五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(河南专用)08：二次函数实际应用类型（学生版）

专题08二次函数实际应用类型考点一、二次函数实际建模问题1．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．2．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．3．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．专练一、二次函数应用-图形问题4．（2025·河南新乡·三模）如图，夏宇家一段长的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．”(1)夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为___________；(2)请利用所学函数知识，求出夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积．5．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．(1)求证：．(2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值．6．（2025·河南周口·二模）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体；方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且．两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题：(1)对于方案1，设．①求的长度（用含x的代数式表示）；②求的最大值；(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．7．（2025·河南漯河·一模）如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．(1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简）(2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值．(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？8．（2025·河南濮阳·一模）综合与实践用硬纸板制作无盖纸盒问题背景在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）实践活动方案一：如右图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形方案二：如右图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形问题解决（1）在方案一中．①求制作无盖纸盒的底面边的长；②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值（2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式．（3）将（2）中的与x的几组对应值列表：1356781015191444346845004704473246084000150076如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接9．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践《数学》八年级上册的数学活动中，让用全等三角形研究“筝形”定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”（如图1）(1)［性质探究］根据“筝形”的定义，学生们通过探究，得出下列命题：①“筝形”有一组对角相等②“筝形”的对角线互相垂直平分③“筝形”的每一条对角线平分每一组对角④“筝形”的面积等于两条对角线长的乘积的一半其中，____________是真命题（填序号）；(2)［综合应用］如图1，筝形中，，，若，求筝形的面积的最大值；(3)［拓展实践］如图2是一块矩形铁片，其中厘米，厘米，张华想从这块铁片中裁出一个筝形，要求点是边的中点，点分别在上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大？若存在，求出筝形的面积最大值，若不存在，请说明理由．专练二、二次函数应用图形运动问题10．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（

）．A．5 B．6 C．7 D．811．（2025·河南周口·三模）如图所示，等边三角形的边长为1，点D从点A出发，沿A→C→B运动．在运动过程中，过点D作边的垂线，交于点G．设线段的长度为x，的面积为y，则y关于x的函数图象正确的是（

）A． B．C． D．12．（2025·河南信阳·模拟预测）如图1，正方形中，点从点出发，沿折线匀速运动，点运动到点时停止运动，过点作交于点，设的长为，的长为，则关于的函数图象如图2所示，该函数可看为两个不同函数组成的分段函数，若点为第二段函数图象的最低点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．13．（2025·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长度为（

）A． B． C． D．14．（2025·河南周口·二模）如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（

）A． B． C． D．15．（2025·河南南阳·三模）如图1，已知矩形，射线绕点顺时针旋转得到射线，点是点关于直线的对称点．连接，设的长为，与的关系图象如图2所示，其中点是图象的最低点，最高点的纵坐标是，则图2中的值是，的值是．16．（2025·河南驻马店·二模）综合与实践数学兴趣小组对无人机飞行轨迹进行数学建模探究．如图所示，现有一架无人机在边长为6米的正方形空域内飞行．无人机从边上的点起飞（不与，重合）．飞行轨迹形成折线，将正方形沿翻折，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接，．(1)操作判断

