五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(河南专用)08：二次函数实际应用类型（教师版）

专题08二次函数实际应用类型考点一、二次函数实际建模问题1．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【答案】(1)，，(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．【详解】（1）解：在一次函数，令时，，∴，将代入中，可得：，解得：；（2）∵，，∴，选择扣球，则令，即：，解得：，即：落地点距离点距离为，∴落地点到C点的距离为，选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），即：落地点距离点距离为，∴落地点到C点的距离为，∵，∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．2．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)(2)2或6m【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为，（2）由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．3．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)小明的说法不正确，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（2）把，代入求解即可；（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.【详解】（1）解：，∴当时，h最大，故答案为：；（2）解：根据题意，得当时，，∴，∴（负值舍去）；（3）解：小明的说法不正确．

理由如下：由（2），得，当时，，解方程，得，，∴两次间隔的时间为，∴小明的说法不正确．专练一、二次函数应用-图形问题4．（2025·河南新乡·三模）如图，夏宇家一段长的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．”(1)夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为___________；(2)请利用所学函数知识，求出夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积．【答案】(1)40(2)【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．（1）求出夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解；（2）设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为，由题意可得求出，再由二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的长为，宽为，故夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为；故答案为：40（2）解：设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为，由题意可得：，，解得：，此时夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为，∵，∴当时，最大，为，故夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积为．5．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．(1)求证：．(2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值．【答案】(1)见解析(2)当时，有最大值，最大值为30【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．（1）根据矩形的性质易证，由三角形相似的性质及证明；（2）由（1）得，求出，，根据，利用而阐述的性质即可求解．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，又，，；（2）解：由（1）得，，，，．，当时，有最大值，最大值为30．6．（2025·河南周口·二模）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体；方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且．两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题：(1)对于方案1，设．①求的长度（用含x的代数式表示）；②求的最大值；(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．【答案】(1)①，②3600(2)选择两种方案均可，理由见解析【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确表示出养殖区的总面积．（1）①根据矩形的性质表示即可；②根据代入表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；（2）根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求出最大值，然后比较求解即可．【详解】（1）解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形，∴，，，∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，∴，∴，∵，，∴，解得；②由题意得，，∵，∴当时，有最大值，最大值为3600；（2）解：两种方案任选其一即可，理由如下：设方案2中的，∵，∴，∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，∴，∴，∴，即，∵，∴当时，y₂有最大值，最大值为3600．∵，∴两种方案养殖区总面积最大值相等，∴选择两种方案均可．7．（2025·河南漯河·一模）如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．(1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简）(2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值．(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？【答案】(1)(2)162(3)当时，取得最大值，最大值为180【分析】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解答本题的关键．（1）根据题意得米，根据矩形的面积公式可得结论；（2）根据正方形的性质可列方程，求得的长，可得的值；（3）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解．【详解】（1）解：∵的长为米，∴米，∴（平方米），故答案为：；（2）解：由题意，得，解得，（平方米），的值为162平方米；（3）解：．墙长为18米，正前方有两个1米宽的门，.，抛物线开口向下，当时，随着的增大而减小，当时，取得最大值，最大值为．8．（2025·河南濮阳·一模）综合与实践用硬纸板制作无盖纸盒问题背景在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）实践活动方案一：如右图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形方案二：如右图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形问题解决（1）在方案一中．