五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(河南专用)12：四边形的有关性质和应用（学生版）

专题12四边形的有关性质和应用考点一、三角形中位线的性质1．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（

）

A． B．1 C． D．考点二、利用平行四边形的性质求解3．（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．(2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题：①若，请判断与的数量关系，并说明理由；②若，求，两点间的距离．(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长．

考点三、平行四边形与相似三角形的综合4．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（

）A． B．1 C． D．2考点四、矩形性质的应用5．（2023·河南·中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为．考点五、矩形性质与相似三角形的综合6．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点．(1)观察猜想如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________．(2)类比探究如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．(3)拓展应用当，且时，若，请直接写出的值．考点六、菱形性质与判定7．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（

）A．2 B． C． D．8．（2014·河南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．9．（2022·河南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（

）A．6 B．12 C．24 D．4810．（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形是菱形11．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．(1)求k的值；(2)求扇形的半径及圆心角的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．考点七、正方形性质的应用12．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为．13．（2022·河南·中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．专练一、多边形性质的应用14．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，直线，是正五边形的一个外角，则的度数为（

）A． B． C． D．15．（2025·广东珠海·三模）如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（

）A． B． C． D．16．（2025·河南洛阳·三模）如图，，，是正n边形的三条边，在该正n边形下方以为一边作正六边形．已知，则n的值为（

）A．16 B．18 C．20 D．2217．（2025·河南驻马店·二模）如图，正六边形和等腰的一边重合，，则直线与直线所夹锐角的度数为（

）A． B． C． D．18．（2025·河南驻马店·三模）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．19．（2025·河南周口·二模）如图，将直尺叠放在正六边形上，六边形顶点，都在直尺的边上，且，分别与直尺的上下边交于点和，若，则的度数为（

）A． B． C． D．20．（2025·河南南阳·模拟预测）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”．(1)操作判断：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）；(2)性质探究：①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______；②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：；(3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出的长．21．（2025·河南周口·模拟预测）我们学习了应用尺规“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习．【材料阅读】如图①，商水寿圣寺塔，位于河南省周口市商水县，始建于北宋明道二年．商水寿圣寺塔为九级楼阁式砖塔，平面呈正六边形，塔体从底至顶渐收匀称，成正六棱体锥形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，过程中充分体现工匠的数学应用能力．当时没有量角器，工匠仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法：已知．第一步：分别在的边和上，用带有刻度的“角尺”测量得到点C和D，使得；第二步：连接，得到线段；第三步：用“角尺”作出过点O与垂直的射线，就是的平分线．【探究与应用】（1）小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为三角形；第三步作图完成后，平分的依据是：；（2）请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线；【拓展探究】（3）小明进一步研究发现，用这种方法作“平分任意一个已知角”存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图④，在正五边形．中，请用无刻度的直尺和圆规作出．的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）专练二、三角形中位线的性质22．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边的中点，现将点绕着点按顺时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为．23．（2025·河南驻马店·三模）如图，中，，为边的中点，长度为的动线段绕点旋转，连接，取的中点，则长度的最大值为，最小值为．24．（2025·河南洛阳·三模）如图，已知在正方形中，，，，，点D为中点，连接，点P为中点．连接，则的最大值为．25．（2025·河南驻马店·三模）如图，等边三角形中，，线段绕点在平面内旋转，为的中点．若，则的最大值为，最小值为．专练三、平行四边形的性质与判定的综合26．（2025·河南漯河·三模）如图，点是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．27．（2025·河南安阳·三模）如图，点A，C的坐标分别为，，将绕原点O逆时针旋转得到，则点B的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．28．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形中，，点P为射线上一动点，连接，点M、N分别为直线，上的点，且垂直平分，若，则线段的长为．29．（2025·河南平顶山·三模）如图，已知平行四边形．(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)在①的条件下，求证：是等腰三角形．30．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，为边的中点．(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)若在（1）中的射线上有一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形．31．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，D为的中点，连接．(1)用尺规作图法在的延长线上找一点E，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为平行四边形．专练四、平行四边形与相似三角形的综合32．（2025·河南新乡·三模）如图，在中，，，，，则的长为（）A．2 B．4 C．5 D．633．（2025·河南安阳·三模）如图，已知，是的中点，连接，相交于点，，若，则的长是（

）A．1 B． C．2 D．34．（2025·河南安阳·二模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（

）A． B．6 C．5 D．35．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，为对角线BD上一点，过点的直线MN分别交边AB，BC于点F，G，交射线DA，DC于点M，N．若，则的值为（

