2025-2026学年广西高三上学期12月教学质量联合测试数学试题 附解析

/2026届高三毕业班12月教学质量联合测试数学试题一、单选题1．若复数､在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，，若，则（

）A．0 B．7 C． D．13．2025年“九三”阅兵活动中，官兵步调一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图像，则的解析式为（

）A． B．C． D．4．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（

）A．16 B． C．32 D．5．数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．设且，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，为正实数，，则（

）A．的最大值为1B．的最大值为C．的最小值为D．的最小值为510．已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为､两点，直线与椭圆相交于､两点，则（

）A．椭圆的焦距为4B．为定值C．直线和的斜率的乘积为D．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为11．在中，角、、的对边分别为、、，且，则下列结论正确的有（

）A．B．若，，则边上的中线长为C．若，则D．若为锐角三角形，则的取值范围是三、填空题12．若，，则.13．已知是偶函数，则.14．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的内切球与圆锥侧切的圆的周长为.四、解答题15．已知是等差数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，证明.16．在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题.(1)如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；(2)如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；(3)如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望.17．如图，三棱柱的所有棱长均为1，，为的中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知，动点到点的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)设，过点作的切线，与直线交于点，直线与交于点，与抛物线交于另一点；（i）设点、到直线的距离分别为、，证明：为定值；（ii）求面积的最小值.19．双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为，双曲余弦函数定义为.(1)求双曲余弦函数在处的切线方程；(2)令，请讨论在的单调性；(3)证明.答案1．C【详解】复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则，所以.故选：C2．C【详解】因为，所以，因为，所以，所以，解得.故选：C.3．A【详解】由题意得.故选：A.4．D【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得，令可得的展开式中各项系数和为.故选：D.5．A【详解】因为，若数列为递增数列，则对任意的恒成立，对任意的恒成立，又，；所以推得出，故充分性成立；推不出，故必要性不成立，所以是的充分非必要条件.故选：A6．B【详解】把所有球都看作不相同的，则任取3个球排成一排有种，第3次恰好取到红球有种，故所求概率为.故选：B.7．C【详解】双曲线的渐近线为，记为第一象限的点，如下图所示：记双曲线的焦距为，依题意可得，，又，，，为等腰直角三角形，，则点的坐标为，所以，，.故选：C8．B【详解】设，故，可转化为，由得，当时，方程有两解，当时，方程有一解，令，故要满足题意，只需在内有一个实数根，且另一个根为，或在内有一个实数根，且在内也有一个实数根，即若，，则，即，不等式组无解；若，，则，即不等式组无解；若，，则，即，解得，综上所述，故选：B.9．AC【详解】对于A选项，因为为正实数，，则，当且仅当时取等号，故A正确；对于B选项，，当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2，故B错误；对于C选项，，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D选项，，因为，所以，当时，的最小值为4，故D错误.故选：AC.10．ABC【详解】由椭圆方程可知：，.对于选项A：椭圆的焦距为，故A正确；对于选项B：如图，设椭圆的左焦点为，连接，，由椭圆的对称性有，故B正确；对于选项C：因为，设点的坐标分别为，代入椭圆方程可得，即，所以，故C正确；对于选项D：由题意得，且，又因为四边形为平行四边形，则，由关于轴对称可得点的坐标为，代入椭圆方程得到，解得，所以平行四边形的面积为，故D错误.故选：ABC.11．ACD【详解】对于A选项，因为，由正弦定理得，因为、，则，因为，所以，若，即，舍去，所以，故，故A正确；对于B选项，设的中点，由，，由得，得.由余弦定理，，即，所以.由得，解得，故边上的中线长为，故B错误；对于C选项，因为，而，由正弦定理得，得，又，所以，则，故，所以，故C正确；对于D选项，因为为锐角三角形，则，解得，由得，因为，则，所以，故，从而的取值范围是，故D正确.故选：ACD.12．【详解】因为，，则，故.故答案为.13．4【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故4.14．【详解】如图，与是圆锥与其内切球的轴截面，与分别相切于，则是圆锥的内切球与圆锥相切的切点构成的圆的直径，，，所以圆锥的内切球与圆锥相切的圆的周长为.故答案为.15．(1)(2)证明见解析【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得：，所以.（2）由（1）得，所以，，因为，所以，所以，所以.16．(1)(2)(3)分布列见解析，【详解】（1）如果抽出的题不再放回，设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”，则；（2）如果抽出的题再放回，设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”，则；（3）根据题意，可能的取值为，，，所以的分布列为0123故随机变量的期望.17．(1)证明见解析(2).【详解】（1）连接，因为三棱柱的所有棱长均为1，所以，，所以为等边三角形，故，又，故为等边三角形，故，由勾股定理得，在中，，故，即，又平面，所以平面；（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，故，，设平面的法向量为，则，令得，所以，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）因为动点到点的距离比到直线的距离小，则到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义，点的轨迹是抛物线，且其焦点为，准线为直线，设该抛物线的标准方程为，所以，可得，所以的方程为.（2）（i）若直线与轴重合，此时直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意，设直线的方程为，代入得，则，设、，则，，因为，，所以（定值）；（ii）在直线的方程中，令得，此时，对求导得，所以，直线的方程为，令得，又，所以，此时，所以的面积，当且仅当时，即当时取等号，所以面积的最小值为.19．(1)(2)在上单调递增；(3)证明见解析【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以在处的切线