2025-2026学年天津市宝坻一中高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市宝坻一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过A(0,4)，B(3,1)两点的直线的倾斜角为A.−60° B.60° C.120° D.150°2.设x，y∈R，向量a=(1,x,y)，b=(2,−4,2)，a//b，则A.−7 B.−5 C.−3 D.13.在等差数列{an}中，a4+aA.15 B.20 C.30 D.404.已知双曲线x2a2−y2A.10 B.3 C.5 5.已知圆C：x2+y2−4x−m+9=0与直线l：3x+y−3=0相交于A.4 B.5 C.6 D.76.设数列{xn}满足lnxn+1=1+lnxnA.11⋅e20 B.11⋅e217.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线A.65 B.35 C.8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别在CA.342 B.34 C.9.数列{an}满足a1=13,A.4 B.6 C.8 D.10二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知直线l：x+(2a−1)y+a−2=0，当a变化时，直线l总是经过定点，则定点坐标为

．11.已知圆C1：x2+y2−2x+2my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆C2：(x+3)12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3a13.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，点D是BB1

14.已知点M为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)在第一象限的一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，F到一条渐近线的距离为1515.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C(p,0)，AF与BC相交于点E.若|AB|=2|CF|，且△ABE的面积为3，P是抛物线上的一点，则|PC|的最小值为

．三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

如图，三棱台ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=4，A1B1=A1C1=A1A=2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是CC1的中点．

17.(本小题13分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1)和(1,63)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若经过椭圆C的右焦点F2作倾斜角为45°的直线l18.(本小题15分)

已知公差为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2S2=18，b2+S19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与C交于D，E两点，△DEF2的周长为8，当直线l垂直于x轴时，|DE|=2．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左顶点为A，直线x=my+1与C20.(本小题17分)

已知k为正整数且k≥2，d为非零实数，数列{an}满足a1=1，且a1，a2，⋯，ak是公差为1的等差数列，ak，ak+1，⋯，a2k是公差为d的等差数列，a2k，a2k+1，⋯，a3k是公差为d2的等差数列，以此类推．

(1)当k=10，a20=50时，求d；

(2)求a3k的最小值(用含k的代数式表示)；

(3)记n除以k的整数部分为s，余数为t，求{答案和解析1.【答案】C

【解析】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0,π)，

A(0,4)，B(3,1)，

则kAB=4−10−3=−3，

故2.【答案】B

【解析】解：因为向量a=(1,x,y)，b=(2,−4,2)，且a//b，

所以12=x−4=y2，

解得x=−2，y=1，

3.【答案】D

【解析】解：由题可得3a5=60，可得a5=20，

故a2+a84.【答案】A

【解析】解：直线x−3y+2=0的斜率为13，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x−3y+2=0垂直，

所以双曲线一条渐近线的斜率为−3，

即ba5.【答案】C

【解析】解：圆C：x2+y2−4x−m+9=0，即(x−2)2+y2=m−5，

所以圆心C(2,0)，半径r=m−5，且m>5，

则圆心C(2,0)到直线l的距离d=|23−3|1+3=32，

因为圆C与l：3x+y−3=0相交于A6.【答案】D

【解析】解：∵lnxn+1=1+lnxn，

∴lnxn+1−lnxn=1

∴xn+1xn=e

∵x7.【答案】A

【解析】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−1,−2)，

即点(−1,−2)在抛物线的准线上，则p=2，

则抛物线的焦点为(1,0)；

则双曲线的左顶点为(−3,0)，即a=3；

点(−1,−2)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，

由双曲线的性质，可得b=6；

则c=9+36=35，则焦距为2c=65

故选：A．

根据题意，点(−1,−2)在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=2，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点(−1,−2)在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．

