认识三角形课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章三角形

4.1认识三角形第1课时三角形及其内角和初中数学北师大版（2024）七年级下册学习目标1.认识三角形的概念及三角形的基本要素.2.掌握三角形内角和定理，并能灵活应用解决问题.

(重点、难点)3.掌握直角三角形的两个锐角互余的性质.(重点)4.会将三角形按角分类.情境引入观察图形，回答下列问题：

(1)你能从图中找出4个不同的三角形吗？(2)这些三角形有什么共同的特点？2026/3/3一、三角形及其有关概念知识梳理1.三角形的定义：由

的三条线段

相接所组成的图形叫作三角形.2.三角形的基本元素：边、角、顶点.3.三角形的表示方法：顶点为A，B，C的三角形，记作△ABC，读作三角形ABC.注意点：△ABC的三边有时也用a，b，c表示，通常，顶点A所对的边BC用a来表示，边AC、边AB分别用b，c来表示.不在同一直线上首尾顺次例1

(1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形；(2)以AB为边的三角形有哪些？(3)以E为顶点的三角形有哪些？(4)说出△BCD的三个角.解(1)5个，△ABE，△BCE，△CDE，△ABC，△BCD.(2)△ABE，△ABC.(3)△ABE，△BCE，△CDE.(4)∠DBC，∠BCD，∠D.跟踪训练1

(1)观察下列图形，其中是三角形的是解析A选项中2条线段没有相接，所以不是三角形；B选项中满足三角形的定义，所以是三角形；C选项中有2条线段相交，没有首尾顺次相接，所以不是三角形；D选项中有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形.√(2)图中三角形的个数是A.1 B.2C.3 D.4解析题图中的三角形有△ABD，△ABC，△BCD，共有3个.√(3)如图，在△ACE中，∠CEA的对边是

.

AC2026/3/3二、三角形的内角和问题(1)剪一张三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3，如图1.提示平行；内错角相等，两直线平行.将∠1撕下，按图2所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合.此时，∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗？为什么？(2)如图3所示，将∠3与∠2的公共边延长，它与b所夹的角为∠4.∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？现在，你能够确定这个三角形的内角和了吗？提示相等；两直线平行，同位角相等.知识梳理三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于

.180°例2

如图，已知D是△ABC中BC边延长线上的一点，F为AB上一点，直线FD交AC于点E，∠DFB=90°，∠A=46°，∠D=50°.求∠ACB的度数.解在△DFB中，因为∠DFB=90°，∠D=50°，∠DFB+∠D+∠B=180°，所以∠B=40°，在△ABC中，因为∠A=46°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A-∠B=94°.反思感悟求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解.若不能直接求解，可利用三角形内角和列方程求解.跟踪训练2

(1)根据图中的数据，可得x+y的值为A.180 B.110C.100 D.70

解析由题图可知x°+y°=180°-70°=110°，所以x+y=110.√(2)如图，在△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4=

.

解析因为∠A+∠1+∠2=∠A+∠3+∠4=180°，∠A=50°，所以∠1+∠2=∠3+∠4=130°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=260°.260°(3)如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=55°.求∠BAC的度数.解因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，所以∠DAC=180°-90°-55°=35°，∠1=∠2=45°，所以∠BAC=∠1+∠DAC=45°+35°=80°.2026/3/3三、三角形的分类及直角三角形两锐角的相关性质知识梳理1.按三角形内角的大小把三角形分为三类：_________________________

.2.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.3.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角

.注意点：如图，通常，把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边.锐角三角形、钝角三角形和直角三角形互余例3

如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解∠CAE=∠DBE.理由如下：在Rt△AEC中，因为∠C=90°，所以∠CAE+∠AEC=90°(直角三角形两锐角互余).在Rt△BDE中，因为∠D=90°，所以∠DBE+∠BED=90°(直角三角形两锐角互余).因为∠AEC=∠BED(对顶角相等)，所以∠CAE=∠DBE(等角的余角相等).跟踪训练3

