《提公因式法》第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章因式分解第2课提公因式法第2课时提多项式公因式分解因式学习目标

1.通过对多项式结构的观察、对比探究,能精准识别以多项式为整体的公因式,规范完成含多项式公因式的因式分解.2.通过对互为相反数的多项式变形探究,能正确处理因式分解中的符号变换问题,总结奇偶次幂的符号变形规律,突破本节课的难点.3.通过拼图操作与面积计算的结合探究,能借助几何图形的面积意义解释因式分解的合理性,体会数形结合与整体代换的数学思想.教学设计的基本环节协作破冰问题构建情境启航教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计情境启航

回顾问题：前两节课我们认识了因式分解，谁能说一说什么是因式分解？它和整式乘法有什么本质区别与联系？追问1：上节课我们学习了提取单项式公因式分解因式，谁能说说提公因式法的基本步骤是什么？提取公因式的核心关键是什么？

追问3:如果一个多项式不能提取单项式类型的公因式，要如何分解因式？这样的问题具备怎样的特点？问题构建

问题1:大家观察多项式a(𝑥−3)+2b(𝑥−3)，它和我们刚才分解的多项式相比，结构上有什么相同点和不同点？你还能找到它的公因式吗？相同点:都是由两个项组成,两项都含有公共的因式,都可以用提公因式法分解.不同点:刚才分解的多项式,公因式是单项式2ab；这个多项式的两项中,公共的部分是多项式(𝑥−3),不是单项式.能找到公因式,公因式就是多项式(𝑥−3),可以把(𝑥−3)看作一个整体,当作公因式提取.问题构建

问题2:多项式a(𝑥−3)+2b(𝑥−3)的两项中,都含有相同的部分(𝑥−3)，如果我们把(𝑥−3)看作一个整体，它是不是这个多项式的公因式？你的判断依据是什么？(𝑥−3)是这个多项式的公因式.判断依据:公因式的定义是多项式各项都含有的公共的因式,这个多项式的第一项a(𝑥−3)含有因式(𝑥−3),第二项2b(𝑥−3)也含有因式(𝑥−3)，因此(𝑥−3)是这个多项式各项的公因式.追问1:如果我们用字母m代替多项式中(𝑥-3),你会得到怎样的式子？多项式变为am+2bm；用单项式提公因式法分解：am+2bm=m(a+2b)；再把m=𝑥−3代回，得到分解结果：(𝑥−3)(a+2b).问题构建

追问2:借助刚才的方法，你能直接分解a(𝑥−3)+2b(𝑥−3)吗？说一说你的分解依据和步骤？直接分解结果：a(𝑥−3)+2b(𝑥−3)=(𝑥−3)(a+2b)。分解依据：提公因式法,把多项式(𝑥−3)看作一个整体,当作公因式提取,利用乘法分配律的逆运算进行恒等变形.分解步骤：①确定公因式：两项的公因式为(𝑥−3)；②提取公因式：用原多项式的每一项除以公因式，得到括号内的项：a(𝑥−3)÷(𝑥−3)=a，2b(𝑥−3)÷(𝑥−3)=2b；③写成乘积形式：(𝑥−3)(a+2b).换元法是用一个新变量替换复杂表达式中重复出现的子式，简化运算后再代回原变量的方法.问题构建

问题构建

问题4:对比提取单项式公因式，提取多项式公因式的方法有什么相同之处？有什么需要特别注意的地方？相同之处：①核心逻辑一致，都是利用乘法分配律的逆运算，把公因式提取出来，将多项式化为公因式与另一个多项式的乘积；②步骤一致，都是“找公因式→提公因式→检查化简”；③找公因式的方法一致，都要找各项都含有的公共因式的最低次幂.特别注意的地方：①要运用整体思想，把多项式公因式看作一个整体，不能拆分；②提取公因式后，括号内的式子要去括号、合并同类项，化简到最简形式；③提取公因式后,不能漏写常数项1（比如本题中第一项提取公因式后剩下的1,不能省略）协作破冰问题5:我们刚才分解的多项式，公因式都是完全相同的多项式，现在请大家观察a(𝑥−y)+b(y−𝑥)，这个多项式的两项中，(𝑥−y)和(y−𝑥)有什么关系？它们还能直接作为公因式吗？(𝑥−y)和(y−𝑥)是互为相反数的关系，即y−𝑥=−(𝑥−y).它们不能直接作为公因式，因为两项的因式符号相反，需要先进行符号变形，统一成相同的因式，才能提取公因式.追问1:你能利用去括号法则，把(y−𝑥)变形为含有(𝑥−y)的式子吗？变形的依据是什么？变形结果：y−𝑥=−(𝑥−y).变形依据：去括号法则.协作破冰追问2:变形之后，这个多项式的公因式是什么？你能完成因式分解吗？变形后多项式为：a(𝑥−y)+b(y−𝑥)=a(𝑥−y)−b(𝑥−y)，此时公因式为(𝑥−y).完整分解过程：a(𝑥−y)+b(y−𝑥)=a(𝑥−y)−b(𝑥−y)=(𝑥−y)(a−b).