①求制作无盖纸盒的底面边的长；②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值（2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式．（3）将（2）中的与x的几组对应值列表：1356781015191444346845004704473246084000150076如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接【答案】（1）①；②；（2）；（3）见解析【分析】本题考查了列代数式、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据题意用含x的式子表示长，并代入数值计算；（2）利用长方体的体积公式表示出图中纸盒的体积；（3）画出函数的图象，根据函数的图象解答即可．【详解】解：（1）①根据题意，得．答：边的长为.②根据题意，得.∵，，∴当时，有最大值，即单个无盖纸盒体积的最大值为.（2）根据题意，得.（3）描点、画函数图象如解图所示．画出方案一的函数图象，如解图所示．由图象，可知当时，方案二的纸盒体积更大；当时，两个方案的纸盒体积一样大；当时，方案一的纸盒体积更大．9．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践《数学》八年级上册的数学活动中，让用全等三角形研究“筝形”定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”（如图1）(1)［性质探究］根据“筝形”的定义，学生们通过探究，得出下列命题：①“筝形”有一组对角相等②“筝形”的对角线互相垂直平分③“筝形”的每一条对角线平分每一组对角④“筝形”的面积等于两条对角线长的乘积的一半其中，____________是真命题（填序号）；(2)［综合应用］如图1，筝形中，，，若，求筝形的面积的最大值；(3)［拓展实践］如图2是一块矩形铁片，其中厘米，厘米，张华想从这块铁片中裁出一个筝形，要求点是边的中点，点分别在上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大？若存在，求出筝形的面积最大值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)①④(2)12.5(3)存在，3000【分析】（1）由题意证明，然后得到垂直平分，然后逐项求解判断即可；（2）由得到，，根据，求出面积的最值即可；（3）由题意可知，分两种情况讨论：①当为中点时，如图2，筝形中，，，，则厘米，厘米，由（2）可知，根据，求出筝形的面积；②当与重合时，如图3，筝形中，，，，在中，由勾股定理得，求出的值，设，则，在中，由勾股定理得，即，求出的值，设，则，根据，可得，求出的值，如图3，作于，则，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，求出筝形的面积；然后比较①②的大小，进而可得结论．【详解】（1）解：如图所示，设，交于点O，在和中，∵，∴，∴，故①正确，是真命题；∵，∴垂直平分，但不一定垂直平分，故②错误，是假命题；∴，，∴平分和，但不一定平分和，故③错误，是假命题；∵∴“筝形”的面积，故④正确，是真命题；综上所述，①④是真命题；（2）解：∵∴，∵，∴，∴，∵，∴时，面积最大，值为；（3）解：由题意可知，分两种情况讨论：①当为中点时，如图2，筝形中，，，，∴厘米，厘米，由（1）可知，平方厘米；②当与重合时，如图3，筝形中，，，，在中，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，设，则，∵，∴，解得，如图3，作于，则，在中，由勾股定理得，∴平方厘米；∵，∴存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大，面积为3000平方厘米．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，二次函数的最值等知识．解题的关键在于明确筝形面积与对角线乘积的关系．专练二、二次函数应用图形运动问题10．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，二次函数的图象与性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．【详解】解：，，．∵矩形，∴，，．，．，，设，则，整理得，由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，抛物线过点，，解得，，，．故选：A．11．（2025·河南周口·三模）如图所示，等边三角形的边长为1，点D从点A出发，沿A→C→B运动．在运动过程中，过点D作边的垂线，交于点G．设线段的长度为x，的面积为y，则y关于x的函数图象正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的知识；根据题意可知，点C为临界点，分别研究D在C点两侧时的情况即可．【详解】解：当在中，，，，函数为开口向上的抛物线；当时，在中，，，，函数为开□向下的抛物线，根据解析式可知C正确，故选：C．12．（2025·河南信阳·模拟预测）如图1，正方形中，点从点出发，沿折线匀速运动，点运动到点时停止运动，过点作交于点，设的长为，的长为，则关于的函数图象如图2所示，该函数可看为两个不同函数组成的分段函数，若点为第二段函数图象的最低点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析点P在上时，则，当点到达点C时，有最大值，由图（2）得的最大值为4，则，由图1得，当点在上时，证明，整理得，结合图形得，，得，再进行分类讨论，得，然后把代入，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．【详解】解：如图在正方形中，，，当点P在上时，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，当点到达点C时，有最大值，由图（2）得的最大值为4，当时，代入得，∴，∴由图1得，当点在上时，∵∴，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，结合图形得，，设，∴，∴，当时，即点P在点C处，（即点Q在点D处），当时，即点P一定在边上，关于的方程有实数根，∴，，，解得，结合图，得，∴，∴第二段函数的图象的最低点的纵坐标为，把代入，则，解得，∴，在中，，∴函数图象的，∴点的坐标为．故选：B【点睛】本题考查了函数图象，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，勾股定理，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．13．（2025·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．根据题意可得，的最大面积是，此时点D与点C重合，根据的面积即可求出，再根据30度特殊角即可求出的长．【详解】解：根据题意可知：的最大面积是，此时点D与点C重合，如图，在中，，由题意得，，则，，∴，∴，解得（负值舍去），∴，在中，，∴，∴，∴．故选：D．14．（2025·河南周口·二模）如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数．先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的与的函数关系时，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可．