页下一页返回10.1运动稳定性和小振动理论假设V(0)=0，于是在原点邻域展开T,V，得得到小振动方程用矩阵表示为其中上一页下一页返回10.1运动稳定性和小振动理论主振动的表达式为

其中、称为主频率;非零矢量称为与主频率、相应的主振型矢量。将式(10.1.23)代入式(10.1.21)，得到为保证主振型矢量非零，主频率必须满足方程上一页下一页返回10.1运动稳定性和小振动理论这就是主频率方程。为用主振动这样的特解来构造振动系统的通解，需要找出系统所有的主频率和所有相互独立的主振型。定理5(展开定理)如果振动系统的频率方程det(C-λA)=0的根λ1,λ2,...,λn互不相等，则系统的任一振动均可用主振动的线性组合来构造。10.1.4新约束对振动系统周期的影晌在主坐标qs(s=1,2,...,n)下，系统的动能和势能表示为上一页返回下一页10.1运动稳定性和小振动理论假设附加约束表示为

因qs(s=1,2,...,n)是小量，函数f按qs的幂展开，可仅保留一次项，即其中As(s=1,2,...，n)为常数。由式(10.1.38)可解出qn于是有这时，动能和势能表示为上一页下一页返回10.1运动稳定性和小振动理论10.1.5应用举例例1炮弹旋转运动的稳定性。假设炮弹质心做匀速直线运动，炮弹轴与该轴在发射的铅垂平面上的投影之间的夹角为R，这个投影与炮弹质心轨迹之间的夹角为a，运动微分方程为

其中C,为炮弹的轴惯性矩;A为对过质心的横轴的惯性矩;n为炮弹旋转角速度在其对称轴上的常量投影;。为质心和压力中心间的距离;R为迎面阻力。这些都是常数。方程有待解

下一页上一页返回10.1运动稳定性和小振动理论取此运动为无扰运动。为研究其稳定性，用积分组合方法构造JIRnysos函数V。将第一个方程乘以月，第二个方程乘以acos，然后相加并积分，得到第一个积分下一页上一页返回10.1运动稳定性和小振动理论上一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学10.2.1简史重刚体绕固定点运动问题是理论力学中最激起学者们好奇心的问题之一，寻求刚体动力学的精确解乃是分析力学的精华。1758年，Euler建立了刚体动力学方程并给出刚体动力学问题的一般提法。从1758年到1959年这200年间，人们得到了刚体绕定点转动问题的12种解，其中3种为通解，9种为特解。各种解的发现没有一般方法，主要靠研究者技巧，并且在很大程度上带有偶然性。有关刚体定点运动动力学已有多种专著出版。刚体动力学的新成就是20世纪后半叶以苏联学者Xapnamos为首的一批学者的贡献。文献指出，如果刚体的运动被表示为角速度的动矢端图在定矢端图上的滚动，刚体动力学的解才称为完全解。文献还给出构造完全解的算法。下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学10.2.2Euler-Poisson方程及三种经典可积情形1)Euler-Poisson方程研究刚体在重力作用下绕固定点口的转动问题。设刚体总质量为M，刚体质心在与刚体相固联的轴系中的坐标为(xG,yG,zG)。铅垂向上的单位矢量在连体轴上投影为Y,Y',Y''。假设连体轴为刚体在点口的惯性主轴，惯性主矩记作A,B,C。刚体角速度在连体轴上投影为p,q,r,Euler动力学方程为上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学2)Euler-Poisson方程的三个第一积分现将Euler-Poisson方程(10.2.1)，(10.2.2)写成形式3)Euler-Poisson方程的三种经典可积情形(1)Euler-Poinsot情形。

(2)Lagrange-Poisson情形

(3)KosanescKa情形10.2.3XapnaMoB方程及其降阶问题1)专门坐标轴中的运动方程取任意直角坐标系Oξ1ξ2ξ3，轴向单位矢量e1,e2,e3固联在刚体上，动量矩为

K=x1e1+x2e2+x3e3上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学角速度为w=w1e1+w2e2+w3e3因为K=w·L其中上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学10.2.4Euler-Poisson方程的若干特殊可积情形Euler-Poinsot情形、Lagrange-Poisson情形和Kosanescxa，情形是Euler-Poisson方程的通解。如果不仅对刚体质量分布加以限制，而且对运动的初始条件也加以限制，则找到的解为特解。从1890年到1959年，共找到9种特解。1)Hess情形(1890年)在Hess情形，对刚体质量分布的限制条件为

此时有第四个积分

条件(10.2.25)表示刚体动量矩在固定点口与质心‘的连线上的投影为零，这是对运动初始条件的限制，它是一个特殊积分。上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学2)Boomnes-CTeKnos情形(1896年)在此情形，对刚体质量分布的限制条件为B=2A，xG=zG=0(10.2.26)此时积分为

3)CTeKjos情形(1899年)在此情形，对刚体质量分布的限制条件为上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学

4)Topnues情形(1899年)在此情形，对刚体质量分布的限制条件为

此时有其中以及上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学5)Tattrruu情形(1904年)在此情形，对刚体质量分布的限制条件为

此时有其中上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学6)Kowalewski情形(1908年)在此情形，对刚体质量分布的限制条件为此时有以及其中b为常数，而上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学7)Iopuues-LIa-Trruu情形(1900年)在此情形，对刚体质量分布的限制条件为

