2025-2026学年哈尔滨市第六中学2023级上学期期末考试数学答案（含答案）

/哈尔滨市第六中学2023级上学期期末考试高三数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】由一元二次不等式和绝对值不等式求解，再结合集合交集运算即可求解.【详解】由得：由，得或，即，或，所以，故选：B2.已知复数，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.【详解】，所以.故选：C.3.平面向量满足，，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】结合向量的模长公式和运算法则即可求解.【详解】由可得，又，所以，所以所以.故选：D.4.设为正项递增等比数列的前项和，，且成等差数列，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式求解计算即可.【详解】因为为正项递增等比数列的前项和，设数列的公比为，由，且成等差数列，得，化简得.因为，所以解得.所以.故选：A.5.的值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解.【详解】由题意有：，故选：B.6.哈六中开展爱国主义教育，决定在2026年1月16日组织高一年级1到5班去“731日本罪证陈列馆”、“哈尔滨烈士陈列馆”两所展馆参观，每个班级去一个展馆，且每个展馆至少去一个班级，若1班和2班必须去同一展馆，则不同的分配方案种数为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先安排1班和2班去同一个馆，再随意安排剩下3个班，有8种情况，最后去掉所有班都去同一个馆的情况，据此可得答案.【详解】先安排1班和2班去同一个馆，有2种情况，再随意安排剩下3个班所去的场馆，有种情况，最后去掉所有班都去同一个馆的情况，有2种情况，则满足题意的情况数为.故选：D7.已知双曲线的右焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】通过双曲线焦点得，联立渐近线与垂线方程得坐标，利用向量关系得，联立方程求解得的值，即得双曲线方程.【详解】双曲线的右焦点，则，.双曲线渐近线方程为，过作渐近线的垂线，其斜率为，垂线的方程为.由，解得，即；由，解得，即.，，因，对应坐标相等，由纵坐标得：，化简得，又，解得，，故双曲线方程为.故选：C8.已知函数，则函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解.【详解】函数与函数的图象都关于对称.作出两函数的图象如图，

由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点对称），所以所有交点的横坐标之和等于.故选：C二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.小松同学所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的第百分位数为B.根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的平均数为C.根据频率分布直方图估计，天中某骑手的业务量在单及以上的天数为天D.根据频率分布直方图估计，天中骑手的业务量的极差为单【正确答案】ACD【分析】根据频率分布直方图、平均数的定义和公式、百分位数的定义和公式以及极差的定义和公式进行逐项计算即可.【详解】对于A：前四组频率和为：，前五组频率和为：，所以第70百分位数位于组.设第70百分位数为，则，解得，所以每天骑手人均业务量的第百分位数为70，正确；对于B：每天骑手的人均业务量的平均数为：，B错误；对于C：天中某骑手的业务量在单及以上的天数为，C正确；对于D：天中骑手的业务量的最大值为95，最小值为25，所以极差为，D正确.故选：ACD.10.已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（）A.以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切B.若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为C.若，且在之间，则抛物线的方程为D.若线段的中点到抛物线准线的距离为，则【正确答案】BCD【分析】由题可知，设，由抛物线的焦半径公式即可判断ABD；由已知结合相似三角形的性质得出，由列出方程即可判断C．【详解】由题可知，设，对于A，，以线段为直径的圆的半径为，线段中点即为圆心，到准线距离为，故A错误；对于B，，则抛物线的方程为，故B正确；对于C，过点作抛物线准线的垂线段，垂足为，设准线与轴交点为，则，，，所以，则，又，所以，则，又，所以，则，因为，，所以，则抛物线的方程为，故C正确；对于D，线段的中点坐标为，到准线的距离为，则，故D正确；故选：BCD．11.如图，三棱锥中，平面平面，过点且与平行的平面分别与棱、交于两点，若，则下列结论正确的是（）A.若为的中点，则为的中点B.若，则四棱锥的体积为C.平面平面D.三棱锥的外接球的体积为【正确答案】AD【分析】对于A，由线面平行的性质可得，即可判断A；对于B，先根据得到四边形的面积，再由锥体体积公式求四棱锥的体积即可判断B；对于C，由题意可知，若平面平面，则平面，得到，即可推出与题意矛盾；对于D，根据题意可得的中点为外接球球心，半径，再由体积公式计算即可．