【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且，则在直角中，根据勾股定理得到，当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F，∵，∴，∴，则，∴，此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分；当，即点在线段上，点在点时，的面积，此时该三角形面积保持不变；综上所述，选项D正确．故选：D．15．（2025·河南南阳·三模）如图1，已知矩形，射线绕点顺时针旋转得到射线，点是点关于直线的对称点．连接，设的长为，与的关系图象如图2所示，其中点是图象的最低点，最高点的纵坐标是，则图2中的值是，的值是．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、动点问题的函数图象、解直角三角形，连接，由轴对称的性质，可知，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动．结合图象可得当点运动到对角线上时，取得最小值1，当时，射线与射线重合，当点运动到的延长线上时，最大，分别求解即可采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：连接，由轴对称的性质，可知，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动．如解图1，当点运动到对角线上时，取得最小值1，此时，，∴，∴，∴，，，如解图2，当时，射线与射线重合，此时，∴；如解图3，当点运动到的延长线上时，最大，最大值为，故，故答案为：，．16．（2025·河南驻马店·二模）综合与实践数学兴趣小组对无人机飞行轨迹进行数学建模探究．如图所示，现有一架无人机在边长为6米的正方形空域内飞行．无人机从边上的点起飞（不与，重合）．飞行轨迹形成折线，将正方形沿翻折，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接，．(1)操作判断

与的关系是______，飞行路径与折线的位置关系是______，飞行路径与折线的数量关系是______．(2)性质探究

当起飞点在边上移动时：求证：的周长恒定为12米．(3)拓展应用

设米，无人机信号反射区域的面积为，求出与的函数关系式．为保证信号强度，反射区域面积需最小化，求的最小值及对应的起飞位置．【答案】(1)相等；垂直；相等(2)见解析(3)（），当时，存在最小值．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出，进而利用平行线的性质得出即可得出；如图所示，过点F作于点I，然后由折叠得到垂直，证明出，得到；（2）过点B作，首先证明，得到，，进而得出，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）过点F作，设，表示出，然后利用勾股定理表示出，然后证明出，得到，，然后得到，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）由折叠得，∴又∵∴，即又∵∴∴；由折叠得，垂直如图所示，过点F作于点I∵四边形是正方形∴，∴四边形是矩形∴∴∵，∴又∵∴∴∴与的关系是相等，飞行路径与折线的位置关系是垂直，飞行路径与折线的数量关系是相等；（2）过点B作由（1）知，，，，∴的周长；（3）过点F作设在中∴当时，S存在最小值．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．专练三、二次函数应用拱桥问题17．（2025·河南驻马店·三模）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）．【答案】(1)(2)【分析】（）由题意可得顶点的坐标为，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解；（）由题意可得悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，把代入（）所得函数解析式求出的值进而即可求解；本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：由题意可得，顶点的坐标为，，设抛物线的解析式为，∵抛物线过，，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：∵普通货车的高度大约为，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于，∴悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，当时，，解得，∴灯带的最大安装长度是．18．（2025·河南南阳·三模）图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且．(1)求门拱所在的抛物线表达式；(2)如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度．【答案】(1)抛物线的表达式为y=+5(2)悬挂标语框时脚手架的高度最低为米【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键；易错点是判断出悬挂位置处的点的横坐标．（1）先求出点B和点D的坐标，设抛物线解析式为：，把点B和点D的坐标代入可得a和h的值；（2）根据点A，B关于y轴对称，，求出点A的坐标，设点E右侧处为点I，从而得到I的坐标，求出时的高度，减去即可．【详解】（1）解：垂直平分，，，且，，设抛物线的表达式为，将分别代入得，，抛物线的表达式为；（2）由题意可知，点A，B关于y轴对称，，，设点E右侧处为点I，则，当时，，米，答：悬挂标语框时脚手架的高度最低为米．19．（2025·河南信阳·模拟预测）如图1为农户老张种植小番茄的塑料大棚，将该大棚截面图如图建立平面直角坐标系，大棚的下半部分是一个长为，高为的矩形，上半部分是抛物线的一部分．现测得，大棚顶部的最高点距离地面．(1)求截面图上半部分所在抛物线的解析式；(2)2025年春节期间非常寒冷，老张为增加大棚内的光照时间和提升温度，准备在大棚顶端左右两侧对称悬挂两列补光增温灯．已知补光增温灯的高度为，且悬挂点到大棚顶端的水平距离为，求补光灯底端到地面的距离；(3)种植小番茄苗时，为了保证生长空间，通常行距设计为，且种植后小番茄苗沿轴成轴对称分布，为保证更多种植，请求出最前排符合种植条件的小番茄苗数量，并求出最左边一棵小番茄苗种植点的横坐标．【答案】(1)(2)(3)最前排符合种植条件的小番茄苗数量为21棵，此时最左边一棵小番茄苗种植点的横坐标为．【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）根据题意可得顶点B的坐标为，点A的坐标为，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；（2）求出当时的函数值即可得到答案；（3）分两种情况：从距离轴的地方开始向两边种植，从y轴开始向两边种植，分别求出两种情形下每一排可种的数量即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点B的坐标为，点A的坐标为，设抛物线解析式为，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：在中，当时，，∴补光灯底端到地面的距离为；（3）解：当从距离轴的地方开始向两边种植时，∵，∴此时每一排最多可以种植棵；当从y轴开始向两边种植时，∵，∴此时每一排最多可以种植棵；综上所述，最前排符合种植条件的小番茄苗数量为21棵，此时最左边一棵小番茄苗种植点的横坐标为．20．（2025·河南南阳·二模）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示．方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，，方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架、的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较，的大小．