2025年高考数学函数零点及极值问题习题真题

2025年高考数学函数零点及极值问题习题真题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.e^2C.1/eD.1/e^23.函数f(x)=x^4-4x^3+3在x=1处的切线方程为（）A.y=x-1B.y=-2x+3C.y=2x-1D.y=-x+24.函数f(x)=ln(x^2+1)-x在定义域内的单调递减区间为（）A.(-∞,0)B.(0,∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,∞)5.函数f(x)=x^3-3x^2+2的极小值点为（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=36.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的零点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的导数为（）A.0B.1C.-1D.28.函数f(x)=x^3-3x^2+2的拐点坐标为（）A.(1,0)B.(2,-1)C.(0,2)D.(1,1)9.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为（）A.0B.2C.3D.410.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图像关于直线x=1对称的充分必要条件是（）A.f(1-x)=f(1+x)B.f(1-x)=-f(1+x)C.f(1-x)=2f(1+x)D.f(1-x)=f(1-x)二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.函数f(x)=x^3-3x^2+2的零点从左到右依次为__________。12.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=__________。13.函数f(x)=x^4-4x^3+3在x=1处的切线斜率为__________。14.函数f(x)=ln(x^2+1)-x在x=0处的导数为__________。15.函数f(x)=x^3-3x^2+2的极小值点对应的函数值为__________。16.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像与x轴的交点坐标为__________。17.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的二阶导数为__________。18.函数f(x)=x^3-3x^2+2的拐点对应的函数值为__________。19.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最小值为__________。20.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图像关于直线x=1对称的充分必要条件是__________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极大值。（）22.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值。（）23.函数f(x)=x^4-4x^3+3在x=1处的切线方程为y=2x-1。（）24.函数f(x)=ln(x^2+1)-x在定义域内单调递减。（）25.函数f(x)=x^3-3x^2+2的极小值点为x=2。（）26.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的零点个数为2个。（）27.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的导数为0。（）28.函数f(x)=x^3-3x^2+2的拐点坐标为(1,0)。（）29.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为3。（）30.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图像关于直线x=1对称。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的零点，并判断其奇偶性。32.求函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值的条件，并求出极值。33.求函数f(x)=x^4-4x^3+3在x=1处的切线方程，并判断该切线的单调性。34.求函数f(x)=ln(x^2+1)-x的极值点，并判断其极值类型。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其在区间[-1,3]上的最大值和最小值。36.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值，并判断极值类型。37.已知函数f(x)=x^4-4x^3+3，求其在x=1处的切线方程，并判断该切线的单调性。38.已知函数f(x)=ln(x^2+1)-x，求其在定义域内的单调递减区间，并判断其极值类型。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：f(x)=x^3-3x^2+2，f(-1)=-1，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=0，零点为x=0和x=3。2.A解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，a=e。3.B解析：f'(x)=4x^3-12x^2，f'(1)=-8，切线方程为y-0=-8(x-1)，即y=-2x+3。4.A解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-1，令f'(x)<0，解得x∈(-∞,0)。5.C解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，x=0或x=2，f''(2)=-6<0，x=2为极小值点。6.C解析：f(x)=|x-1|+|x+1|，零点为x=1和x=-1。7.A解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0。8.A解析：f''(x)=12x-12，令f''(x)=0，x=1，f(1)=0，拐点为(1,0)。9.C解析：f(-1)=6，f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=2，最大值为3。10.A解析：f(1-x)=(-1-x)^3+3(-1-x)^2-2=-x^3-3x^2-2，f(1+x)=x^3+3x^2+2，f(1-x)+f(1+x)=0。二、填空题11.-1，1，2解析：f(x)=x^3-3x^2+2=(x+1)(x-1)^2，零点为-1，1，2。12.e解析：见单选题2。13.-2解析：f'(1)=4-12=-8。14.-1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-1，f'(0)=-1。15.-1解析：见单选题5。16.(-1,0)，(1,0)解析：|x-1|+|x+1|=0，无解，零点为-1和1。17.6解析：f''(x)=12x-12，f''(2)=12。18.0解析：见单选题8。19.-1解析：见单选题5。20.f(1-x)=f(1+x)解析：见单选题10。三、判断题21.×解析：f''(2)=-6<0，x=2为极小值点。22.×解析：f''(1)=e>0，x=1为极大值点。23.√解析：见简答题33。24.×解析：f'(0)=0，非单调递减。25.√解析：见单选题5。26.√解析：见单选题6。27.√解析：见单选题7。28.√解析：见单选题8。29.√解析：见单选题9。30.√解析：见单选题10。四、简答题31.解：f(x)=x^3-3x^2+2=(x+1)(x-1)^2，零点为-1，1（重根）。奇偶性：f(-x)=-x^3-3x^2+2≠f(x)，非偶函数；f(-x)≠-f(x)，非奇函数。32.解：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，a=e。f''(x)=e^x，f''(1)=e>0，x=1为极小值点，极小值为e-1。33.解：f'(x)=4x^3-12x^2，f'(1)=-8，切线方程为y-0=-8(x-1)，即y=-8x+8。单调性：f''(x)=12x^2-24x，f''(1)=-12<0，切线单调递减。34.解：f'(x)=2x/(x^2+1)-1，令f'(x)=0，2x=x^2+1，x^2-2x+1=0，x=1。f''(x)=-2x^2/(x^2+1)^2，f''(1)=-2/4=-1/2<0，x=1为极小值点。五、应用题35.解：f(-1)=6，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=2，最大值为6，最小值为-1。36.解：见单选题2，a=e，f(x)=e^x-ex，f'(x)=e^x-e，f''(x)=e^x-e，f''(1)=0，f'''(1)