协作破冰问题6:结合刚才的探究，在处理互为相反数的多项式公因式时，你总结出了哪些规律？什么情况下需要变号？什么情况下不需要变号？核心规律：1.先判断多项式的次数：①偶次幂：互为相反数的两个多项式的偶次幂相等,变形时不需要改变符号，可直接统一；②奇次幂：互为相反数的两个多项式的奇次幂互为相反数,变形时需要添加负号，再统一因式。2.变形优先原则：通常统一成括号内首项符号为正的多项式，减少符号错误；3.变号规则：只改变其中一组互为相反数的因式，不能同时改变两项的符号，避免恒等变形出错.协作破冰问题7:现在你能再完善一下，提公因式法分解因式，完整的步骤和注意事项有哪些？完整步骤：①看：观察多项式的结构，判断各项是否有公因式，公因式是单项式还是多项式，是否需要符号变形；②变：对互为相反数的多项式因式，根据奇、偶次幂的规律进行符号变形，统一成相同的公因式；③找：确定多项式各项的公因式；④提：提取公因式，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积形式；⑤化：对括号内的式子去括号、合并同类项，化简到最简形式；⑥查：检查分解是否彻底，结果是否为整式的积，变形是否恒等，有无符号错误.注意事项：①整体思想②符号问题③不漏项④结果最简⑤互逆验证可以用整式乘法验证分解结果是否正确.教师示范问题8:我们在七年级学习整式乘法时，曾经用长方形的面积解释整式乘法的意义，今天老师给大家准备了3张长方形卡片，你能分别写出每张卡片的面积吗？卡片①：长为a，宽为n，面积为an；卡片②：长为n，宽为b，面积为bn；卡片③：长为a+b，宽为m，面积为m(a+b)教师示范问题9:用这三张卡片能不能拼成一个更大的长方形？如果可以，它的长和宽分别是多少？同样用两种方式表示它的面积，你能得到什么等式？可以拼成更大的长方形.拼接方法：先将卡片①和②沿宽拼接，得到一个长为a+b、宽为n的长方形，再将这个长方形与卡片③沿宽拼接，最终得到一个大长方形.大长方形的长：a+b，宽：m+n；整体面积：(a+b)(m+n)；各部分面积和：an+bn+m(a+b)；得到等式：an+bn+m(a+b)=(a+b)(m+n)巩固拓展问题10:结合拼图的过程，你能说说因式分解的几何意义是什么吗？它和整式乘法的几何意义有什么联系？因式分解的几何意义：可以看作是将几个小长方形的面积和，转化为一个大长方形的面积，也就是将“几个整式的和”转化为“两个整式的积”，对应因式分解“和差化积”的过程.联系：整式乘法的几何意义是“已知大长方形的长和宽，求面积”；因式分解的几何意义是“已知几个小长方形的面积和，求拼成的大长方形的长和宽（和差化积）”，二者是互逆的过程，都可以用长方形的面积来解释，体现了数形结合的数学思想.巩固拓展

当堂检测1.把下列各式因式分解：

当堂检测2.先因式分解，再计算求值：

当堂检测

当堂检测3.

如图，有甲、乙、丙三张长方形纸片.若用这三张纸片紧密拼接成一个长方形，则可得到一个多项式的因式分解为____________________________________.

反思总结本节课我们学习了提取多项式公因式进行因式分解，结合上节课的单项式提公因式法，你能完整地说一说提公因式法分解因式的通用步骤和核心要点吗？在处理含互为相反数