【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．（1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；（2）令可得，，故；再比较的大小即可．【详解】（1）解：解：由题意得，方案一中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，把代入得，解得：，，方案一中抛物线的函数表达式为：；（2）解：在中，令得：解得，，．，，，．21．（2025·河南新乡·二模）如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点．(1)求抛物线的函数表达式．(2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值．(3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据：【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、二次函数的图象一性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出悬挂灯笼的两个端点的距离大约是，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼．根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；设点的坐标是，则有撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需撑杆长度和的最大值为；因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼．【详解】（1）解：，，抛物线顶点的坐标是，为的中点，，点的坐标是，设抛物线的解析式为，则有，解得：，抛物线的函数表达式是；（2）解：设点的坐标是，则，，则撑杆的长度和是，整理得：，当时，所需撑杆长度和的最大值为；（3）解：当时，可得：，整理得：，，，最多可以悬挂灯笼的数量是个．22．（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：）(1)求该抛物线的解析式．(2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由．【答案】(1)(2)能安全通过，走右侧车道【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式．（1）根据待定系数法求解即可；（2）分别求出，时，对应的函数值，即可判断．【详解】（1）解：∵O为的中点，，∴，∴，设抛物线解析式为，则，∴，∴；（2）解：∵，，，，，∴，∴，∴当时，，∴左侧车道不能通过，当时，，∴右侧车道能通过，∴该货车应按右侧车道行驶能通过．23．（2025·河南安阳·一模）图是抛物线形状的拱桥，当拱桥顶离水面时，水面宽．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图所示，且个单位长度代表实际长度．(1)求抛物线的解析式．(2)图是一艘货船的纵向截面示意图，此货船水面以上高度为，货船的宽度在顶部取得最大值．当桥下水面下降时，它能否从桥下安全通过？请通过计算进行说明（安全通过的要求：船距离桥体墙壁不少于）．【答案】(1)(2)船不能从桥下安全通过，理由见解析【分析】（）设抛物线解析式为，由题意得，再利用待定系数法解答即可；（）把代入（）所得函数解析式求出的值，进而判断即可求解；本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出抛物线的解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，由题意得，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵，当时，，解得，∵，，∴船不能从桥下安全通过．专练四、二次函数应用营销问题24．（2025·河南平顶山·一模）中华绒螯蟹又称大闸蟹，为中国久负盛名的美食．某代理商以每千克100元的价格购进一批大闸蟹，根据销售经验可知，这种大闸蟹的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如表所示：销售价格x（元/千克）130120日销售量y（千克）2040(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该代理商销售这种大闸蟹的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当每千克销售价格x为多少元时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？【答案】(1)(2)每千克120元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的实际应用；（1）设关于的函数表达式为，待定系数法解二元一次方程组即可求出；（2）根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设关于的函数表达式为．将和分别代入，得，解得，∴关于的函数表达式是．（2）解：．当时，在的范围内，，取到最大值，最大值是800．答：销售价格为每千克120元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元．25．（2025·陕西西安·三模）猕猴桃是西安的特色水果．在销售之际某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价（元/箱）与第周之间满足二次函数关系：．调查发现，第2周时，售价为32（元/箱）第5周时，售价为23（元/箱）（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降）．(1)根据题意求与之间的函数关系式：并求第4周时，售价的值；(2)若该段时间内每周猕猴桃的进价（元/箱）与第周之间满足关系式，且平均每周销售150箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？【答案】(1)，当时，；(2)该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元．【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）利用利润单利润销售量列出二次函数，根据二次函数的顶点式得到最值解题即可．【详解】（1）解：将点，代入中，得，解得∴与之间的函数关系式为；当时，．（2）解：设该商场每周销售猕猴桃获得的利润为元，得，∵，∴当时，有最大值，最大值为1800，∴该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元．26．（24-25九年级下·河南鹤壁·阶段练习）根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为，饲养B种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．画出两函数的图象如图所示．(1)求函数，的表达式．(2)王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？