8.【答案】A

【解析】解：设O为坐标原点，延长BF2交双曲线C于点D，

连接DF1，

因为AF1/​/BF2，点O为F1F2的中点，

由双曲线的对称性可知AF1//DF2，|AF1|=|DF2|，

因为5|AF1|=3|BF2|，

设|AF1|=|DF2|=3t，

此时|BF2|=5t，

所以|BF1|=2a+|BF2|=2a+5t，|DF1|=2a+|DF2|=2a+3t，

因为BF1|=2|AF1|，

所以2a+5t=2×3t，9.【答案】D

【解析】解：因为an+1n+1=anan+n，

所以两边取倒数得：n+1an+1=nan+1，

因为a1=13，所以1a1=3，

所以数列{nan}

是首项为3，公差为1的等差数列，

所以nan=3+n−1=n+2，即a10.【答案】(3【解析】解：根据题意，直线l的方程可化为a(2y+1)+x−y−2=0，

由2y+1=0x−y−2=0，解得x=32y=−12，可知点(32,−12)总适合直线l的方程，

所以直线l总经过定点(32,−12)．11.【答案】外切

【解析】解：因为C1：x2+y2−2x+2my+1=0圆的面积被直线x+2y+1=0平分，

所以圆心C1(1,−m)在直线x+2y+1=0上，

所以1−2m+1=0，解得m=1，

所以圆C1：x2+y2−2x+2y+1=0，即(x−1)2+(y+1)2=1，

其圆心为C(1,−1)，半径为r1=1，

因为圆C2：(x+3)12.【答案】(5【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1−3，

所以2Sn+1=3an+2−3．

两式相减，得2an+1=3an+2−3an+1，即3an+2=5an+1，

13.【答案】6【解析】解：因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，点D是BB1中点，

连接C1D，

所以AC=AB2+BC2=12+12=2，A1C1=AC=2，

又A1D=A1B12+B1D2=12+12=2，

C114.【答案】x2【解析】解：如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0，F(c,0)，

F(c,0)到渐近线bx−ay=0的距离为d=|bc|a2+b2=b，

所以b=15，

因为△OMF为等腰三角形，所以xM=c2，代入方程x2a2−y2b2=1，

得c24a2−yM2b2=1，由yM>0解得yM=bc2−4a22a，

所以M(c15.【答案】3

【解析】解：由题意可知：焦点F(p2,0)，准线l：x=−p2，则|AB|=2|CF|=p，

由对称性不妨设A(m,n)(n>0)，则|AB|=m+p2=p，解得m=p2，

将点(p2,n)代入y2=2px，可得n2=p2，即n=p，

由|AB|=2|CF|得|AE|=2|EF|，可知E点纵坐标为p3，

则△ABE的面积为12p(p−p3)=3，解得p=3，

所以抛物线方程为y2=6x，点C坐标为(3,0)，

设P(x,y)，则|PC|=(x−3)2+16.【答案】(1)证明：∵A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AB=AC=4，A1B1=A1C1=A1A=2，点D是CC1的中点，

∴A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，

B1(2,0,2)，C1(0,2,2)，D(0,3,1)，

则BB1=(−2,0,2),AC=(0,4,0),AB1=(2,0,2)，

设平面AB1C的法向量为m=(x,y,z)，

则有m⋅AC=0,m⋅AB1=0,即4y=0,2x+2z=0,令x=1，得y=0，z=−1，∴m=(1,0,−1)，

∵BB1=(−2,0,2)=−2m，

∴BB1⊥平面AB1C；

解：(2)AB=(4,0,0),AD=(0,3,1)，

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z)，

则有n【解析】由题，以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可一一解决每个问题．

本题考查了空间向量的综合运用，属于中档题．17.【答案】x23+【解析】解：(1)根据椭圆的简单几何性质，可知b=1，

将点(1,63)代入x2a2+y2=1，那么可得a=3，

所以椭圆C为x23+y2=1．

(2)根据已知可得椭圆的右焦点为(2,0)，

直线l为y=x−2，

联立椭圆方程，那么可得4x2−62x+3=0，Δ=(−62)2−4×4×3=24>0，

设A(x1,y1)18.【答案】an=n,b【解析】解：(1)数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2S2=18，b2+S3=12，

设等差数列{an}的公差为d(d>0)，等比数列{bn}公比为q，

则b2S2=b1q(219.【答案】x24+y22【解析】解：(1)根据椭圆的定义可知△DEF2的周长为|DF2|+|CF2|+|CD|=8，

因此|DF2|+|CF2|+|CF1|+|DF1|=8，即4a=8，解得a=2，

x=−c代入椭圆有c2a2+y2b2=1，因此y2=b2(1−c2a2)=b4a2，因此y=±b2a，

因此通径|DE|=2b2a=2，所以b2=2，

故椭圆C为x24+y22=1；

(2)直线NQ过定点(2,0)，理由如下：

根据x=my+1x2+2y2=4，那么可得(m2+2)y2+2my−3=0，20.【答案】4

34k

【解析】解：(1)根据题设条件可知a1=1，a2，⋯，a10为公差为1的等差数列，

根据等差数列的通项公式可得a10=a1+9=10，

又a10，a11，⋯，a20为公差为d的等差数列，

根据等差数列通项公式的推广公式可得a20=a10+10d=50，

解得d=4；

(2)由题可知：a1=1，a2，a3，⋯，a