2026届福建省宁德一中高一下数学期末检测试题含解析

2026届福建省宁德一中高一下数学期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A． B． C． D．2．下列各角中与角终边相同的角是A． B． C． D．3．已知正数组成的等比数列的前8项的积是81，那么的最小值是（）A． B． C．8 D．64．的值是()A． B． C． D．5．若在是减函数，则的最大值是A． B． C． D．6．在中，角的对边分别是，若，则角的大小为（）A．或 B．或 C． D．7．中，，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形8．某小组共有5名学生，其中男生3名，女生2名，现选举2名代表，则恰有1名女生当选的概率为（）A． B． C． D．9．直线的倾斜角为A． B． C． D．10．已知等比数列满足,,则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，是与的等比中项，则最小值为_________．12．若点关于直线的对称点在函数的图像上，则称点、直线及函数组成系统，已知函数的反函数图像过点，且第一象限内的点、直线及函数组成系统，则代数式的最小值为________.13．已知向量（1，2），（x，4），且∥，则_____．14．如图中，，，，M为AB边上的动点，，D为垂足，则的最小值为______；15．已知向量，，则在方向上的投影为______.16．两平行直线与之间的距离为_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A，B，C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A，B，C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A，B，C三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？18．如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，，为中点．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小．19．如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图(年份代码1-7分别对应年份)（1）建立关于的回归方程(系数精确到0.001);（2）预测2020年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:,,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.20．在中，已知内角所对的边分别为，已知，，的面积.（1）求边的长；（2）求的外接圆的半径.21．正方体的棱长为点分别是棱的中点（1）证明：四边形是一个梯形：（2）求几何体的表面积和体积

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．2、B【解析】

根据终边相同角的概念，即可判断出结果.【详解】因为，所以与是终边相同的角.故选B【点睛】本题主要考查终边相同的角，熟记有关概念即可，属于基础题型.3、A【解析】

利用等比数列的通项公式和均值不等式可得结果.【详解】由由为正项数列，可知再由均值不等式可知所以（当且仅当时取等号）故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及均值不等式，属基础题.4、A【解析】由于==.故选A．5、A【解析】

分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间；由求减区间.6、B【解析】

通过给定条件直接利用正弦定理分析，注意讨论多解的情况.【详解】由正弦定理可得：，，∵，∴为锐角或钝角，∴或．故选B．【点睛】本题考查解三角形中正弦定理的应用，难度较易.出现多解时常借助“大边对大角，小边对小角”来进行取舍.7、C【解析】

由平面向量数量积运算可得，即，得解.【详解】解：在中，，则，即，则为钝角，所以为钝角三角形，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.8、B【解析】

记三名男生为，两名女生为，分别列举出基本事件，得出基本事件总数和恰有1名女生当选包含的基本事件个数，即可得解.【详解】记三名男生为，两名女生为，任选2名所有可能情况为，共10种，恰有一名女生的情况为，共6种，所以恰有1名女生当选的概率为.故选：B【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确计算出基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数.9、D【解析】

把直线方程的一般式方程化为斜截式方程，求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角.【详解】，设直线的倾斜角为，，故本题选D.【点睛】本题考查了直线方程之间的转化、利用斜率求直线的倾斜角问题.10、C【解析】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

根据等比中项定义得出的关系，然后用“1”的代换转化为可用基本不等式求最小值．【详解】由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．所以最小值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查等比中项的定义，考查用基本不等式求最值．解题关键是用“1”的代换找到定值，从而可用基本不等式求最值．12、【解析】

根据函数的反函数图像过点可求出,由、直线及函数组成系统可知在的图象上，且，代入化简为，换元则，利用单调性求解.【详解】因为函数的反函数图像过点，所以，即，由、直线及函数组成系统知在上，所以，代入化简得，令由知，故则在上单调递减，所以当即时，，故填.【点睛】本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题.13、．【解析】

根据求得，从而可得，再求得的坐标，利用向量模的公式，即可求解.【详解】由题意，向量，则，解得，所以，则，所以.【点睛】本题主要考查了向量平行关系的应用，以及向量的减法和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的平行关系，以及向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】

以为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出的值，然后利用换元法求解出对应的最小值即可.【详解】如图所示，设，所以，根据条件可知：，所以，设，，，所以，所以，所以，所以当时，有最小值，最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用坐标法以及换元法求解最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，属于较难题(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；(2)三角函数中的一组“万能公式”：，.15、【解析】

由平面向量投影的定义可得出在方向上的投影为，从而可计算出结果.【详解】设平面向量与的夹角为，则在方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量投影的计算，熟悉平面向量投影的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.16、【解析】

先根据两直线平行求出，再根据平行直线间的距离公式即可求出．【详解】因为直线的斜率为，所以直线的斜率存在，，即，解得或．当时，，即，故两平行直线的距离为．当时，，，两直线重合，不符合题意，应舍去．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行直线间的距离公式的应用，以及根据两直线平行求参数，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小【解析】

设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，则由题设可得，总的费用为，利用线性规划可求目标函数的最小值.【详解】设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，从甲到C调运吨，则从乙到A调运吨，从乙到B调运吨，从乙到C调运吨，设调运的总费用为元，则.由已知得约束条件为，可行域如图所示，平移直线可得最优解为.甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小.【点睛】本题考查线性规划在实际问题中的应用，属于基础题.18、（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）连交于，连，则点为中点，为中点，得，即可证明结论；（1）为正三角形，为中点，可得，再由底面，得底面，得，可证平面，有，为的平面角，解，即可求出结论.【详解】（1）连交于，连，三棱柱，侧面为平行四边形，所以点为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面；（2）为正三角形，为中点，可得，三棱柱，所以，底面，所以底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，为的平面角，在中，，，所以，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查线面平行的证明，用几何法求二面角的平面角，做出二面角的平面角是解题的关键，属于中档题.19、（1）（2）亿吨【解析】

（1）由题意计算平均数与回归系数,写出回归方程,即可求得答案;（2）计算2020年对应的值以及的值,即可求得答案.【详解】（1）由折线图可得:关于的回归方程:.（2）年对应的值为当时,预测年我国生活垃圾无害化处理量为亿吨.【点睛】本题主要考查了求数据的回归直线方程和根据回归直线方程进行预测,解题关键是掌握回归直线的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20、（1）；（2）【解析】

（1）由三角形面积公式可构造方程求得结果；（2）利用余弦定理可求得；利用正弦定理即可求得结果.【详解】（1）由得：，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形的问题，考查学生对于解三角形部分的公式掌握的熟练程度，属于基础应用问题.21、（1）证明