【答案】(1)(2)当投资5万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资也为5万元时，可使得利润最大，最大利润为7.5万元【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；（1）把点代入可得a的值，然后再进行求解的解析式即可；（2）设投资m万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资为万元，由题意可得，进而根据二次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：由图象可得：把点分别代入，得，，，解得：，，∴；（2）解：设投资m万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资为万元，由题意得：整理得：，∴当时，有最大值，最大值为7.5；答：当投资5万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资也为5万元时，可使得利润最大，最大利润为7.5万元．27．（2025·河南南阳·二模）2025年成都世界运动会的吉祥物名为“蜀宝”和“锦仔”，分别以大熊猫和川金丝猴为原型．设计团队通过这两个吉祥物展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象，同时融入了三星堆、太阳神鸟、芙蓉花等城市符号，体现了成都“山水之美”和“热情似火”的城市气质．小明准备购进“蜀宝”和“锦仔”两种徽章，用3000元购进蜀宝徽章与用3500元购进锦仔徽章的数量相同，已知锦仔徽章进价比蜀宝徽章每个进价多5元．(1)求两种徽章的进价；(2)经市场调查发现，锦仔徽章每个售价50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个，物价部门规定其销售单价每个不高于65元，设锦仔徽章每个涨价元，小明一天通过售卖锦仔徽章获得的利润为元．①求与之间的函数表达式；②锦仔徽章的销售单价为多少时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)蜀宝徽章单价为30元/个，锦仔徽章的单价为35元/个(2)①②锦仔徽章的销售单价为每个65元时一天获得利润最大，最大利润是2040元【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，熟知题中的等量关系是解题的关键．（1）设购进蜀宝徽章单价为元个，则锦仔徽章的单价为元个，根据题意列分式方程，即可解答；（2）①根据题意得到函数关系式即可；②利用二次函数的性质，即可求得最大利润．【详解】（1）解：设购进蜀宝徽章单价为元个，则锦仔徽章的单价为元个，由题意得：，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：蜀宝徽章单价为30元/个，锦仔徽章的单价为35元/个；（2）解：①由题意可得，与之间的函数表达式为：；②，函数有最大值，二次函数的对称轴为：，物价部门规定其销售单价不高于每个65元，，，当时，随的增大而增大，当时，．此时销售单价为元．答：锦仔徽章的销售单价为每个65元时一天获得利润最大，最大利润是2040元28．（2025·河南信阳·三模）某厂商因故将某款外销商品转内销．经分析发现某款商品日销售量y（万件）在三月上旬x（日）的关系满足：（，x为整数），每件产品的利润z（元）与日期x（日）的关系如下表：x12345678910z19181716151413121110(1)请你根据表格求出每件产品利润z（元）与日期x（日）的关系式；(2)若日利润w（万元）=当日销售量y（万件）×当日每件产品的利润z（元），求日利润w（万元）与日期x（日）的关系式：(3)当x为何值时，日利润w有最大值，最大值为多少？【答案】(1)，（，x为整数）(2)（，x为整数）；(3)，最大值为144【分析】（1）观察表格中与的数值变化，判断为一次函数关系，通过找两组对应值，利用待定系数法或直接分析规律得出与的关系式．（2）根据日利润的定义，将（1）中得到的与的关系式，和已知的与的关系式相乘，展开化简得到与的关系式．（3）对（2）中得到的二次函数关系式进行配方，转化为顶点式，结合的取值范围（且为整数），求出最大值及对应的值．本题主要考查了一次函数、二次函数的实际应用，熟练掌握函数关系式的推导方法以及二次函数的性质（配方求最值）是解题的关键．【详解】（1）解：根据表格可知：当的整数时，；z与x的关系式为：，（，x为整数）．（2）解：（，x为整数）；（3）解：当时，，时，w有最大值为144．29．（2025·河南周口·二模）根据以下素材，探索完成任务．如何设计安阳麦秆画的销售方案素材1麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅．素材2据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅．素材3这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅．问题解决任务1确定模型求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］任务2拟定最优方案当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？【答案】任务1：；任务2：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元．【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；任务1：明确日销量和销售单价随降价的变化关系，根据毛利润日销量（销售单价成本单价）列出函数表达式即可；任务2：根据网上和实体店的毛利润，构建总毛利润函数，将两个独立的利润表达式合并，再转化为二次函数求最大值即可．【详解】解：任务1：．任务2：设总毛利润为元．，，当时，最大，最大值为4440，此时网上销售价为（元）．当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元．30．（2025·河南·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价（元）…2030405060…周销量（套）…403020100…所获利润（元）…03004003000…(1)求与之间的函数关系式；(2)①请在平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象；②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的1.8倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？【答案】(1)(2)①见解析；②文具店把初中专用套尺销售单价定为36元时，每周出售这种套尺所获利润最大，最大利润为元【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练根据题意求得二次函数的解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法即可解答；（2）①求得二次函数的解析式，再描点画图即可；②利用二次函数的图象和性质即可解答．【详解】（1）解：周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，设周销量（套）与销售单价（元）的一次函数解析式为,根据表格把代入，可得，解得，周销量（套）与销售单价（元）的一次函数解析式为；（2）解：①所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，根据表格可知顶点为，设所获的利润（元）与销售单价（元）的二次函数解析式为，把代入可得，解得，所获的利润（元）与销售单价（元）的二次函数解析式为，二次函数图象如图所示：；②根据题意可得售价小于等于元，即，根据图象可得当时，随的增大而增大，故文具店把初中专用套尺销售单价定为36元时，每周出售这种套尺所获利润最大，最大利润为元．31．（2025·河南信阳·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．所获的利润w（元）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元）…2030405060…周销量y（套）…403020100…所获利润w（元）…03004003000…(1)求y与x之间的函数关系式；(2)①请在下面的平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象；②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？