2026届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师大附中高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2026届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师大附中高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数f（x）=loga（x2–ax+2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）2．若数列的前项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等差数列，则的充要条件是；（4）若是等比数列且，则的充要条件是；其中，正确命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．－4 B． C． D．4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．4 B．5 C． D．5．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为，，则（）A． B．C． D．6．已知等比数列中，，该数列的公比为A．2 B．-2 C． D．37．等比数列的前项和为，，且成等差数列，则等于()A． B． C． D．8．函数的单调减区间为()A．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z) B．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z)C．(kπ﹣，kπ+]，(k∈Z) D．(kπ+，kπ+]，(k∈Z)9．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C．-1 D．110．已知等差数列的前项和，若，则（）A．25 B．39 C．45 D．54二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，那么的值是________．12．在正数数列an中，a1=1，且点an,an-113．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.14．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．16．等比数列中，若，，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求；（2）求.18．已知向量与不共线，且，.（1）若与的夹角为，求；（2）若向量与互相垂直，求的值.19．某高中非毕业班学生人数分布情况如下表，为了了解这2000个学生的体重情况，从中随机抽取160个学生并测量其体重数据，根据测量数据制作了下图所示的频率分布直方图.（1）为了使抽取的160个样品更具代表性，宜采取分层抽样，请你给出一个你认为合适的分层抽样方案，并确定每层应抽取的样品个数；（2）根据频率分布直方图，求的值，并估计全体非毕业班学生中体重在内的人数；（3）已知高一全体学生的平均体重为，高二全体学生的平均体重为，试估计全体非毕业班学生的平均体重.20．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．（Ⅰ）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．（Ⅱ）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a(1+x)x元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a21．如果定义在上的函数，对任意的，都有，则称该函数是“函数”．（I）分别判断下列函数：①；②；③，是否为“函数”？（直接写出结论）（II）若函数是“函数”，求实数的取值范围．（III）已知是“函数”，且在上单调递增，求所有可能的集合与

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

函数为函数与的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论，，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得的范围.【详解】∵函数在区间上为单调递减函数，∴时，在上为单调递减函数，且在上恒成立，∴需在上的最小值，且对称轴，∴，当时，在上为单调递增函数，不成立，综上可得的范围是，故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，属于中档题.2、B【解析】

对各选项逐个论证或给出反例后可得正确的命题的个数.【详解】对于（1），取，则，因该数列的公差为，故是递增数列.，故，所以数列不是递增数列，故（1）错.对于（2），取，则，数列是递增数列，但，故数列是递增数列推不出的各项均为正数，故（2）错.对于（3），取，则，，故当时，但总成立，故总成立，故推不出，故（3）错.对于（4），设公比为，若，若，则，，矛盾，故.又，故必存在，使得即，即，所以，故，所以是的必要条件.若，则，所以，所以，所以是的充分条件故的充要条件是，故（4）正确.故选：B.【点睛】本题考查数列的单调性、数列的前项和的单调性以及等比数列前项和的积的性质，对于等差数列的单调性，我们可以求出前项和关于的二次函数的形式，再由二次函数的性质讨论其单调性，也可以根据项的符号来判断前项和的单调性.应用等比数列的求和公式时，注意对公比是否为1分类讨论.3、A【解析】

由奇函数的性质可得:即可求出【详解】因为是定义在上的奇函数，所以又因为当时，，所以，所以，选A.【点睛】本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。其中奇函数主要有以下几点性质：1、图形关于原点对称。2、在定义域上满足。3、若定义域包含0，一定有。4、C【解析】

求出点A关于直线的对称点，再求解该对称点与B点的距离，即为所求.【详解】根据题意，作图如下：因为点，设其关于直线的对称点为故可得，解得，即故“将军饮马”的最短总路程为.故选：C.【点睛】本题考查点关于直线的对称点的坐标的求解，以及两点之间的距离公式，属基础题.5、C【解析】试题分析：,;,,故选C.考点：茎叶图.【易错点晴】本题考查学生的是由茎叶图中的数据求平均数和方差,属于中档题目.由茎叶图观察数据,用茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字,利用平均值公式及标准差公式求出两个样本的平均数和方差,一般平均数反映的是一组数据的平均水平,平均数越大,则该名运动员的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指标,方差越小,说明数据波动越小,即该名运动员的成绩越稳定.6、B【解析】分析：根据等比数列通项公式求公比.详解：因为，所以选B.点睛：本题考查等比数列通项公式，考查基本求解能力.7、A【解析】