此时有8)Grioli情形(1947年)在此情形，对刚体质量分布的限制条件为

此时有积分上一页下一页返回10.2刚体定点转动问题的分析动力学9)Xapnamosa情形(1959年)在此情形，对刚体质量分布的限制条件为yG=0上一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程

随着科学技术的发展，对复杂系统的动力学研究变得越来越重要。这些复杂系统的运动包括载体的运动以及被载体相对于载体的运动。研究复杂系统的运动，可在惯性坐标系中进行，也可在固联于载体上的动坐标系中进行。用分析力学的理论与方法研究力学系统的相对运动动力学，不仅在表现形式上达到统一，而且对复杂系统显示出优越性。20世纪初，Whittaker研究了受匀速转动约束的Lagrange方程。20世纪60年代，JIYhb。研究了完整系统的一般相对运动动力学。对非完整系统，也可研究其相对运动动力学。下一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程10.3.1被载体相对运动微分方程的一般形式研究一质点系，它由载体和被载体组成，而被载体由N个质点组成。假设载体的运动已知，需要确定被载体的运动，并且假设被载体的运动不改变载体事先给定的运动规律。上一页下一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程上一页下一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程下面由Lagrange方程导出相对运动动力学的Lagrange方程。将Lagrange方程表示为其中为Euler算子。做计算，得这里星号“、”表示在计算Eule:算子时对时间的导数是在与载体相固联的坐标系中进行的。将式(10.3.9)和式(10.3.10)代入方程(10.3.8)，得上一页下一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程下面说明方程(10.3.11)右端各项的力学意义。矢量称为平移运动的广义惯性力，其中V')为这些力的均匀场势能。角速度投影的二次型为离心力势能，而量为广义离心力。又上一页下一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程为广义转动惯性力。最后一项表示广义Coriolis惯性力，同时也可作为广义陀螺力其中陀螺系数为最后，将式(10.3.12),(10.3.14),(10.3.15)和(10.3.17)代入式(10.3.11),到上一页下一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程10.3.2被载体相对运动微分方程的几种特殊形式首先，如果载体做平移，则有其次，如果载体做定点运动，可取固定点为基点，则有

最后，如果载体做定轴匀速转动，则再上一页下一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程10.3.3能量方程现将广义力Qs分成两部分其中Qs''为有势力而Qs'为非势力。这样方程(10.3.19)可写成形式

其中，将方程(10.3.24)两端乘以q并对s求和，得到上一页下一页返回10.3相对运动动力学的Lagrange方程10.3.4相对平衡是被载体的相对平衡位置。当研究被载体相对平衡时，自然要提出下述问题:①载体怎样运动才存在相对平衡;②如何确定可能的相对平衡位置;③什么样的相对平衡位置是稳定的，什么样的是不稳定的。限于研究载体的这样运动:载体上任何点的加速度，对于与载体固联的轴系来说，其大小和方向都不改变，因此，基点的加速度和载体的角速度对载体来说大小和方向保持不变。此外，还解设方程(10.3.19)中的广义力Qs不依赖于时间。10.3.5应用举例上一页返回下一页10.3相对运动动力学的Lagrange方程例1在重力作用下，一质量为刀:的质点在半径为a的光滑圆管中运动，此圆管以角速度、绕与其平面成a角并过圆心的固定铅垂轴‘无匀速转动。试建立质点的相对运动微分方程，并研究其相对平衡位置。解:问题属于载体以匀角速度、做定轴转动的情形。取质点离圆管最低点张角e为广义坐标，则相对运动动能为势能为

在圆管上固联一坐标系Ox'y‘z‘，其中Oz‘与Oz重合，Oy与Oy'垂直且在圆管平面内，Ox'与Oy‘，Oz成右手系，如图10.5所示。质点的相对坐标为上一页返回下一页10.3相对运动动力学的Lagrange方程上一页返回10.4变质量系统的Lagrange方程由于空间技术和其他工业技术的发展，变质量系统动力学的研究日渐重要。喷气飞机、火箭、卫星、航天器等，一般都是变质量系统。1897年，俄国学者MemepcKUUIIB(1859-1935)在他的博士学位论文《变质量质点动力学》中提出了变质量质点的动力学方程，后人称为MemepcxHH方程。以MemepcKUu方程为基础，可建立变质量系统的牛顿力学和Lagrange力学的基本框架。10.4.1变质量力学系统的d'Alembert-Lagrange原理研究由N个质点组成的力学系统。在瞬时t，第i个质点的质量为mi(i=1,2,...,N);在瞬时t+dt，由质点分离(或并入)的微粒的质量为dmi。对每个质点列写下一页返回10.4变质量系统的Lagrange方程其中Y;为点的加速度;m;为点的质量;F;为作用在点上的主动力的合力;R,`为约束力的合力;R;为反推力其中u;为由质点分离(或并入)的微粒相对质点的速度。将方程(10.4.1)两端点乘car;，并对i求和，考虑到理想约束条件则有上一页下一页返回10.4变质量系统的Lagrange方程这就是变质量力学系统的d'Olembert-Lagrange原理。下面将原理(10.4.3)表示为广义坐标形式。假设系统的位形由二个广义坐标(1，2，...n)来确定。令为把质量当作常数时对、和对母的偏导数，令ds/dt为把质量当作常数时对时间t的导数，分别称为凝固偏导数和凝固导数。系统的动能为由凝固偏导数的定义，有上一页下一页返回10.4变质量系统的Lagrange方程取凝固导数，有