浙江省名校协作体2026届数学高一下期末综合测试试题含解析

浙江省名校协作体2026届数学高一下期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知平行四边形对角线与交于点，设，，则（）A． B． C． D．2．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B． C． D．3．已知点，和向量，若，则实数的值为（）A． B． C． D．4．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A． B． C． D．35．已知a，b为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．6．已知等差数列中，，则公差（）A． B． C．1 D．27．若向量与向量不相等，则与一定（）A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量8．等比数列{an}中，a3=12A．3×10-5C．128 D．3×2-59．已知数列的前项和为，，且满足，若，则的值为（）A． B． C． D．10．在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（）A． B．C．平面 D．平面二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数在区间上的最大值为，则的值是_____________.12．已知实数满足则的最小值为__________．13．辗转相除法，又名欧几里得算法，是求两个正整数之最大公约数的算法，它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》．下图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法．若输入、的值分别为、，则执行程序后输出的的值为______．14．已知等差数列的前项和为，且，，则；15．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则________.16．某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求函数的单调减区间.（2）求函数的最大值并求取得最大值时的的取值集合.（3）若，求的值.18．在中，角A,B,C，的对应边分别为，且.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若的面积为，，D为AC的中点，求BD的长．19．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.20．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.21．在上海自贸区的利好刺激下，公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自2014年1月以来的第个月（2014年1月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量+出口量）分别为、和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中，为常数，），已知万件，万件，万件.（1）求，的值，并写出与满足的关系式；（2）证明：逐月递增且控制在2万件内；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据向量减法的三角形法则和数乘运算直接可得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基础题.2、A【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.3、B【解析】

先求出，再利用共线向量的坐标表示求实数的值.【详解】由题得，因为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、A【解析】

首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．5、C【解析】

，时，、、不成立；利用作差比较，即可求出．【详解】解：，时，，，故、、不成立；，，．故选：．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．6、C【解析】

利用通项得到关于公差d的方程，解方程即得解.【详解】由题得.故选C【点睛】本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】

由方向相同且模相等的向量为相等向量，再逐一判断即可得解.【详解】解：向量与向量不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A、B、C错误，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了相等向量的定义，属基础题.8、D【解析】

根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.【详解】设公比为q，则12q+12q=30，∴∴q=2或q=12，∴a10即3×29或故选D.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.9、D【解析】

由递推关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.【详解】由得：数列为等差数列，设其公差为，，解得：，本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.10、C【解析】

设，证明出，可判断出选项A、C的正误；由为等腰三角形结合可判断出B选项的正误；证明平面可判断出D选项的正误.【详解】如下图所示，设，则为的中点，在正方体中，，则四边形为平行四边形，.易知点、分别为、的中点，，则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；四边形为正方形，则，在正方体中，平面，平面，，，平面，平面，，同理可证，且，平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选C.【点睛】本题考查线线、线面关系的判断，解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证明线面平行、线面垂直，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数在上的最大值为1，易求出的值．【详解】函数又函数在上的最大值为1，≤0，又,且在上单调递增，所以即．故答案为：【点睛】本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用同角三角函数平方关系，将函数化为二次型的函数，是解答本题的关键，属于中档题．12、【解析】

本题首先可以根据题意绘出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何性质，找出目标函数取最小值所过的点，即可得出结果。【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，即。【点睛】本题考查根据不等式组表示的平面区域来求目标函数的最值，能否绘出不等式组表示的平面区域是解决本题的关键，考查数形结合思想，是简单题。13、【解析】

程序的运行功能是求，的最大公约数，根据辗转相除法可得的值．【详解】由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求、的最大公约数，当输入的，，；，，可得输出的．【点睛】本题主要考查了辗转相除法的程序框图的理解，掌握辗转相除法的操作流程是解题关键．14、1【解析】

若数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差数列．所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=1．故答案为1．15、【解析】

讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，分别计算得到答案.【详解】抛物线的焦点F为，当斜率不存在时，易知，故；当斜率存在时，设，故，即，故，.综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线中线段长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16、无【解析】

可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可【详解】如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，，，则，所以为等腰三角形。，又，所以，，所以渔船没有触礁的危险故答案为：无【点睛】本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）最大值是2，取得最大值时的的取值集合是.（3）【解析】

(1)利用三角恒等变换化简的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得函数的单调区间;(2)根据的解析式以及正弦函数的最值,求得函数的最大值,以及取得最大值时的的取值集合;(3)根据题设条件求得,再利用二倍角的余弦公式求的值.【详解】(1),令,解得,所以的单调递减区间为;(2)由(1)知,故的最大值为2,此时,,解得,所以的最大值是2,取得最大值时的的取值集合是;(3),即,所以,所以.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换,考查正弦型函数的图象和性质,熟练掌握正弦型函数的图象和性质是答题关键,属于中档题.18、（I）；(II)【解析】

（I）由正弦定理得，展开结合两角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面积得，利用平方求解即可【详解】（I），由正弦定理得整理得，则，，.(II)，，两边平方得【点睛】本题考查正弦定理及两角和的正弦，三角形内角和定理，考查向量的数量积及模长，准确计算是关键，是中档题19、(1)证明见解析；(2)【解析】

（1）将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得.【详解】（1）证明：∵∴又∵∴所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）知，，所以.所以【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.20、（1）分别抽取人，人，人；（2）【解析】

（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.【详解】（1）第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组:；第组:；第组:.所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有:，，，，，