(1)在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为A.40° B.45°C.50° D.60°√(2)在△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠A的度数是A.45° B.30°C.90° D.60°√解析在△ABC中，∠C=90°，所以∠A+∠B=90°，因为∠A=2∠B，所以3∠B=90°，所以∠B=30°，所以∠A=2∠B=60°.(3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.下列结论中，不一定成立的是A.∠A与∠1互余B.∠B与∠2互余C.∠A=∠2D.∠1=∠2√解析A选项中，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，所以∠A与∠1互余，正确；B选项中，在Rt△BCD中，∠BDC=90°，所以∠B与∠2互余，正确；C选项中，∠A+∠1=90°，∠1+∠2=90°，所以∠A=∠2，正确；D选项中，∠A=∠2，∠B=∠1，且由题干信息无法得到∠A=∠B，则∠1不一定等于∠2，错误.课堂小结1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.2.按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形.3.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.1.如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是A.① B.②

C.③ D.都不对课堂练习√解析因为△ABD是由线段AB，BD，AD首尾顺次连接所组成的封闭图形，所以△ABD对应的图形是①.2.一个锐角三角形的任意两个锐角的和一定

第三个锐角

A.大于 B.小于C.等于 D.无法确定√解析设△ABC是锐角三角形，所以∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°，因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B>90°，所以∠A+∠B>∠C，即一个锐角三角形的任意两个锐角的和一定大于第三个锐角.课堂练习3.如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为A.3 B.4C.5 D.6√解析以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB，共4个三角形.课堂练习4.△ABC三个内角之比是2∶3∶5，△ABC是A.等腰三角形

B.锐角三角形C.钝角三角形

D.直角三角形√

课堂练习第2课时三角形的三边关系第四章三角形4.1认识三角形初中数学北师大版（2024）七年级下册学习目标1.掌握三角形三条边之间的关系，并能应用解决问题.(重点、难点)2.能将三角形按边分类.情境引入为什么要修建嘉兴至宁波的杭州湾跨海大桥？即汽车从嘉兴到宁波“经过杭州走”和“从大桥走”哪一个近？为什么？2026/3/3一、三角形按边分类问题1

观察如图的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？提示三角形的三边有的各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.知识梳理1.三边互不相等的三角形是不等边三角形.2.等腰三角形：有

边相等的三角形.3.等边三角形：

边都相等的三角形.(又叫正三角形)4.三角形按边可以得到如下分类：两注意点：注意三角形按角分为三类，按边分为两类.注意等边三角形是特殊的等腰三角形.三例1

下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是√跟踪训练1

下列说法正确的是①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.A.①②

B.③④C.①②③④

D.①②④√解析①等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故错误；②三角形按边可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形，故错误；③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故正确；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故正确.2026/3/3二、三角形中三边之间的关系问题2

在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？提示三角形的任意两边之和大于第三边.两点之间线段最短.知识梳理1.三角形的任意两边之和

第三边.2.三角形的任意两边之差

第三边.大于小于例2

下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是A.1，1，2 B.2，3，4C.2，4，5 D.6，8，10解析因为1+1=2，所以1，1，2不能作为三角形的三边长，故A符合题意；因为2+3>4，所以2，3，4能作为三角形的三边长，故B不符合题意；因为2+4>5，所以2，4，5能作为三角形的三边长，故C不符合题意；因为6+8>10，所以6，8，10能作为三角形的三边长，故D不符合题意.√例3

(课本P89例题)有两根长度分别为5

cm和8

cm的木棒，用长度为2

cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？用长度为13

cm的木棒呢？解用长度为2

cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.用长度为13

cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.反思感悟(1)若已知三条线段的长度，只需判断两条较短线段的长度和是否大于最长的线段，就可以判断这三条线段能否组成三角形了.若三条线段的长度未知，则必须满足任意两条线段的长度之和大于第三条线段，才能判断能否组成三角形.(2)由三角形任意两边的和大于第三边，容易得到三角形任意两边之差小于第三边，进一步得到三角形的任意一边小于其他两边的和，大于其他两边的差，据此若已知两边可判断第三边的取值范围.跟踪训练2

