2025-2026学年甘肃省张掖市部分学校高二上学期12月联考数学试题 附解析

/甘肃省张掖市部分学校2025-2026学年12月联考高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．设数列的前n项和为,若,且的等差中项为）,则()A.4 B.8 C.10 D.122．直线的倾斜角为()A. B.0 C. D.3．已知数列,,,3,,…,则是这个数列的第_____项()A.10 B.11 C.12 D.134．直线与两坐标轴所围成三角形的面积为()A. B. C.3 D.65．“”是“直线与直线互相垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知等比数列的前n项和为，若，则()A.4 B.2 C. D.7．已知双曲线的渐近线方程为,实轴长为4,则该双曲线的标准方程为()A. B.或C. D.或8．双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．9．已知数列的前n项和为，，且，则()A.B.“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件C.若为单调递增数列，则D.若，则数列的前n（n为奇数）项和为10．下列说法正确的有().A.直线过定点B.过点且斜率为的直线的点斜式方程为C.斜率为,在y轴上的截距为3的直线方程为D.经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为11．当m变化时,方程表示的曲线形状,下列说法中正确的是()A.时,方程表示一条直线B.或是方程表示双曲线的充要条件C.时,方程表示椭圆D.该方程不可能表示抛物线三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．设等差数列的前n项和为,若,,则________.13．已知双曲线的半焦距为c，直线l过点且与E的一条渐近线平行，若原点到l的距离为，则E的离心率为________.14．已知的顶点,高所在直线方程为,角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程________.四、解答题：本大题共5小题，共77分．15．（13分）已知是等差数列,公差,,且是与的等比中项.（1）求的通项公式（2）数列满足,且.（ⅰ）求的前n项和.（ⅱ）是否存在正整数m,n（）,使得,,成等差数列,若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.16．（15分）已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上,且直线与圆C相切.(1)求圆C的标准方程.(2)已知,P为圆C上任意一点,试问在y轴上是否存在定点B（异于点A）,使得为定值？若存在,求点B的坐标；若不存在,请说明理由.(3)在(2)的条件下,若点,试求的最小值.17．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，的周长为，面积为.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程.18．（17分）已知正项数列的前n项积为,且满足.(1)求证：数列为等差数列；(2)令,求数列的前n项和.19．（17分）已知点,动点Q在直线上,过Q且垂直于y轴的直线与线段的垂直平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程.（2）已知经过点的直线l与C交于A,B两点.①求A,B纵坐标的乘积;②若的面积为,求l的斜率.

甘肃省张掖市部分学校2025-2026学年12月联考高二数学答案1．答案：D解析：因为,当时,,得,当时,,所以,则,所以,又,所以,所以是等差数列.因为,所以.故选:D2．答案：B解析：直线为平行于x轴的直线,所以倾斜角为0.故选：B.3．答案：A解析：由题意可知,被开方数是首项为3,公差为2的等差数列,则该数列的通项公式为,令,解得,故A正确.故选：A.4．答案：D解析：令,则；令,则；所以两坐标轴所围成三角形的面积为.故选：D.5．答案：A解析：“直线与直线互相垂直”的充要条件为:或.因为“”是“或”的充分不必要条件,所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选:A6．答案：C解析：设等比数列的首项为，公比为q.当时，，不满足，舍去；当时，，所以，所以，解得.所以.故选：C.7．答案：B解析：当双曲线焦点在x轴上时,设双曲线方程为,则渐近线方程为,实轴长为,由题意得,,解得,则该双曲线的标准方程为.当双曲线焦点在y轴上时,设双曲线方程为,则渐近线方程为,实轴长为,由题意得,,解得,则该双曲线的标准方程为.综上,该双曲线的标准方程为或.故选:B.8．答案：A解析：易知双曲线的渐近线方程为,点在上,代入可得,所以离心率为.故选:A9．答案：ACD解析：因为，所以当时，，因为，所以，又因为，所以，所以选项A正确；因为①，当时，②，①-②得：，因为，所以，所以数列奇数项与偶数项分别成等差数列.若，又，因为，所以数列的奇数项以1为首项，2为公差的等差数列，即，列的偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，即，所以有，所以数列是等差数列；若数列是等差数列，则有，所以有，因此“”是“数列为等差数列”的充要条件，所以B错误；若数列为单调递增数列，对于任意，都有，当n为偶数时，，当n为奇数时，，解得，所以C正确；若，当n为奇数时，，故；当n为偶数时，，故，则当n为奇数时，，所以，即当n为奇数时，的前n项和为，所以D正确，故选：ACD10．答案：AB解析：对于A,直线恒过定点,A正确；对于B,过点且斜率为的直线的点斜式方程为,B正确；对于C,斜率为,在y轴上的截距为3的直线方程为,C错误；对于D,经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时,方程为,当该直线不过原点时,方程为,D错误.故选：AB.11．答案：ABD解析：对于A:当时方程为,所以此时曲线为直线,此时图像是一条直线,A正确;对于B:方程可以化为,当时方程为,表示焦点在x轴上的双曲线,当时方程为,表示焦点在y轴上的双曲线,所以是充分条件;若方程表示双曲线,则或,解得或者,所以是必要条件,所以是充要条件,B正确;对于C:方程可以化为,当时方程为,此时曲线为圆,C错误;对于D:因为方程可以化为,所以不可能是抛物线,D正确,故选:ABD12．答案：50解析：利用等差数列中的等差中项性质可知:,由等差数列的通项公式可得:,所以,则,故答案为:5013．答案：解析：易知双曲线渐近线方程为：，故可设l方程为：，即，由题意可得：，所以，即，化简可得：，可得：或又，所以，所以，可得，故14．答案.解析：的顶点,高所在直线方程为,角B的平分线所在直线方程为,直线的斜率,直线的方程为:,即,联立,得,B点坐标为;,,角B的平分线所在直线方程为,,,解得或（舍）,直线的方程为:,即.故答案为:.15．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）因为为等差数列,且,所以.又是与的等比中项,所以,即.化简得,解得或（舍）,所以.（2）（i）由,得,所以（）,又,当时,,又也适合上式,所以,则,所以.（ⅱ）假设存在正整数m,n,使得,,成等差数列,则,即,整理得,显然是25的正约数,又,则或,当,即时,与矛盾;当,即时,,符合题意,所以存在正整数使得,,成等差数列,此时,.16．答案：(1)(2)存在,(3)5解析：(1)由题意设圆心坐标为,则圆C的方程为,因为直线与圆C相切,所以点到直线的距离,因为,所以,故圆C的标准方程为；(2)假设存在定点B,设,设,则,则,当,即舍去）时,为定值,且定值为,故存在定点B使得为定值,B的坐标为；(3)由(2)知,故,从而,当且仅当P、B、D三点共线时,最小,且.所以的最小值为5.17．答案：（1）（2）或解析：（1）设O为坐标原点，由题意得，，，，，因为的周长为，面积为，所以，，又因为，所以，，，故椭圆C的方程为.（2）由题意得，直线l的斜率存在，设l的方程为，，，，，由得，则，即，所以，，因为，，所以，，因为，所以，解得，所以直线l的方程为或.18．答案：(1)证明见详解(2)解析：(1)证明：当时,,又,,所以,当时,,又,所以,即,所以数列是首项为