根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得的值，进而求得的值.【详解】由于成等差数列，故，即，所以，，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，属于基础题.8、C【解析】

根据复合函数的单调性，得到函数的减区间，即为的增区间，且，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，函数在定义域上是减函数，根据复合函数的单调性，可得函数的减区间，即的增区间，且，则，得，则函数的单调递减区间为，故选C.【点睛】本题主要考查了对数函数及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，以及三角函数的图象与性质，根据复合函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、A【解析】

根据投影的定义和向量的数量积求解即可．【详解】解：∵，，∴向量在向量方向上的投影，故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．10、A【解析】

设等差数列的公差为，从而根据，即可求出，这样根据等差数列的前项和公式即可求出．【详解】解：设等差数列的公差为，则由，得：，，，故选：A．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

首先根据题中条件求出角，然后代入即可.【详解】由题知，，所以，故.故答案为：.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.12、2【解析】

在正数数列an中，由点an,an-1在直线x-2y=0上，知a【详解】由题意，在正数数列an中，a1=1，且a可得an-2即an因为a1=1，所以数列所以Sn故答案为2n【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的应用，同时涉及到数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13、【解析】

设此等差数列为{an}，公差为d，则（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，故答案为．14、－1【解析】

分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案．【详解】若n为偶数，则an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），偶数项为首项为a2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；若n为奇数，则an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，奇数项为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．∴a1+a2+a3+…+a1＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）1．故答案为：1．【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．15、15【解析】

根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出的边长为，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为，用表示出水的体积，由即可求得液面高度.【详解】因为铁球半径为，所以由球的体积公式可得，设的边长为，则由面积公式与内切圆关系可得，解得，则圆锥的高为.则圆锥的体积为，设拿出铁球后的水面为，且到的距离为，如下图所示：则由，可得,所以拿出铁球后水的体积为，由，可知，解得，即将铁球取出后容器中水的深度为15.故答案为：15.【点睛】本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题.16、【解析】

设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.【详解】设的首项为，公比为，则：，解之得，所以：.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）由可求得公差，利用等差数列通项公式求得结果；（2）利用等差数列前项和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列公差为，则，解得：（2）由（1）知：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解问题，考查基础公式的应用，属于基础题.18、（1）（2）【解析】

（1）根据平面向量的数量积即可解决．（2）根据两个向量垂直，数量积为0即可解决．【详解】解：（1）（2）由题意可得：，即，，

.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，及两个向量垂直时数量积为0的情况，属于基础题．19、(1)见解析；(2)；1350人；(3)平均体重为.【解析】

（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生，高一女生，高二男生，高二女生，高一男44人，高一女52人，高二男34人，高二女30人，由此能求出结果．（2）体重在之间的学生人数的率，从而，体重在，内人数的频率为0.675，由此能求出估计全体非毕业班学生体重在，内的人数．（3）设高一全体学生的平均体重为：，频率为，高二全体学生的平均体重为，频率为，由此能估计全体非毕业班学生的平均体重．【详解】（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生高一男：人,高一女：人高二男：,高二女：人可能的方案一:按性别分为两层，男生与女生男生人数：人,女生人数：人可能的方案二：按年级分为两层，高一学生与高二学生高一人数：人,高二人数：人（2）体重在70-80之间学生人数的频率：体重在内人数的频率为：∴估计全体非毕业班学生体重在内的人数为：人（3）设高一全体学生的平均体重为，频率为高二全体学生的平均体重为，频率为则估计全体非毕业班学生平均体重为答：估计全校非毕业班学生平均体重为.【点睛】本题考查频率分布直方图、频率、分层抽样、平均数等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20、（Ⅰ）4米时，28800元；（Ⅱ）0<a<12.25．【解析】

（Ⅰ）设甲工程队的总造价为y元，先求出函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值得解；（Ⅱ）由题意可得，1800(x+16x)+14400>从而(x+4)2【详解】（Ⅰ）设甲工程队的总造价为y元，则y=3(300×2x+400×1800(x+16当且仅当x=16x，即即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．（Ⅱ