【详解】对于A，根据题意，平面，平面平面，平面，，若为的中点，则为的中点，故A正确；对于B，因为，，所以，则，又因为，，所以，则，取的中点，连接，，则，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，易知，，因为，所以，由，可得，且相似比为，，，，故B错误；对于C，平面，平面是变动的，若平面平面，则平面，平面，，又，所以不成立，故C错误；对于D，，，为公共斜边，则为三棱锥外接球的球心，外接球半径，所以外接球体积，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分.12.已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则__________．【正确答案】【分析】根据最小正周期，可得的值，根据对称轴方程及的范围，可得值，即可得解析式，代入即可得答案.【详解】因为的最小正周期为，所以，解得，因为图象关于直线对称，所以，解得，因为，所以令，则，所以，则.故13.某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值）34562.544.5根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________．【正确答案】【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再根据样本中心一定在回归直线上即可得到答案.【详解】由题意可得时的预测值为，所以，解得，即经验回归方程为，又因为，，所以，解得，故14.设函数在上存在导函数，对，都有，当时，成立，若，则实数的取值范围为___________．【正确答案】【分析】先通过构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合函数奇偶性，将不等式转化为关于自变量的不等式，进而求解实数m的取值范围即可.【详解】设，对求导得，因当时，，所以当时，，则在上单调递减，因为，所以，即是偶函数，那么在上单调递增，因为，将其变形为：，即，由于是偶函数，所以等价于，又因为在上单调递减，所以，则，展开得，化简得，整理得，解得或，因此，实数的取值范围是.第Ⅱ卷（非选择题共77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）取中点，连接，以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用坐标公式法求解即可.【小问1详解】因为是正三角形，是中点，所以，因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】由题意可知，因为平面，所以，，取中点，连接，以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，，，所以，，，设平面的法向量，则，解得平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.16.已知中，内角所对的边分别是，且.（1）若，求的面积的值；（2）若边上的高为，求角的大小及的值.【正确答案】（1）；（2），.【分析】（1）由正余弦定理建立关于的等式，求出，即可求解；（2）由面积公式，余弦定理建立等式，即可得，即，因为，所以，再结合余弦定理即可求解.【小问1详解】由得，因为，所以，又，由余弦定理可知，，即，即，所以；【小问2详解】因为，所以，又，所以，综上，，即，因为，所以，所以，又因为，所以，所以.17.已知数列为正项数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由递推式可得，结合，即可得到；（2）根据题意作差得，解得，再检验时，即可；（3）根据题意，再由裂项相消法即可求解．【小问1详解】因为，所以，因为，所以；【小问2详解】因为，所以，作差得，，所以，令，所以，检验成立，所以；【小问3详解】因为，所以．18已知函数.（1）当时，求的单调区间和极值；（2）当时，证明：；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）增区间为，减区间为，极大值，极小值；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）由题可得，然后解不等式，可得单调性，据此可得答案；（2）当时，设，由导数知识可得其单调性，据此可完成证明；（3）由题可得，在时恒成立，等价于，其中.然后分，，三种情况，结合多次求导可得答案.【小问1详解】当时，，所以，令，所以或，，，所以的增区间为，减区间为，极大值，极小值.【小问2详解】当时，设所以，因为，所以，所以，所以在上时增函数，所以，所以；【小问3详解】当时，恒成立，即恒成立，设.所以，令，所以.当时，，所以在上是增函数，所以，所以在上是增函数，所以成立；当时，令，则，所以在上是增函数，所以.当时，即，此时，所以在上是增函数，所以，所以在上是增函数，所以成立；当时，即，注意到时，.则，使，则，.所以在上是减函数，在上是增函数.注意到，时，，又由以上分析可得，则，使.则，，所以在上是减函数，在上是增函数，所以不满足题意，舍去.综上所述，.19.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在点，使原点为的重心，求直线的方程；（3）设椭圆的上、下顶点分别为，若直线与y轴交于点，直线与交于点Q，求证：为定值，并求出该定值.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析，2【分析】（1）由椭圆定义及离心率公式建立等式即可求解；（2）当直线的斜率为时，点不可能为的重心，舍去当直线的斜率不为时，设直线的方程