陕西省咸阳市百灵中学2026届高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

陕西省咸阳市百灵中学2026届高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，且，则（）A．2 B． C． D．2．如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（）A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为3．法国“业余数学家之王”皮埃尔·德·费马在1936年发现的定理：若x是一个不能被质数p整除的整数，则必能被p整除，后来人们称为费马小定理.按照该定理若在集合中任取两个数，其中一个作为x，另一个作为p，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（）A． B． C． D．4．若，则()A．0 B．-1 C．1或0 D．0或-15．已知向量，，，若，则（）A．1 B．2 C．3 D．46．点是角终边上一点，则的值为（）A． B． C． D．7．在锐角中，若，则角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°8．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”9．在中，，，，则B等于（）A．或 B． C． D．以上答案都不对10．若向量，，且，则＝()A． B．－ C． D．－二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若三角形ABC的三个角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，三角形ABC的面积，则b的最小值是________．12．已知正三棱锥的底面边长为6，所在直线与底面所成角为60°，则该三棱锥的侧面积为_______．13．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7从散点图分析，与线性相关，且，则______．14．方程组的增广矩阵是________.15．设为等差数列，若，则_____．16．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:x012y5221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:；但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，．(1)求及的值；(2)求的值．18．已知角的终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.19．在直角中，，延长至点D，使得，连接.（1）若，求的值；（2）求角D的最大值.20．在中，已知，是边上的一点，,,.（1）求的大小；（2）求的长.21．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据向量平行得到，再利用和差公式计算得到答案.【详解】向量，且，则..故选：.【点睛】本题考查了向量平行求参数，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.2、D【解析】

先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.【详解】将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.故选D.【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、A【解析】

用列举法结合古典概型概率公式计算即可得出答案.【详解】用表示抽取的两个数，其中第一个为，第二个为总的基本事件分别为：，，，共12种其中所取的两个数符合费马小定理的基本事件分别为：，，共8种则所取的两个数符合费马小定理的概率故选：A【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.4、D【解析】

由二倍角公式可得，即，从而分情况求解.【详解】易得，或.

由得.

由，得.故选：D【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及有关的二次齐次式子求值，属于中档题.5、A【解析】

利用坐标表示出，根据垂直关系可知，解方程求得结果.【详解】，，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.6、A【解析】

利用三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得，由诱导公式可得.故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.7、B【解析】

直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理得到：，故，是锐角三角形，故.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.8、D【解析】

写出所有等可能事件，求出事件“至少有一个黑球”的概率为，事件“都是红球”的概率为，两事件的概率和为，从而得到两事件对立.【详解】记两个黑球为，两个红球为，则任取两球的所有等可能结果为：，记事件A为“至少有一个黑球”，事件为：“都是红球”，则，因为，所以事件与事件互为对立事件.【点睛】本题考查古典概型和对立事件的判断，利用两事件的概率和为1是判断对立事件的常用方法.9、C【解析】试题分析：由正弦定理得，得，结合得，故选C．考点：正弦定理.10、B【解析】

根据向量平行的坐标表示，列出等式，化简即可求出．【详解】因为，所以，即，解得，故选B．【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及同角三角函数基本关系的应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先求出，再根据面积得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【详解】由题得,所以.由余弦定理得，当且仅当时取等.所以b的最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、【解析】

画出图形，过P做底面的垂线，垂足O落在底面正三角形中心，即，因为，即可求出,所以．【详解】作于，因为为正三棱锥，所以，为中点，连结，则，过作⊥平面，则点为正三角形的中心，点在上，所以，，正三角形的边长为6，则,，，斜高，三棱锥的侧面积为：【点睛】此题考查正三棱锥，即底面为正三角形，侧面为等腰三角形的三棱锥，正四面体为四个面都是正三角形，画出图像，属于简单的立体几何题目．13、【解析】

根据数据表求解出，代入回归直线，求得的值.【详解】根据表中数据得：，又由回归方程知回归方程的斜率为截距本题正确结果：【点睛】本题考查利用回归直线求实际数据，关键在于明确回归直线恒过，从而可构造出关于的方程.14、【解析】

理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵.【详解】由题意，方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，故方程组的增广矩阵是.故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组与增广矩阵的关系，需理解增广矩阵的涵义，属于基础题.15、【解析】

根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。16、4【解析】

根据回归直线经过数据的中心点可求.【详解】设丢失的数据为，则，，把代入回归方程可得，故答案为：4.【点睛】本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】

（1）由已知，，利用，可得的值，再利用及二倍角公式，分别求得及的值；（2）利用倍角公式、诱导公式，可得原式的值为.【详解】（1）因为，，所以，所以，.（2）原式【点睛】若三个中，只要知道其中一个，则另外两个都可求出，即知一求二.18、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用任意角的三角函数的定义，求得的值．（2）利用诱导公式化简所给的式子，再把代入，求得结果．【详解】解：（1）因为角的终边经过点由三角函数的定义可知．（2）由（1）知，．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．19、（1）；（2）.【解析】

（1）在中，由正弦定理得，，再结合在直角中，，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得，然后结合三角函数的有界性求解即可.【详解】解：（1）设，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，所以；（2）设，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因为，所以，即，即，根据三角函数有界性得，及，解得，所以角D的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.20、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根据的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，从而代入数据进行运算即可得到的长.试题解析：（1）在中，，由余弦定理可得又因为，所以（2