【答案】(1)(2)①见解析②当销售单价定为36元/件时，每周的销售利润最大，最大利润是384元．【分析】（1）设，根据题意，得，解方程组解答即可；（2）①求得二次函数的解析式，再描点画图即可；②利用二次函数的图象和性质即可解答．【详解】（1）解：设，根据题意，得，解得，故．（2）①解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，不妨设抛物线的解析式为，把代入，得，解得，故，用描点法画图象画图如下：②解：由，∵，∴抛物线开口向下，函数有最大值，且在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵文具店打算销售单价不能高于进价的倍，∴，∴当时，w取得最大值，最大值为．答：当销售单价定为36元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是384元．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，描点法画图象，二次函数求最值，抛物线的增减性，熟练根据题意求得二次函数的解析式，利用函数的最值，增减性解题是解题的关键．32．（2025·河南南阳·二模）新郑大枣皮薄、肉厚、核小，味道甘甜，是河南著名特产，其种植历史悠久，不仅口感上乘，还具有丰富的营养价值．某特产超市打算销售小包新郑大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的关系式．(2)求该产品每天获得的利润w（元）的最大值．(3)春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m（m为整数）元/件．该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过43元/件．在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，求m的最小值．【答案】(1)(2)该产品每天获得的利润的最大值为4000元(3)最小值为26【分析】本题考查一次函数及二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键．（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式；（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；（3）根据题意列出关于的函数关系式为，再根据二次函数的性质求解，从而得出结论．【详解】（1）解：设与的关系式为．将和代入，得解得与的关系式为．（2）解：由题意，得，，，，当时，有最大值，最大值为4000，该产品每天获得的利润的最大值为4000元．（3）解：由题意，得，，，抛物线开口向下．对称轴为直线，在实际销售过程中，发现每天获得的利润随的增大而增大，且，，解得，的最小值为26．专练五、二次函数应用喷水（投球）问题33．（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．(1)求该抛物线的解析式；(2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．【答案】(1)(2)能，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键．（1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为；（2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为25米、垂直距离为5米，得到点的横坐标为27，当时，，得到石块能飞越防御墙．【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为，．石块运行的函数解析式为．把代入解析式，得，解得：．．（2）解：石块能飞越防御墙．理由如下：点与点的水平距离为，墙宽，点的横坐标为．把代入，得点与点的垂直距离为与轴平行，点与点的垂直距离也为．，该石块能飞越防御墙．34．（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米．(1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；(2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？【答案】(1)(2)前移动【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．（1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可；（2）求出时，即可解得．【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为．故可设抛物线的解析式为，又抛物线过，，，解析式为；（2）当时，即（舍），，，应将布幔向前移动．35．（2025·河南郑州·三模）根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：水平距离竖直高度(1)求实心球运动轨迹的抛物线解析式；(2)小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由；(3)体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围．【答案】(1)；(2)不能得到满分，见解析；(3)．【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是关键．（1）待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）令代入解析式求出值与比较即可得到结论；（3）设调整后抛物线解析式为，当时，，令，求出的取值范围即可．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，由表中数据可得：，解得，抛物线解析式为；（2）解：当时，解得舍去，，，小刚在此次训练中不能得到满分；（3）解：设调整后抛物线解析式为，当时，，令，解得，的取值范围为：．36．（2025·河南洛阳·三模）乒乓球是我国国球．球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线．从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如表所示：x（）02468141618…y（）

