角平分线（一）课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明1.5.1角平分线一学习目标1.经历证明角平分线的性质定理及判定定理的过程，进一步

体会证明的方法和必要性，发展思维和推理能力.2.掌握角平分线的性质定理和判定定理并能运用其解决问题.温故知新1.我们曾经探索过与角平分线,与角平分线相关的知识有哪些？(1)角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线就叫这个角的角平分线.(2)角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等AOBC

∠AOC=∠BOCDEPPD=PE2.尝试证明(2)中结论.证明线段相等常用的方法有哪些?(1)若在不同三角形中,利用三角形全等证之.(2)若在同一个三角形中,证等角对等边,或中垂线性质.新知探究证明:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等AOBC

DEP已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.∵∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°.性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE.注意:三个条件,一个结论作用:已知角平分线,证垂线段相等典例精析1.如图，AC平分∠DAB,CB＝CD，，CE⊥AD于点E.(1)求证：∠D＋∠ABC＝180°；(2)若AE＝10，DE＝4，则AB=

.证明:如图，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.

F∵CE⊥AD，AC平分∠DAB∴CE＝CF∴∠D＝∠CBF∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，在Rt△DCE和Rt△BCF中DC=BC,CE=CF∴Rt△CDE≌△RtCBF6常作辅助线:过角平分线的一点,

作边的垂线尝试·思考写出,“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这个定理的逆命题它是真命题吗?请你证明自己结论的正确性。在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.是真命题已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：OP平分∠AOB.OBAPED12∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴在Rt△DCE和Rt△BCF中

PD=PE，

OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2即：OP平分∠AOB.判定定理:在角的内部,到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.BADOPEC几何语言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)作用:已知垂线段相等,证角平分线典例精析2.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，∴AD平分∠BAC()又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.

解:在角的内部,到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半当堂测评1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，

PD＝3，M是OC上的一动点,则PM的最小值是(

)A．4B．3C．2D．1B2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，

垂足分别为C，D，连接CD，则下列关系不

一定成立的是(

)A．PC＝PD

B．OC＝ODC．CD垂直平分OP

D．PO平分∠CPDC3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C

的度数为(

)A．30°B．45°

C．60°D．75°C4.如图，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线上有一点

P，PM∥AB，PD⊥AB，PM＝6，则AD＝______________.

5.在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________。36.(1)如图①，点N在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D，求证：∠BAC＝2∠D；证明:(2)如图②，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.连接AD，求证：AD平分∠CAM；如图，过点D作DP⊥BM于点P，DQ⊥AC于点Q，∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACN，∴DP＝DE，DQ＝DE，∴DP＝DQ，∴AD平分∠CAM.证明:PQ(3)如图③，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，2∠ACD＋∠ACB＝180°，若∠BDC＝20°，求∠DAC的度数.如图②，过点D分别作DP⊥BA交BA的延长线于点P，