直角三角形（一）课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明1.3.1直角三角形一学习目标1.回顾直角三角形的相关知识,并能证明直角三角形的性质和判定.2.能运用直角三角形的性质和判定解决问题.3.了解互逆命题的概念及其互相关系.温故知新我们曾经探索过直角三角形,你还记得与直角三角形相关的一些结论吗?1.直角三角形的定义是？2.直角三角形的内角有什么性质？3.直角三角形的边有什么性质？(2)直角三角形的两个锐角互余.有一个是直角的三角形叫直角三角形.(1)三角形的内角和等于

180°.(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边

等于斜边的一半.(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(2)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形上面的结论中哪些是我们还没有证明过的？你能证明吗？新知探究证明：直角三角形的两个锐角互余.如图，在△ABC中，∠A+∠B

=

90°，求证:△ABC

是直角三角形.证明：在△ABC

中，∠A+∠B+∠C

=

180°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠C

=

90°.

∴△ABC

是直角三角形定理：直角三角形的两个锐角互余.将这个定理的条件和结论互换，请写出这个命题，是真命题吗？为什么？如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形是真命题判定定理你还记得勾股定理的一些证明方法吗？勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

c

2=2ab+b

2-

2ab+a

2，c

2=a

2+b

2，∴a

2+b

2=c

2.cca

ca

cb

aabbb图1cabcabcabcab图2bacbc图3尝试写出图2与图3的推理过程你还有其它不同方法吗？将勾股定理的条件和结论互换，请写出这个命题，是真命题吗？为什么？

如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图，在

△ABC中，AC2+BC2=AB2.求证：△ABC是直角三角形ABC分析：要证明一个三角形是直角三角形，

你有什么方法？（1）定义：有一个角是直角。（2）定理：有两个角互余。由此你有什么想法？利用边的关系，构造一个直角三角形，并证明△ABC与它全等。证明：作Rt△DEF，∠E=90°，使DE=AC，FE=BC，则

DE2+EF2=DF2∵AC2+BC2=AB2，DE=AC，FE=BC∴AB2=DF2.∴AB=DF.∴△ABC≌△DFE(SSS).∴∠C=∠E=90°.∴△ABC

是直角三角形．DFE

┏ABC定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三

边的平方，那么这个三角形是直角三角形．小结内化1.直角三角形的判定方法有哪些?(1)定义:有一个是直角的三角形叫直角三角形.(2)定理1:有两个锐角互余的三角形是直角三角形(3)定理2:如果一个三角形两边的平方和等于第三

边的平方，那么这个三角形是直角三角形2.直角三角形的性质有哪些?(1)直角三角形的两个锐角互余.(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的

直角边等于斜边的一半观察·交流观察下列三组命题,它们的条件和结论之间都有怎样的关系?如果两个角是对顶角,那么它们相等;如果两个角相等,那么它们是对顶角。1.如果a=b,那么a2=b2;如果a2=b2,那么a=b。2.一个三角形中相等的边所对的角相等;一个三角形中相等的角所对的边相等。3.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,定义1:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题

的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题;如果把其中一个

命题称为原命题,那么另一个命题就称为它的逆命题。1.找出本节课所学的互逆命题,它们都是真命题吗?尝试·思考(1)直角三角形的两个锐角互余;两锐角互余的三角形是直角三角形.(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;三角形两边的平方和等于第三边的平方,这个三角形是直角三角形.

都是真命题定义2:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,

其中一个定理称为另一个定理的逆定理,像这样的一对定理称为

互逆定理。2.你还能举出一些互逆定理吗?3.真命题的逆命题一定是真命题吗?举例说明.原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。1.下列说法中，正确的是()A.每个命题不一定都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题仍是真命题D.假命题的逆命题未必是假命题当堂测评D2.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，在下列条件中，

能确定△ABC的形状是直角三角形的是有(

)个A

A4,B3,C2,D1.3.将一副直角三角尺和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的45°和60°角的顶点及它们的一条直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺的下沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是(

)B4.如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上的点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内的点F处。连接DF，已知DF＝3。(1)求证：△ADF为直角三角形；证明：由折叠的性质，得AB＝AF＝4。

又∵AD＝5，DF＝3，

∴DF2＋AF2＝AD2，

∴△ADF是直角三角形。(2)求线段BE的长。解：由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF。易知∠AFD＝90°，∴∠DFE＝180°，∴D，F，E三点共线。设BE＝x，则EF＝x，∴DE＝3＋x，∵BC＝AD＝5，∴CE＝5－x。由勾股定理，得DE2＝DC2＋EC2，即(3＋x)2＝42＋(5－x)2，解得x＝2，∴BE＝2。(1)如图①，P是△ABC内一点，且∠A＝60°，∠ABP＝10°，∠ACP＝20°，求证：P是△ABC的一个直角点；∵在△ABC中，∠A＝60°，∴∠ACB＋∠ABC＝120°.又∵∠ABP＝10°，∠ACP＝20°，∴∠PBC＋∠PCB＝90°.∴∠BPC＝90°.∴P是△ABC的一个直角点．

定义：P是△ABC所在平面内任意一点(不与点A，B，C重合)，若点P与点A，B，C中的某两点的连线的夹角是直角，则称P是△ABC的一个直角点．证明:挑战一下(2)如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，P是射线CD上△ABC的一个直角点，求CP的长．(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)分析:P是△ABC的直角点,则以P为顶点的直角可能

有几种情况?①∠APB＝90°②∠APC＝90°③∠BPC＝90°

②当∠APC＝90°时，如图③.设CP＝x，则DP＝5－x.在Rt△APC和Rt△APD中，由勾股定理，得AP2＝AC2－CP2，AP2＝AD2－DP2，∴AC2－CP2＝AD2－DP2，即62－x2＝52－(5－x)2，解得x＝3.6，即CP＝3.6③当∠CPB＝90°时，如图④.设CP＝y，则DP＝y－5.在Rt△BPD和Rt△BPC中，由勾股定理，得BP2＝BD2－DP2，BP2＝BC2－CP2，∴BC2－CP2＝BD2－DP2，即82－y2＝52－(y－5)2，解得y＝6.4，即CP＝6.4.综上所述，CP的长为10或3.6或6.4.课堂小结这节课你学会了什么?直角三角形1.直角三角形的判定:(1)定义:有一个是