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3…(1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的范围）(2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器的出口的水平距离．(3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器出口的水平距离是解决本题的难点．（1）利用待定系数法，将两点坐标代入一次函数解析式求出和的值．（2）先根据抛物线的对称性求出对称轴，再利用待定系数法求出抛物线解析式，最后令求出水平距离．（3）取，代入抛物线解析式，求得对应的的值；根据题意得球台长，那么球台的一半长，取球台的一半长减去较小的的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多平移的距离．【详解】（1）解：设球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数解析式，把，代入得，解得，所以．（2）解：设乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为．因为抛物线过点，，，设抛物线解析式为，则，把，代入得，，又因为抛物线过，所以，即，联立方程组，解得，所以抛物线解析式为．令，则，解得：，（舍去），所以乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为．（3）解：∵．∴球台的一半长．当时，．整理得：．解得：（舍去），．，，符合题意，∴发球口最多向右平移．37．（2025·河南漯河·三模）某学校排球队把“弘扬女排精神，做新时代的奋斗者”作为球队的座右铭，在比赛和训练中，队员们养成了勤于思考，经常反思的好习惯．在一次队内训练中，小明作为后排队员，在己方三米线上方点击球，他的处理方式有两种，若选择扣球，排球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，若选择吊球，排球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．已知点高度为，球网高度为2.24m．小亮依照此情境建立如图的平面直角坐标系，请分析：(1)①若小明选择扣球，若球恰好经球网上方，请求此时的一次函数解析式；②请计算说明，小明的扣球是否出界（球落点应在底线左方）？(2)①球网处有对方球员拦网，拦网高度为2.7m，若小明选择吊球，则球在距离轴处达到最高点，且球恰好绕过拦网球员，求此时的二次函数解析式；②根据场上情况，小明选择吊球时，当球落到三米线的左方才能得分，请计算说明，小明的吊球是否成功？【答案】(1)①②小明的扣球扣在了界内(2)①②小明的吊球不能够成功【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，理解题意，建立数学模型是解题的关键．（1）①利用待定系数法求解即可；②求出①中函数值为0时的自变量的值，不超过12m为不出界，否则越界；（2）①设二次函数解析式为，该函数经过，且球恰好绕过拦网球员，利用待定系数法即可求解；②求出上述函数值为0时的自变量的值，与三米线点的横坐标6进行比较，即可判断．【详解】（1）解：（1）①设一次函数解析式为，该函数经过，，依题意得，，，一次函数解析式为；②当时，，解得，点的横坐标为12，，小明的扣球扣在了界内；（2）解：①球在距离轴处达到最高点，设二次函数解析式为，该函数经过，且球恰好绕过拦网球员，依题意得，，二次函数解析式为：②当时，，解得，（舍去），三米线点的横坐标为6，，小明的吊球不能够成功．38．（2025·河南驻马店·三模）掷实心球是中招体育考试的选考项目，某数学兴趣小组发现实心球行进路线是抛物线的一部分．如图是一名男生掷实心球的情境，实心球行进高度（）与其在行进过程中与抛出点的水平距离（）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当实心球与抛出点的水平距离为时，其行进至最高点处．(1)求实心球行进高度（）与其在行进过程中与抛出点的水平距离（）之间的函数解析式．(2)根据某市中招体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从抛出点到落地点的水平距离大于或等于12.4，此项考试得分为满分10分．问：该男生在此项考试中是否得满分？请说明理由，(3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，该男生可得满分（结果保留两位小数）？【答案】(1)(2)该男生在此项考试中不能得满分，理由见解析(3)当掷出点的高度至少达到4.55m后，该男生可得满分【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）由题意，得到抛物线的顶点为，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；（2）令，求出自变量的值，进行判断即可；（3）设掷出点的高度向上平移m后，该男生可得满分，求出新的解析式，进而求出掷出点的高度即可．【详解】（1）解：由题意，得抛物线的顶点为．可设函数解析式为．又抛物线过点，．．实心球行进高度（）与其在行进过程中与抛出点的水平距离（）之间的函数解析式为．（2）由题意，令，得或（不合题意，舍去）．实心球从抛出点到落地点的水平距离为10．，该男生在此项考试中不能得满分．答：该男生在此项考试中不能得满分．（3）设掷出点的高度向上平移m后，该男生可得满分．新的抛物线的解析式为．把，代入，得，解得．（）．答：当掷出点的高度至少达到4.55后，该男生可得满分．39．（2025·河南周口·三模）物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球（看作一点）从斜坡点处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，落到斜坡上的点处．根据小球的飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的铅垂直线为轴建立平面直角坐标系．分析图象得出，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的高度（米）的变化规律如下表．x/米01…4…7…y/米0m…8…n…根据上面的信息，解答下列问题．(1)若，求出小球的飞行路线所在抛物线的函数表达式．(2)在（1）的条件下，若小球的落点到点的水平距离为米，则小球在飞行过程中到坡面上的最大铅直高度为多少米？【答案】(1)(2)米【分析】本题主要考查二次函数的性质和一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式和函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质．（1）根据题意求得对称轴，设抛物线的函数表达式为．将点代入，解得，即可求得；（2）由题可知，点的横坐标为，求得，即可求得坡面的函数表达式为．设小球为点，且点的坐标为，小球在飞行过程中到坡面上的铅直高度为，则点的坐标为，那么，，根据二次函数的性质求得最值即可．【详解】（1）解：∵，∴，设抛物线的函数表达式为．将点代入，得，解得，则．（2）解：由题可知，点的横坐标为．将其代入抛物线的函数表达式，得，∴坡面的函数表达式为．设小球为点，且点的坐标为，小球在飞行过程中到坡面上的铅直高度为，即点的坐标为，∴，即当时，小球在飞行过程中到坡面上的最大铅直高度为米．40．（2025·河南郑州·二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下，球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为．(1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度．(2)设“直发式”模式下，球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下，球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？【答案】(1)(2)向上调整【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）令，求出的值，然后把代入，求出的值，再令，得即可解答．（2）由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，即，把代入，解方程求出的值即可．【详解】（1）解：令，解得，．把代入，得，解得．，令，得．“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为．（2）解：由（1）可知，“间发式”模式下球第二次接触台面时距出球点的水平距离为．设调整后“直发式”下，球的运动轨迹的函数表达式为．把代入，得，解得．要使，“直发式”发球器出口高度应向上调整．41．（2025·河南驻马店·三模）如图，某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线．