）A．6 B．8 C．9 D．1036．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，分别是边，的中点，连接，与对角线相交于点，，分别是，的中点，若的面积为160，则四边形的面积为．37．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是．38．（2025·河南商丘·三模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项积点”．如图1，在中，D是边上一点，连接AD，若，则称点D是中边上的“比中项积点”．(1)在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项积点”；(2)如图2，中，，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项积点”．①求证：点F也是中边上的“比中项积点”；②连接并延长，交于点G，若点F是中边上的“比中项积点”，且，直接写出边的长．专练五、矩形性质与判定的综合39．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，原点为的中点．将折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．40．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．41．（2025·河南信阳·三模）在平行四边形中，E是边上一点，连接．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点F；（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，若，求证：四边形是矩形．42．（2024·河南南阳·一模）矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为．43．（2025·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么44．（2025·河南·模拟预测）综合与实践【初步判断】(1)矩形和矩形全等，且按如图1所示的方式摆放，点E在的延长线上，点G在的延长线上，连接，，，连接并延长交于点M，则线段与线段的数量关系为________．【深入探究】(2)将图1中的矩形绕点C逆时针旋转，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2进行证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】(3)在（2）的条件下，取的中点N，连接．若，，请直接写出线段长度的最小值．专练六、矩形与相似三角形的综合45．（2025·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．当时，的长为．46．（2025·河南安阳·三模）某校数学探究小组的同学在学习了图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究．【特例探究】如图1，在中，，是斜边上的高．（1）求证：；【类比研究】（2）如图2，为线段的延长线上一点，连接并延长至点，连接，，使得．请判断的形状，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内有一点满足，连接并延长至点，使得，请直接写出线段的最小值．47．（2025·河南驻马店·三模）综合与实践如图，在中，，点M为边上不与端点重合的一个动点，过点M作于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，过点M作，交于点N．(1)初步探究如图1，，四边形的形状是____________；线段与的数量关系是____________；(2)类比探究如图2，，①写出图中与相等的角，并说明理由；②求证：；(3)拓展应用当时，直接用含n的代数式表示的值．48．（2025·河南信阳·三模）综合探究在矩形中，为其对角线，，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将沿着翻折得对应．(1)若，如图1，当点落在对角线上时，的度数是；、、的数量关系是；(2)若①如图2，当点落在对角线上时，写出、、之间的数量关系，并说明理由；②过点作，分别交、于，两点，若，当点为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．49．（2025·河南·模拟预测）如图1，已知矩形分别为中点，连接．(1)_____，与的位置关系为_____；(2)如图2，若把绕点逆时针旋转与之间的数量关系和位置关系是否会发生变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，如图3，直线与交于点，当旋转至时，请直接写出的长．专练七、菱形性质与判定的综合50．（2025·河南商丘·三模）如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（

）A． B． C． D．51．（2025·河南驻马店·三模）如图，菱形中，，为边上一点，且，折叠菱形使点B与点P重合，展开后得到折痕，分别与交于点．则的长为（

）A．1 B． C． D．52．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在第二象限交于点M，连接．点C在上，连接，，且．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（

）A． B． C． D．53．（2025·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，点，将菱形绕点逆时针旋转得到四边形，使得点的对应点落在的延长线上，交于点，则点的横坐标为（

）A．2 B． C． D．54．（2025·河南漯河·二模）如图，四边形是平行四边形．(1)请利用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形．55．（2025·河南南阳·二模）如图，在平行四边形中，平分，交于点．(1)请用无刻度的直尺和圆规作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形是菱形．56．（2025·河南驻马店·三模）如图，是一张锐角三角形纸片．(1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）①作的平分线，交于点；②作的垂直平分线，分别交、于点和．(2)连接、，证明得到的四边形为菱形．57．（2025·河南信阳·三模）综合与实践：如图，菱形中，，点从出发，沿边，运动到点停止．作射线，将射线以为旋转中心，逆时针旋转，交射线于，连接．(1)如图，与始终相等的角是_______．(2)如图，当点在边上（不与，重合）运动时，过点作射线的垂线，垂足为，若是线段的中点，连接，求的度数．(3)请直接写出为等腰三角形时，的度数．专练八、菱形与相似三角形的综合58．（2025·河南驻马店·三模）如图，P是菱形的边上的一点，，过点P作，垂足为Q．若，则的长为（

）A．3 B． C．2 D．59．（2025·河南郑州·三模）如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形．发现四边形是菱形，，是的中点，点在边上，四边形是矩形，则：是．60．（2025·河南驻马店·三模）如图，菱形中，点P为对角线上一动点，作关于的对称图形，得到，点D的对应点为点Q，射线与菱形的边交于点M．若，，则当点P为的三等分点时，的长为．（温馨提示：）61．（2025·河南南阳·三模）如图，已知．(1)尺规作图：作平分交于点，再作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由；(3)若，，，求的长．62．（2025·河南驻马店·三模）综合与实践在四边形中，，分别是边，对角线上的动点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上．【初步探究】（1）如图1，若四边形为菱形．，；的值为；【类比探究】（2）如图2，若四边形为矩形，，，为线段的中点，，①写出图2中与相等的角，并说明理由；②求的值；【拓展应用】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，将向左下方平移，点，，的对应点分别为，，，与交于点，当线段的三等分点与点重合时，直接写出线段的长．专练九、正方形性质与判定的综合63．（2025·河南平顶山·三模）如图，在正方形中，点在上，于点，于点G．若，则的面积为（

