2025-2026学年江苏省南通市海安市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南通市海安市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.1和9的等比中项是(

)A.5 B.3 C.−3 D.±32.椭圆3x2+4yA.2 B.3 C.4 D.3.已知函数f(x)=x，则h→0limA.0 B.14 C.12 4.设点O(0,0,0)，A(3,1,2)，B(1,5,0)，线段AB的中点为M，则OM⋅AB=A.−7 B.−6 C.6 D.75.两条平行直线x−y+1=0与ax+y−3=0(a∈R)之间的距离为(

)A.2 B.2 C.226.曲线y=ln(1−x)在x=0处的切线的倾斜角为(

)A.30° B.45° C.135° D.150°7.设数列{an}满足nan+1=(n+1)an，且aA.89 B.910 C.10118.设函数f(x)=lnxx，f(a)=f(b)(a<b)，记p=f(a+b)，q=f(abA.p>q>r B.q>p>r C.p>r>q D.q>r>p二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=3A.0是数列{an}的项 B.数列{an}是递减数列

C.10.已知{a,b,A.a，b，c至多有一个零向量

B.{a+b,a−b,c}也是空间的一个基底

C.空间任一向量p均可用{a,b11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与E相交于两点A，B，直线OA与l交于点C，且|OA|=3|OC|，则(

)A.|AF|=2p B.∠AFO=120° C.OA⊥OB D.BC//x轴三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=x3−6x2+713.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直x14.智能驾驶系统的目标识别失误率通过数据选代持续降低，设第n轮选代后的失误率为an(0<an<1,n∈N)，初始失误率a0=0.5，且an+1=an2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆M的圆心为(1,0)，点A(0,−1)，B(3,0)，C(1,1)恰好一个在圆外，一个在圆上，一个在圆内．

(1)求圆M的标准方程；

(2)求过点B的圆M的切线方程．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=xex．

(1)求f(x)的极小值；

(2)求和：f′(0)+f′(1)+f′(2)+…+f′(9)．17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左顶点为A(−2,0)．

(1)求C的标准方程；

(2)设P、Q两点在C上，且线段PQ的中点为M(1,m)．

(i)当m=1时，求直线PQ的方程；

18.(本小题17分)

已知{an}是首项为1的递增数列，an−1an+1=an2，n≥2，n∈N∗．

(1)证明：数列{an}是等比数列；

(2)数列{an}的前n项和为Sn，且S3=7．

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=tanx(0≤x<π2)．

(1)求y=f(x)在x=0处的切线方程；

(2)若f(x)≥ax恒成立，求实数a的最大值；

(3)方程f(x)=m(0≤m≤3)的解记为参考答案1.D

2.C

3.C

4.C

5.A

6.C

7.B

8.B

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.(0,4)

13.514.2

15.解：(1)圆M的圆心为(1,0)，点A(0,−1)，B(3,0)，C(1,1)，

可得|MA|=2，|MB|=2，|MC|=1，B在圆外，A在圆上，C在圆内，

所求圆的标准方程：(x−1)2+y2=2．

(2)由题意可知切线的斜率存在，设为k，切线方程为y=k(x−3)，即kx−y−3k=0．

可得16.解：(1)函数f(x)=xex的定义域为R，f′(x)=ex+xex=(x+1)ex，

令f′(x)=0，可得x=−1，

当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)的极小值为f(−1)=−1e；

(2)由f′(x)=(x+1)ex，得f′(0)+f′(1)+f′(2)+…+f′(9)=k=09(k+1)ek，

设S=1⋅17.解：(1)由题可得ca=12a=2b2=a2−c2，解得a=2b=3，

所以椭圆标准方程为x24+y23=1；

(2)由题，设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，

(i)若中点M(1,1)，则x1+x2=2，y1+y2=2，

联立x124+y123=1x224+y223=1，

两式作差变形得(x118.(1)证明：因为an−1an+1=an2，n≥2，n∈N∗，{an}是首项为1的递增数列，

所以an+1an=anan−1，所以数列{an}是首项为1的等比数列；

(2)(i)解：因为{an}的首项为1，S3=7，

所以19.解：(1)f(0)=tan0=0，切点为(0,0)．

f′(x)=1cos2x，故f′(0)=1cos20=1，即切线斜率为1，

由点斜式得切线方程：y−0=1⋅(x−0)，即y=x；

(2)设g(x)=tanx−ax，x∈[0,π2)，则g(x)≥0恒成立，

g′(x)=1cos2x−a，

当x=0时，g(0)=0，

若a≤1，g′(x)=1cos2x−a≥1−a≥0，g(x)在[0,π2)单调递增，g(x)≥g(0)=0，满足条件；

若a>1，令g′(x)=0，得1cos2x