与的关系是______，飞行路径与折线的位置关系是______，飞行路径与折线的数量关系是______．(2)性质探究

当起飞点在边上移动时：求证：的周长恒定为12米．(3)拓展应用

设米，无人机信号反射区域的面积为，求出与的函数关系式．为保证信号强度，反射区域面积需最小化，求的最小值及对应的起飞位置．专练三、二次函数应用拱桥问题17．（2025·河南驻马店·三模）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）．18．（2025·河南南阳·三模）图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且．(1)求门拱所在的抛物线表达式；(2)如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度．19．（2025·河南信阳·模拟预测）如图1为农户老张种植小番茄的塑料大棚，将该大棚截面图如图建立平面直角坐标系，大棚的下半部分是一个长为，高为的矩形，上半部分是抛物线的一部分．现测得，大棚顶部的最高点距离地面．(1)求截面图上半部分所在抛物线的解析式；(2)2025年春节期间非常寒冷，老张为增加大棚内的光照时间和提升温度，准备在大棚顶端左右两侧对称悬挂两列补光增温灯．已知补光增温灯的高度为，且悬挂点到大棚顶端的水平距离为，求补光灯底端到地面的距离；(3)种植小番茄苗时，为了保证生长空间，通常行距设计为，且种植后小番茄苗沿轴成轴对称分布，为保证更多种植，请求出最前排符合种植条件的小番茄苗数量，并求出最左边一棵小番茄苗种植点的横坐标．20．（2025·河南南阳·二模）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示．方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，，方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架、的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较，的大小．21．（2025·河南新乡·二模）如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点．(1)求抛物线的函数表达式．(2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值．(3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据：22．（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：）(1)求该抛物线的解析式．(2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由．23．（2025·河南安阳·一模）图是抛物线形状的拱桥，当拱桥顶离水面时，水面宽．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图所示，且个单位长度代表实际长度．(1)求抛物线的解析式．(2)图是一艘货船的纵向截面示意图，此货船水面以上高度为，货船的宽度在顶部取得最大值．当桥下水面下降时，它能否从桥下安全通过？请通过计算进行说明（安全通过的要求：船距离桥体墙壁不少于）．专练四、二次函数应用营销问题24．（2025·河南平顶山·一模）中华绒螯蟹又称大闸蟹，为中国久负盛名的美食．某代理商以每千克100元的价格购进一批大闸蟹，根据销售经验可知，这种大闸蟹的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如表所示：销售价格x（元/千克）130120日销售量y（千克）2040(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该代理商销售这种大闸蟹的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当每千克销售价格x为多少元时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？25．（2025·陕西西安·三模）猕猴桃是西安的特色水果．在销售之际某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价（元/箱）与第周之间满足二次函数关系：．调查发现，第2周时，售价为32（元/箱）第5周时，售价为23（元/箱）（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降）．(1)根据题意求与之间的函数关系式：并求第4周时，售价的值；(2)若该段时间内每周猕猴桃的进价（元/箱）与第周之间满足关系式，且平均每周销售150箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？26．（24-25九年级下·河南鹤壁·阶段练习）根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为，饲养B种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．画出两函数的图象如图所示．(1)求函数，的表达式．(2)王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？27．（2025·河南南阳·二模）2025年成都世界运动会的吉祥物名为“蜀宝”和“锦仔”，分别以大熊猫和川金丝猴为原型．设计团队通过这两个吉祥物展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象，同时融入了三星堆、太阳神鸟、芙蓉花等城市符号，体现了成都“山水之美”和“热情似火”的城市气质．小明准备购进“蜀宝”和“锦仔”两种徽章，用3000元购进蜀宝徽章与用3500元购进锦仔徽章的数量相同，已知锦仔徽章进价比蜀宝徽章每个进价多5元．(1)求两种徽章的进价；(2)经市场调查发现，锦仔徽章每个售价50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个，物价部门规定其销售单价每个不高于65元，设锦仔徽章每个涨价元，小明一天通过售卖锦仔徽章获得的利润为元．①求与之间的函数表达式；②锦仔徽章的销售单价为多少时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？28．（2025·河南信阳·三模）某厂商因故将某款外销商品转内销．经分析发现某款商品日销售量y（万件）在三月上旬x（日）的关系满足：（，x为整数），每件产品的利润z（元）与日期x（日）的关系如下表：x12345678910z19181716151413121110(1)请你根据表格求出每件产品利润z（元）与日期x（日）的关系式；(2)若日利润w（万元）=当日销售量y（万件）×当日每件产品的利润z（元），求日利润w（万元）与日期x（日）的关系式：(3)当x为何值时，日利润w有最大值，最大值为多少？29．（2025·河南周口·二模）根据以下素材，探索完成任务．如何设计安阳麦秆画的销售方案素材1麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅．素材2据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅．素材3这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅．问题解决任务1确定模型求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］任务2拟定最优方案当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？30．（2025·河南·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价（元）…2030405060…周销量（套）…403020100…所获利润（元）…03004003000…(1)求与之间的函数关系式；(2)①请在平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象；②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的1.8倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？31．（2025·河南信阳·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．所获的利润w（元）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元）…2030405060…周销量y（套）…403020100…所获利润w（元）…03004003000…(1)求y与x之间的函数关系式；(2)①请在下面的平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象；②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？32．（2025·河南南阳·二模）新郑大枣皮薄、肉厚、核小，味道甘甜，是河南著名特产，其种植历史悠久，不仅口感上乘，还具有丰富的营养价值．某特产超市打算销售小包新郑大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的关系式．(2)求该产品每天获得的利润w（元）的最大值．(3)春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m（m为整数）元/件．该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过43元/件．在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，求m的最小值．专练五、二次函数应用喷水（投球）问题33．（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．(1)求该抛物线的解析式；(2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．34．（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米．(1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；(2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？35．（2025·河南郑州·三模）根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：水平距离竖直高度(1)求实心球运动轨迹的抛物线解析式；(2)小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由；(3)体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围．36．（2025·河南洛阳·三模）乒乓球是我国国球．球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线．从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如表所示：x（）02468141618…y（）