以水平线为x轴，过点O的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．已知P处的喷水头距地面．斜坡可以用一次函数刻画，且点A坐标为．喷出水柱的水平距离x（米）与喷出水柱的高度y（米）的变化规律如表：x0123456…y1454…(1)①已知表格中有一个y值明显错误，则这个错误的数据是_________；②_________；(2)在下图中描出以表中各组正确对应值为坐标的点，用平滑曲线画出该函数的图象；无效喷灌水流跃过斜坡顶端A时会造成无效喷灌，资源浪费(3)通过计算说明本次喷灌有效还是无效．【答案】(1)①；②7(2)详见解析(3)水流尚未到达点时便与斜坡相交，故本次喷灌有效【分析】本题考查了二次函数的其他应用，画二次函数的图象，一次函数的性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合抛物线是轴对称图形，以及表格数据得出当时，喷出水柱最高为，且抛物线的对称轴是直线，开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，据此进行分析，即可作答．（2）先描点再依次连接，即可得出该二次函数的图象，即可作答．（3）先设，再把代入进行计算，得，理解题意得当时，，即可作答．【详解】（1）解：①∵喷出水柱的形状是抛物线，且抛物线是轴对称图形，∴由表格数据可知当时，喷出水柱最高为，且抛物线的对称轴是直线，则抛物线的开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，观察表格，∵，越远离对称轴的所对应的函数值越小，∴这个错误的数据是；②依题意，把代入，得，∴；（2）解：如图所示：（3）解：由表格数据可知当时，喷出水柱最高为，∴设抛物线表达式为，将点代入得解得，∴抛物线表达式为；当时，，通过数形结合可知：水流尚未到达点时便与斜坡相交，故本次喷灌有效．42．（24-25九年级下·山东烟台·期中）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：(1)【建立模型】数据收集：如图2，选取合适的原点0，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程；②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(2)【问题解决】要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围．【答案】(1)①；②（2，0）(2)【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．（1）①由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；②由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；（2）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案；【详解】（1）解：①由题意得：，，是上边缘抛物线的顶点，设，又抛物线过点，，，上边缘抛物线的函数解析式为；令，则，解得或（舍去），洒水车喷出水的最大射程为；②对称轴为直线，点的对称点为，平移后仍过点，是由向左平移得到的，，点是由点向左平移得到的，点的坐标为；（2）解：，点的纵坐标为1，，解得或（舍去），，当时，随的增大而减小，当时，要使，则，当时，随的增大而增大，且时，，当时，要使，则，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，的最大值为，下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，的最小值为2，的取值范围为．43．（2025·河南驻马店·三模）如图1是某游乐园泳池边架设的一个高压水枪，小明在操控水枪时发现，喷出的水流可近似看成抛物线的一部分．他想利用学过的二次函数来研究这一现象，于是在电脑上绘制了如图2所示的函数图象，其中点为水枪喷口的位置，点为水枪喷口正下方水面的位置，以点所在的水面为轴，直线为轴建立平面直角坐标系．已知点为喷出的水流落在水面的位置，喷出的水流到水面的高度与到点的水平距离之间的函数关系式为．小明在到点水平距离的点处，竖直放置一根的木杆，木杆顶端恰好接触到水流，下端恰好接触到水面．(1)求喷出的水流所在抛物线的表达式及喷出的水流到水面的最大高度．(2)游乐园在水枪喷口和水流的落点之间增设了一个浮台，浮台露出水面部分的截面为正方形，其中．设点的横坐标为，若喷出的水流不落在浮台上，求的取值范围．【答案】(1)，喷出的水流到水面的最大高度是(2)【分析】本题考查了二次函数的实际应用，充分理解题意是解题的关键．（1）由题意可知，抛物线经过点，待定系数法求解析式，即可求解；（2）若喷出的水流恰好与浮台边缘接触，则点或点在抛物线上．令，解方程得出的横坐标，进而求得的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点，解得．

，喷出的水流到水面的最大高度是．（2）若喷出的水流恰好与浮台边缘接触，则点或点在抛物线上．令，则，解得．

当点在抛物线上时，点的横坐标．当点在抛物线上时，点的横坐标．的取值范围是．44．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【项目式学习】项目主题：安全用电、防患未然．【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器．【模型构建】由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米．（1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；（2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由；【问题解决】（3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米．【答案】（1）（2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由见解析（3）喷淋头距离喷淋头至少米【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式．（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）把代入（1）中解析式，求出值，与比较，即可得出答案；（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可．【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为，设抛物线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由如下：把代入得：，∵，∴按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃；（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为，把代入得：，解得：（舍去）或，∴喷淋头N距离喷淋头M至少米．专练六、二次函数应用其它类型45．（2025·河南驻马店·三模）太阳能的特点是巨大、清洁、取之不尽．如图，小明所在的学习小组自制了一个太阳能灶，太阳能灶的关键部件是聚光镜，其截面类似抛物线，我们称之为抛物面．如图，A为抛物面的顶点，当点A与水平地面的距离为时，测得抛物面两端B，C相距，且离地面均为．以O为坐标原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求抛物面的表达式；(2)太阳光线经抛物面反射后集中聚焦在焦点处，将水壶置于焦点位置时，可达到加热的目的．经了解，当太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等时，加热效果最好，请判断该学习小组自制