(1)在下列几组数中，能组成三角形的是A.2，3，6 B.3，5，9C.3，4，5 D.2，3，5解析A选项，2+3=5<6，不能组成三角形；B选项，3+5=8<9，不能组成三角形；C选项，3+4=7>5，能够组成三角形；D选项，2+3=5，不能组成三角形.√(2)在△ABC中，已知AC=3，BC=4，则AB的取值范围是A.6<AB<8 B.1<AB<7C.2<AB<14 D.1<AB<14解析因为AC=3，BC=4，所以4-3<AB<4+3，即1<AB<7.√(3)一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边长可以是

.(写出一个即可)

解析设第三边长为x，由题意得5-2<x<5+2，则3<x<7，故第三边长可为5(答案不唯一，大于3且小于7之间的数均可).5课堂小结1.三角形按边分类：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，三边都相等的三角形叫作等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形.2.三角形中三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边.1.中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久.明明准备制作一个三角形的风筝，搭风筝骨架时，他已经准备了两条竹篾，长度分别是4分米，9分米，则第三条竹篾的长度可以是A.3分米 B.5分米C.10分米 D.13分米课堂练习√解析因为两边长分别为4分米和9分米，所以第三边c满足9-4<c<9+4，即5<c<13，所以10分米符合条件.2.嘉嘉家和淇淇家到学校的直线距离分别是5

km和3

km，若嘉嘉家、淇淇家和学校不在同一条直线上，那么嘉嘉家和淇淇家的直线距离不可能是A.1

km B.3

kmC.6

km D.7

km√课堂练习3.三角形按边可分为A.等腰三角形，直角三角形，锐角三角形B.直角三角形，不等边三角形C.等腰三角形，不等边三角形D.等腰三角形，等边三角形√课堂练习4.一个三角形的两边长分别是4和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是

.

解析设第三边长为a，根据三角形的三边关系，得7-4<a<7+4，即3<a<11，因为a为整数，所以a的最大值为10.10课堂练习第3课时三角形的高、中

线及角平分线第四章三角形

4.1认识三角形初中数学北师大版（2024）七年级下册学习目标1.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，并能在具体的三角形中画出它们.(重点)2.掌握三角形的高、中线、角平分线的有关性质，并能应用解决问题.(重点、难点)情境引入小学我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？2026/3/3一、三角形的高知识梳理1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的

，简称三角形的高.2.三角形的三条高所在的直线交于一点.注意点：任意一个三角形都有三条高，它们所在的直线相交于一点，三条高所在直线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部.高线例1

如图，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D，E，F，△ABC中AC边上的高是线段A.CF B.BEC.AD D.CD解析因为BE⊥AC于点E，所以△ABC中AC边上的高是线段BE.√反思感悟三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点.(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上.跟踪训练1

如图所示的四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是√2026/3/3二、三角形的中线知识梳理1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的

.2.三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的

.注意点：(1)三角形的中线是一条线段并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在该顶点的对边上.(2)三角形的中线平分一条边.(3)三角形有三条中线，无论三角形的形状如何，三条中线的交点都在三角形的内部.(4)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.中线重心例2

如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为A.2 B.3 C.4 D.5解析因为AD为中线，所以BD=CD，则△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=8-5=3.√跟踪训练2

(1)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是A.线段DEB.线段BEC.线段EFD.线段FG解析△ABC的中线一定过该三角形的一个顶点，观察图形，点E是AC的中点，边AC所对顶点为B，则BE是△ABC的中线.√(2)如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD=5，CD=9，则CE的长为A.5 B.6C.7 D.8

√(3)如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的A.三边高的交点B.三条角平分线的交点C.三边垂直平分线的交点D.三边中线的交点解析因为支撑点应是三角形的重心，所以这个点应是三角形三边中线的交点.√(4)如图，BD是△ABC的中线，G是BD上的一点，且BG=2GD，连接AG，若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积是

.

22026/3/3三、三角形的角平分线知识梳理1.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的

叫作三角形的

.2.三角形的三条角平分线交于一点.线段角平分线

∠2∠ABC∠4(或∠ACF)

∠BAC2∠BAC(2)如图，在△ABC中，