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3…(1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的范围）(2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器的出口的水平距离．(3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？37．（2025·河南漯河·三模）某学校排球队把“弘扬女排精神，做新时代的奋斗者”作为球队的座右铭，在比赛和训练中，队员们养成了勤于思考，经常反思的好习惯．在一次队内训练中，小明作为后排队员，在己方三米线上方点击球，他的处理方式有两种，若选择扣球，排球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，若选择吊球，排球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．已知点高度为，球网高度为2.24m．小亮依照此情境建立如图的平面直角坐标系，请分析：(1)①若小明选择扣球，若球恰好经球网上方，请求此时的一次函数解析式；②请计算说明，小明的扣球是否出界（球落点应在底线左方）？(2)①球网处有对方球员拦网，拦网高度为2.7m，若小明选择吊球，则球在距离轴处达到最高点，且球恰好绕过拦网球员，求此时的二次函数解析式；②根据场上情况，小明选择吊球时，当球落到三米线的左方才能得分，请计算说明，小明的吊球是否成功？38．（2025·河南驻马店·三模）掷实心球是中招体育考试的选考项目，某数学兴趣小组发现实心球行进路线是抛物线的一部分．如图是一名男生掷实心球的情境，实心球行进高度（）与其在行进过程中与抛出点的水平距离（）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当实心球与抛出点的水平距离为时，其行进至最高点处．(1)求实心球行进高度（）与其在行进过程中与抛出点的水平距离（）之间的函数解析式．(2)根据某市中招体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从抛出点到落地点的水平距离大于或等于12.4，此项考试得分为满分10分．问：该男生在此项考试中是否得满分？请说明理由，(3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，该男生可得满分（结果保留两位小数）？39．（2025·河南周口·三模）物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球（看作一点）从斜坡点处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，落到斜坡上的点处．根据小球的飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的铅垂直线为轴建立平面直角坐标系．分析图象得出，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的高度（米）的变化规律如下表．x/米01…4…7…y/米0m…8…n…根据上面的信息，解答下列问题．(1)若，求出小球的飞行路线所在抛物线的函数表达式．(2)在（1）的条件下，若小球的落点到点的水平距离为米，则小球在飞行过程中到坡面上的最大铅直高度为多少米？40．（2025·河南郑州·二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下，球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为．(1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度．(2)设“直发式”模式下，球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下，球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？41．（2025·河南驻马店·三模）如图，某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线．以水平线为x轴，过点O的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．已知P处的喷水头距地面．斜坡可以用一次函数刻画，且点A坐标为．喷出水柱的水平距离x（米）与喷出水柱的高度y（米）的变化规律如表：x0123456…y1454…(1)①已知表格中有一个y值明显错误，则这个错误的数据是_________；②_________；(2)在下图中描出以表中各组正确对应值为坐标的点，用平滑曲线画出该函数的图象；无效喷灌水流跃过斜坡顶端A时会造成无效喷灌，资源浪费(3)通过计算说明本次喷灌有效还是无效．42．（24-25九年级下·山东烟台·期中）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：(1)【建立模型】数据收集：如图2，选取合适的原点0，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程；②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(2)【问题解决】要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围．43．（2025·河南驻马店·三模）如图1是某游乐园泳池边架设的一个高压水枪，小明在操控水枪时发现，喷出的水流可近似看成抛物线的一部分．他想利用学过的二次函数来研究这一现象，于是在电脑上绘制了如图2所示的函数图象，其中点为水枪喷口的位置，点为水枪喷口正下方水面的位置，以点所在的水面为轴，直线为轴建立平面直角坐标系．已知点为喷出的水流落在水面的位置，喷出的水流到水面的高度与到点的水平距离之间的函数关系式为．小明在到点水平距离的点处，竖直放置一根的木杆，木杆顶端恰好接触到水流，下端恰好接触到水面．(1)求喷出的水流所在抛物线的表达式及喷出的水流到水面的最大高度．(2)游乐园在水枪喷口和水流的落点之间增设了一个浮台，浮台露出水面部分的截面为正方形，其中．设点的横坐标为，若喷出的水流不落在浮台上，求的取值范围．44．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【项目式学习】项目主题：安全用电、防患未然．【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器．【模型构建】由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米．