2025-2026学年广东省东莞市第十三高级中学高二上学期元旦假期数学试题 附解析

/2025-2026学年第一学期高二元旦假期数学试卷一、单选题1．等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．82．已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（

）A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．0，2，0，2 D．2，0，2，03．在等差数列中，，，则前7项的和为（

）A．35 B．25 C．28 D．264．已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（

）A．3 B．6 C．7 D．85．在等差数列中，，其前项和为，且，则的值等于（

）A． B． C．2023 D．20246．设等差数列的前项和为且则（

）A．2330 B．2130 C．2530 D．27307．已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（

）A．－2 B． C． D．8．设是任意等差数列，它的前项和、前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A． B．C． D．二、多选题9．下列四个选项中，正确的是（

）A．数列的图象是一群孤立的点B．数列1，，1，，…与数列，1，，1，…是同一数列C．数列，，，，…的一个通项公式是D．数列，，…，是递减数列10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（

）A． B．C． D．11．等差数列的前项和记为，若a1＞0，S10＝S20，则成立的是（）A．d＜0 B．a16＜0C．Sn的最大值是S15 D．当且仅当Sn＜0时，n＝32三、填空题12．在等差数列中，若，，则；使得数列前项的和取到最大值的.13．在数列中，是其前项和，若，则14．已知数列的前项和为，，，，则．四、解答题15．已知数列中，且.(1)求；(2)求数列{}的前n项和的最大值.16．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝32n－3，其中n∈N*.求数列{an}的通项公式．17．已知在等差数列中，公差，其前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)通过构造一个新的数列，求非零常数c，使也为等差数列．18．数列，满足，，．(1)求证：是常数列；(2)设，，求的最大项．19．已知正项数列的前项和为，.（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.2025-2026学年第一学期高二元旦假期数学答案题号12345678910答案CAABBDBDADABD题号11答案ABC1．C【分析】利用等差数列前项和公式列出方程组，能求出的公差.【详解】∵等差数列的前项和为，且，，∴，解得，.∴的公差为4.故选：C.本题考查等差数列公差的计算，属于基础题.2．A【分析】根据数列的通项公式求得正确答案.【详解】依题意，.故选：A3．A【分析】由等差数列得性质得，再根据等差数列前项和公式计算即可.【详解】解：由等差数列的性质得，所以前7项的和为故选：A4．B【分析】由等差数列的前项和公式和通项公式可得，，可知当时，取得最大值.【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，则，则，即，因为，即，即，所以为递减数列，所以，所以当时，取得最大值.故选：B.5．B【分析】先设等差数列的公差为，根据等差数列前项和的性质，得到也是等差数列，由题意，求出，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，，所以数列是等差数列，公差为，又，则，即，又，所以，，解得.故选：B.6．D【分析】利用等差数列中构成新的等差数列的性质，再利用等差中项的性质即可求得的值.【详解】等差数列的前项和为，则构成等差数列，即，构成等差数列，则，则故选：D7．B【分析】先利用作商法可得，进而求出，可得时，，进而分析求解即可.【详解】当为奇数时，，当为偶数时，，要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，又，而，因此时，，当时，，当时，，当时，，综上，的最小值为．故选：B.8．D【详解】设数列前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列，所以2（Y-X）=X+R-Y,解之得R=3Y-3X,又因为2（R-Y）=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得，故选D.9．AD【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．【详解】解：对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；对于C，当通项公式为时，，不符合题意，故选项C错误；对于D，数列，，是递减数列，故选项D正确．故选：AD.10．ABD【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别检验各项即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：取，则，解得，即A正确；对于选项B：由A可知，，则，即B正确；对于选项C：因为，即C错误；对于选项D：因为，且，即D正确.故选：ABD.11．ABC【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d＝0，又a1＞0，所以d＜0，故选项正确；由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，所以a15＞0；a16＜0，即是递减数列，且n≤15时，an＞0；当n≥16时，an＜0，所以选项和正确．因为，所以选项错误．故选：ABC12．95【分析】等差数列中，建立方程组即可求解，计算出列前项的和，根据二次函数即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则有，所以数列前项的和，因为开口向下，当时，取得最大值，所以当时，取最大值为25.故9；5.13．利用数列前n项和与的关系求通项公式.【详解】当时，，当时，，所以故14．6【分析】根据题意，由递推公式可得数列是周期为6的数列，再由代入计算，即可得到结果.【详解】因为，，，则，，，，，所以数列是周期为6的数列，且，所以.故615．(1)＝﹣4n+17；(2)28.【分析】(1)根据等差数列的定义判断为等差数列即可求其通项公式；(2)根据等比数列前n项和的性质即可求其最值.【详解】（1）由﹣4，可知，﹣＝﹣4，∴数列{}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；（2）由(1)可知，数列{}单调递减，且a4＞0，a5＜0，∴当n＝4时，{}的前n项和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.16．.【分析】由可求得数列的通项公式.【详解】由Sn＝3×2n－3，n∈N*，得当n＝1时，a1＝S1＝3×21－3＝3.当n≥2时，，又当n＝1时，a1＝3也满足上式．所以数列{an}的通项公式为.17．(1)；(2).【分析】（1）利用等差中项性质及已知求得，即可得通项公式；（2）由（1）写出前三项，根据等差中项性质求出参数c即可.【详解】（1）由题意且，可得或（舍），所以，则，故.（2）由（1）知：，则．所以，，．因为为等差数列，所以，即，可得或（舍），所以是等差数列，有．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）将所给等式化简可得且，再代入化简即可；（2）由（1）可得，再代入判断可得，进而利用作差法可得为递减数列，进而可得最大项为.【详解】（1），，，，，，因此，数列是常数列；（2）由（1），即，且，整理得.，，，当时，，，，，，数