2026届广东省广州市荔湾、海珠部分学校高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2026届广东省广州市荔湾、海珠部分学校高一数学第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向右平移.2．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是()A． B． C． D．3．设函数,，其中,.若，且的最小正周期大于，则（）A．, B．,C．, D．,4．已知点在第三象限，则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知向量，若，则的最小值为（）.A．12 B． C．16 D．6．正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角是()A． B． C． D．7．已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为（）A． B．10 C． D．88．若直线经过A(1,0),B(2,3)两点，则直线A．135° B．120° C．60° D．45°9．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）A． B． C． D．10．已知数列是等差数列，数列满足，的前项和用表示，若满足，则当取得最大值时，的值为（）A．16 B．15 C．14 D．13二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，，则在方向上的投影为__________．12．如图，已知扇形和，为的中点.若扇形的面积为1，则扇形的面积为______.13．在中，角A，B，C的对边分别为，若,则此三角形的最大内角的度数等于________．14．若，则______．15．已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为______．16．对于数列满足：，其前项和为记满足条件的所有数列中，的最大值为，最小值为，则___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知离心率为的椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．18．已知圆的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.（1）若，求点P的坐标；（2）求证：经过A，P，三点的圆必经过异于的某个定点，并求该定点的坐标.19．如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面平面，证明平面.20．已知直线，.（1）证明:直线过定点；（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.21．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，且.（1）证明：平面；（2）若平面平面，证明：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可.【详解】为了得到函数的图象，先把函数图像的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍到函数y＝3sin2x的图象，再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y＝3sin（2x+）的图象.故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．2、A【解析】

由题意知，不等式有解，可得出，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】已知命题，，若是真命题，则不等式有解，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数，涉及一元二次不等式有解的问题，考查计算能力，属于基础题.3、B【解析】

根据周期以及最值点和平衡位置点先分析的值，然后带入最值点计算的值.【详解】因为，，所以，则，所以，即，故；则，代入可得：且，所以.故选B.【点睛】（1）三角函数图象上，最值点和平衡位置的点之间相差奇数个四分之一周期的长度；（2）计算的值时，注意选用最值点或者非特殊位置点，不要选用平衡位置点（容易多解）.4、B【解析】

根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.【详解】因为点在第三象限，则，，所以，则可知角的终边在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：.5、B【解析】

根据向量的平行关系，得到间的等量关系，再根据“”的妙用结合基本不等式即可求解出的最小值.【详解】因为，所以，所以，又因为，取等号时即，所以.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最小值，难度一般.本题是基本不等式中的常见类型问题：已知，则，取等号时.6、D【解析】

首先根据得到异面直线与所成的角就是直线与所成角，再根据即可求出答案.【详解】由图知：取的中点，连接.因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成角.因为，所以，.因为，所以，.所以异面直线与所成的角为.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题.7、D【解析】

在上的投影（正射影的数量）为可知，可求出，求的最小值即可得出结果.【详解】因为在上的投影（正射影的数量）为，所以，即，而，所以，因为所以，即，故选D.【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.8、C【解析】

利用斜率公式求出直线AB，根据斜率值求出直线AB的倾斜角.【详解】直线AB的斜率为kAB=3-02-1【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。9、A【解析】

由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点与定点，再利用基本不等式，即可得出答案。【详解】直线过定点，直线过定点,又因直线与直线互相垂直，即即，当且仅当时取等号故选A【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。10、A【解析】

设等差数列的公差为，根据得到，推出，判断出当时，；时，；再根据，判断出对取正负的影响，进而可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为数列是等差数列，，所以，因此，所以，所以，，因此，当时，；时，，因为，所以当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以；因为所以，当时，取得最大值.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质，及其函数特征即可，属于常考题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据数量积的几何意义计算．【详解】在方向上的投影为．故答案为：1．【点睛】本题考查向量的投影，掌握投影的概念是解题基础．12、1【解析】

设，在扇形中，利用扇形的面积公式可求，根据已知，在扇形中，利用扇形的面积公式即可计算得解．【详解】解：设，扇形的面积为1，即：，解得：，为的中点，，在扇形中，．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．13、【解析】

根据大角对大边，利用余弦定理直接计算得到答案.【详解】在中，角A，B，C的对边分别为，若不妨设三边分别为：3,5,7根据大角对大边：角C最大故答案为【点睛】本题考查了余弦定理，属于简单题.14、【解析】

,则，故答案为.15、【解析】

利用方差的性质直接求解．【详解】一组数据，，，的方差为5，这组数据，，，的方差为：．【点睛】本题考查方差的性质应用。若的方差为，则的方差为。16、1【解析】

由，，，，，分别令，3，4，5，求得的前5项，观察得到最小值，，计算即可得到的值．【详解】由，，，，，可得，解得，又，，可得或，又，，，可得或5；或6；或或8；又，，，，可得或6或7；或7或8；或8或9或10或12；或10或12或1．综上可得的最大值，最小值为，则．故答案为：1．【点睛】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得弦长.【详解】（1），又，，即椭圆方程是，代入点,可得，椭圆方程是.（2）设直线方程是，联立椭圆方程代入可得.【点睛】本题考查了椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，属于简单题.18、（1）和；（2）和【解析】

（1）设，连接，分析易得，即有，解得的值，即可得到答案.（2）根据题意，分析可得：过A，P，三点的圆为以为直径的圆，设的坐标为，用表示过A，P，三点的圆为，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案.【详解】（1）根据题意，点P在直线l上，设，连接，因为圆的方程为，所以圆心，半径，因为过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B；则有，且，易得，又由，即，则，即有，解得或，即的坐标为和.（2）根据题意，是圆的切线，则，则过A，P，三点的圆为以为直径的圆，设的坐标为，，则以为直径的圆为，变形可得：，即，则有，解得或，则当和，时，恒成立，则经过A，P，三点的圆必经过异于的某个定点，且定点的坐标和.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、圆中的定点问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.19、(1)见证明；(2)见证明【解析】

（1）可证，从而得到要求证的线面平行.（2）可证，再由及是棱的中点可得，从而得到平面.【详解】（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，，所以，又面，面，所以平面（2）证明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以①因为且是的中点，所以，②由①②及面，面，，所以平面.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法可利用三角形的中位线或平行公理.线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，而要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直（有时它来自面面垂直）来考虑.20、（1）见详解；（2）【解析】

（1）将直线变形，然后令前系数为0，可得结果.（2）根据直线//，可得，然后计算点到直线距离，根据面积公式，可得结果.【详解】（1）由则直线，令且所以对任意的，直线必过