）A． B． C． D．64．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，若为平面内一点，且满足，连接，则线段的最小值为，最大值为．65．（2025·河南驻马店·三模）如图，在正方形中，，E是边的中点，连接交对角线于点F，则线段的长为（

）A．1 B． C． D．66．（2025·河南周口·二模）如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（

）．A． B．3 C． D．67．（2025·河南郑州·三模）在正方形中，，点为直线上的一点，过点作交直线于点．若，则．68．（2025·河南周口·三模）综合与实践在数学实践课上，实践小组了准备一张等腰直角三角形纸片和一张正方形纸片进行实验探究．如图，与正方形的顶点重合，，连接，射线与射线交于点．初步探究（1）如图1，当点在上，三点共线时，则的值是_____，的度数为______．操作探究（2）在图1的基础上，将正方形绕点顺时针旋转得到图2，连接．求证：．拓展探究（3）在图1的基础上，将正方形绕点顺时针旋转一周，当时，若，请直接写出线段的长．69．（2025·河南周口·模拟预测）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，，将三角形绕点逆时针方向旋转（）角，观察图形的变化，并完成探究活动活动．【初步探究】如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点．（1）问题1：和的数量关系是______，位置关系是______．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．（2）问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，，求证：．【尝试应用】（3）问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．70．（2025·河南·模拟预测）在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接并延长，交于点，连接．(1)如图1，当点在上时，与的数量关系是_____；(2)如图2，改变点在上的位置（点不与点重合），使点不在上时，判断（1）中与之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由；(3)在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为2，当的周长最小时，直接写出此时的长．专练十、正方形与相似三角形的综合71．（2025·河南信阳·三模）如图，正方形的边长为．边上有一点，以为斜边，在正方形内部作一等腰直角三角形，，连接，则的最小值为，最大值为．72．（2025·河南洛阳·三模）如图，等腰直角三角形的斜边经过正方形的顶点B，点G为的中点，连接与交于点H．（1）若，则的长度为．（2）若B恰为的中点，则的值为．73．（2025·河南驻马店·三模）综合与实践【问题背景】数学活动课上，刘老师让学生以正方形为主题背景进行旋转变换探究活动．点E为正方形边延长线上一点，且，连接，将边绕点E顺时针旋转得到EP，旋转角为，连接．【问题解决】下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题．(1)“奋进”小组提出的问题是：如图1，若点P落在边上，则______°；的值为______；(2)“智慧”小组提出的问题是：如图2，若点P落在正方形的内部，且，写出的值，并就图2的情形说明理由；(3)“创新”小组突发奇想，将提出的问题迁移到平面直角坐标系中，使得边BC在x轴上，点B与原点O重合，如图3．若，当点P在第一、三象限的角平分线上时，直接写出点P的坐标．74．（2025·河南平顶山·二模）（1）如图1，在正方形和中，点G在边的延长线上，点E在边的延长线上．求证：．（2）如图2，在中，，点K是边的三等分点，过点K作，交于点L，点M在边的延长线上，连接，过点L作，交射线于点N．已知，求的值．（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）．75．（2025·河南安阳·二模）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究．定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形．(1)观察思考如图，在双直四边形中，，若，则的值为________．(2)初步探究如图，在双直四边形中，，过点作交于点．若，请猜想和之间的数量关系，并说明理由．(3)类比探究如图，在（）的基础上，若、、，求的长（用含，，的代数式表示）．(4)拓展应用如图，在双直四边形中，．，，为线段上一动点，且（，连接，作点关于直线的对称点，连接．若，请直接写出的长．76．（2025·河南周口·三模）（1）如图1，在正方形和中，点在边的延长线上，点在边的延长线上．求证：．（2）如图2，在中，，点是边的三等分点，过点作，交于点，点在边的延长线上，连接，过点作，交射线于点．已知，求的值．（3）如图3，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），连接，以为顶点作的边交射线于点．若（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）．专练十一、各四边形性质的综合问题77．（2025·河南驻马店·三模）小明同学在进行四边形大单元整合知识时，试图用“特殊到一般”的思想方法研究四边形的边长与对角线的关系，下面是他的探究过程．【观察发现】（1）如图，正方形的对角线长为m，则______（用含m的代数式表示）；【操作探究1】（2）如图，菱形的对角线长为m，长为n，则______（用含m，n的代数式表示）；【操作探究2】（3）如图，在中，对角线长为m，长为n，猜想的值并说明理由（用含m，n的代数式表示）；【拓展应用】（4）在（3）的条件下，设与交于点O，若，，M为边上一点（不含点B），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，当点落在边上时，请直接写出的长．78．（2025·河南·模拟预测）综合与实践【回归教材】通过对教材的学习，小明学习到这样一个知识：如图①，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，正方形绕点旋转的过程中，边，分别交正方形的边，于点，，在旋转过程中，两个正方形重叠的面积（阴影部分