垂直平分线（一）课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明1.4.1垂直平分线一学习目标1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.温故知新我们曾经探索过线段垂直平分线,说一说什么是线段垂直平分线,它有什么性质?垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线

(如下图)PABlC∵PC⊥AB，AC=BC∴∠PCA=∠PCB．应用格式:你能证明这个性质吗?线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等新知探究如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等如果点P与点C重合,那么结论成立吗?典例精析1.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分线

段AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE.(1)若AB＝6，△DEC的周长为7，求△ABC的周长；(2)若∠ABD＝15°，∠C＝45°，求∠CED的度数.∵BD垂直平分线段AE，∴BE＝BA＝6，DA＝DE.∵△DEC的周长为7，即DE＋CE＋CD＝7，∴AD＋EC＋DC＝AC＋EC＝7.∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC=AB＋BE＋EC＋AC＝6＋6＋7＝19.解:(2)若∠ABD＝15°，∠C＝45°，求∠CED的度数.∵BD⊥AE，AB＝BE，∴∠EBD＝∠ABD＝15°，∠BAE＝∠BEA.∴∠BEA＝＝75°.又∵∠C＝45°，∴∠CAE＝75°－45°＝30°.∵DA＝DE，∴∠DEA＝∠DAE＝30°.∴∠CED＝180°－75°－30°＝75°.解:尝试·思考1.你能写出垂直平分线性质定理的逆命题吗?定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。2.它是真命题吗?请证明自己结论的正确性。分析:(1)这一点与这条线段的位置关系有几种情况?是真命题点在线段上和点在线段外两种情况.AB(2)若点P在线段AB上这时点P是中点

显然P在AB的垂直平分线上.(3)若在线段AB外如图所示,你能证明吗?PPABP如图,已知AP=BP,求证:点P在直线l上.证明:（1）当点P在线段AB上时，∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.∴直线PC是线段AB的垂直平分线，∴点P也在线段AB的垂直平分线上.

C

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的判定定理(逆定理)：应用格式：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．PAB典例精析已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC。求证:直线AO垂直平分线段BC。证明：∵AB=AC，

∴A在线段BC的垂直平分线

（到一条线段两个端点距离相等的点，

在这条线段的垂直平分线上）同理，点O在线段BC的垂直平分线.∴直线AO是线段BC的垂直平分线

（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？典例精析证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC，OD＝OD，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.∴BD＝CD.∴直线AO垂直平分线段BC.D小试一下还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗?试用本节所学的定理解释其中的道理。ABCD由作图可知,AC=BC∴C在线段AB的垂直平分线同理，点D在线段AB的垂直平分线.∴直线CD是线段AB的垂直平分线当堂测评1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝6，则线段PB的长度为(

)A．3B．4C．6D．7C2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(

)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA3．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC，AB分别交于点M，N，连接BM，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为(

)A．1B．2C．4D．5A

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116.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，CF平分∠ACB，D是BC的中点，E是AC上一点，连接DE交CF于点O.(1)若△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等，则线段AE的长为________；2(2)若AC＝BC，DE⊥BC，∠ACB＝β，连接OA．

①求证：点O在线段AC的垂直平分线上；连接OB.

∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴OB＝OC.∵CF平分∠ACB，AC＝BC，∴CF垂直平分AB.∴OA＝OB.∴OA＝OC.∴点O在线段AC的垂直平分线上．

②求∠AOE的度数(用含β的式子表示).证明:

②求∠