（1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；（2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由；【问题解决】（3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米．专练六、二次函数应用其它类型45．（2025·河南驻马店·三模）太阳能的特点是巨大、清洁、取之不尽．如图，小明所在的学习小组自制了一个太阳能灶，太阳能灶的关键部件是聚光镜，其截面类似抛物线，我们称之为抛物面．如图，A为抛物面的顶点，当点A与水平地面的距离为时，测得抛物面两端B，C相距，且离地面均为．以O为坐标原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求抛物面的表达式；(2)太阳光线经抛物面反射后集中聚焦在焦点处，将水壶置于焦点位置时，可达到加热的目的．经了解，当太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等时，加热效果最好，请判断该学习小组自制的太阳能灶是否满足该条件，并说明理由．46．（2025·河南·模拟预测）如图1，“跳一跳”游戏要求操作者通过控制“i”形小人（可视为一点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从B点起跳后沿抛物线：运动，落在边的中点处．(1)求抛物线的函数表达式．(2)“i”形小人从点处再次起跳后沿抛物线运动，抛物线形状不变，若“i”形小人再次起跳后落在下一个平台上，求“i”形小人起跳，后与轴的最大距离的取值范围．47．（2025·河南驻马店·三模）某校为准备建校二十周年庆典活动，在操场上布置一个舞台，需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接等高的，两点，点、分别位于点、正下方的地面处，且、的水平距离为米．点在线段上，且米．以为原点，以所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，点为抛物线与轴交点，图描画的是部分抛物线图象，点，点．(1)求图2中第二象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）(2)为使灯链造型更加美观，对方案进行修改：以轴为对称轴构造段抛物线的轴对称图形，形成一个“类组合抛物线”．①直接写出第一象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）②若在组合抛物线灯链上挂两个灯笼，且两灯笼离地面的高度均为米，求两个灯笼之间的最大水平距离．48．（2025·河南安阳·二模）某小型汽车刹车后行驶的距离关于行驶时间的函数解析式为．是刹车前的行驶速度（假设刹车前小型汽车匀速行驶）．(1)汽车完全停下来所用的时间为________．（用含的式子表示）(2)若汽车刹车后前进停下，求刹车前汽车的行驶速度．(3)某段公路对小型汽车限速为，驾驶员发现前方有交通事故后紧急刹车，汽车行驶完全停下，从紧急刹车到汽车完全停下所用时间为（其他因素忽略不计）．请判断该车是否超速，并说明理由．49．（2025·河南信阳·三模）为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策．某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图，是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.21米，宽度为0.4米．一位同学站在O处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似的看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，米（脚的长度忽略不计）(1)求该同学起跳轨迹的函数表达式；(2)该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由；(3)若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，求该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号）50．（2025·河南洛阳·三模）小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务．素材一：如图（1），曲线为遮阳棚，为支架，为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳棚的跨度．已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．素材二：如图（2），为加固遮阳棚，要安装支撑架和，其中点G在上，点F在曲线上，且．任务1：求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式．任务2：小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由．51．（2025·河南商丘·二模）科技馆举办青少年科技运动会，某中学代表队的一组同学参加了抛石机“攻城”比赛．项目规定学生用一次性筷子制作重力式抛石机（如图1），比赛以定点打击目标“士兵”的方式进行，采取积分制，击倒不同目标的“士兵”获得相应分数（各目标“士兵”对应分值如图2），积分高者获胜．下面是这组同学在练习时对“子弹”运动轨迹的分析．如图3，在平面直角坐标系中，点在x轴上，城堡高为3分米，第一排目标“士兵”距离抛石机发射点的水平距离为26分米，城堡到发射点的水平距离为30分米，子弹的飞行高度y（分米）与水平距离x（分米）近似满足二次函数关系．(1)若，求子弹落在A处时抛物线解析式中b的值及子弹飞行的最大高度；(2)已知目标“士兵”的高度为1.8分米，若抛物线的值不变，可以通过增加配重改变抛物线的形状，想要击中3分区域目标的“士兵”，请确定的取值范围．52．（2025·河南平顶山·一模）如图，夏季来临之际，水上乐园深受广大同学的欢迎，其中水滑道的坡度直接影响游玩的刺激程度和安全性，一般来说，坡度的设计需要考虑到水流的速度、游客的舒适度以及滑道的长度．数学兴趣小组的同学对部分水滑道的截面近似的看作是抛物线的一部分的某项水上项目中的数学问题进行了深入研究，在如图所示的平面直角坐标系中，游客从A点处沿滑道滑下后会经过点C至点B处腾空飞出后落入水池．(1)米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为；(2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）．53．（2025·河南平顶山·二模）如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以