4.3.2+对数的运算（教学设计）+数学人教A版2019必修第一册

4.34.3.2对数的运算教学设计教学内容本节课是“指数函数与对数函数”章节中4.3.2节《对数的运算》的第二课时，聚焦对数换底公式的推导、证明、应用及其在实际问题中的建模价值。内容包括：换底公式的来源与证明；换底公式的三类应用（求值、化简、建模）；实际情境中的对数运算（地震能量、GDP增长、半衰期等）。本节课围绕“对数的运算性质与换底公式”展开。通过类比指数运算法则、创设“简化大数运算”的真实需求，引导学生自主发现并证明积、商、幂的对数运算性质，掌握换底公式及其在化简、求值、建模中的应用。内容解析知识地位：本节是“对数概念”的自然延伸，也是后续学习对数函数、解指数方程、数列极限、微积分的基础工具。思想方法：降级思想：把高一级运算（乘、除、幂）降为低一级运算（加、减、乘）。类比迁移：由指数运算法则类比推导对数运算法则。转化与化归：将不同底、复杂指数式通过换底公式统一处理。育人价值：通过“对数节省天文学家寿命”的历史故事，体会数学的实用价值。在地震能量、GDP倍增、酒驾衰减等情境中，感受数学建模的社会意义。教学目标经历利用指数与对数的关系，推导对数运算性质、换底公式等的过程，体会对数运算的降级特征，能初步用于解决问题，提升数学运算核心素养.目标解析1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．3.掌握换底公式及其推论．4.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．达成上述目标的标志是：看到log₂6

+

log₂3能在5秒内写出log₂18面对log₅7能用换底公式在3步内转化为lg7

/

lg5在“GDP翻两番” “地震能量比”等情境中能独立列出对数方程并求解对数是一个全新的概念,要探究并发现其运算性质,对学生来说,是有一定难度的.但通过前面对指数幂的运算性质的学习,以及对数式与指数式的相互转化,学生可以对简单的对数进行运算,也可以推导出对数的运算性质.在教师设计合理的引导过程的基础上,学生可以自主地完成对对数运算性质的发现、推导、证明、应用.基于以上分析，确定本节课的教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能用换底公式进行求值、化简．教学难点：1.理解和掌握对数的性质2.掌握对数式与指数式的关系,学会对数式与指数式的互化知识点一对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(01))logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(02))logaM－logaN；(3)logaMn＝eq\x(\s\up1(03))nlogaM(n∈R)．[拓展]推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a>0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)．知识点二换底公式(1)对数的换底公式：eq\x(\s\up1(01))logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．(2)三个较为常用的推论①logab·logbc·logca＝eq\x(\s\up1(02))1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；②logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)；③logambn＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且a≠1，m≠0)．[点拨](1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．(2)在具体运算中，习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).导入1：手机电量焦虑【情境】“我的充电宝标称容量是20000mAh，但给3000mAh的手机充电时，只能充4次就没电了，是不是虚标？”【追问】若充电宝实际容量为标称的80%，每次充电损耗5%，如何计算真实充电次数？（引出：log₀.₉₅0.8的求解需求）【设计意图】用“电量焦虑”引发共鸣，揭示“非整数指数”问题的普遍性及换底公式的必要性。导入2：银行存款的“复利翻倍”情景描述小张的妈妈将1万元存入银行，选择“复利计息”方式（即每年利息计入下一年本金），年利率为3%。银行工作人员告知：“按照这个利率，本金翻倍需要一定年限”，妈妈想知道大约需要存多少年，本金才能从1万元变成2万元。追问设计复利计息下，本金P与存款年限t的关系为P=10000×(尝试用“试值法”估算t的范围（比如t=23时，1.0323≈1.973若想精准计算t的值，是否需要新的数学工具？结合对数的定义，思考如何用对数表示t，并尝试用常用对数（以10为底）计算t的近似值。设计意图生活实用性：银行存款、复利计息与家庭财务相关，学生能感知数学在“理财计算”中的实际作用，增强学习主动性。认知冲突：学生能列出指数方程，但无法直接求解指数t，试值法也只能得到近似范围，自然产生对“对数工具”的需求，契合本节课“对数运算解决指数求解问题”的核心目标。探究点1：对数的运算性质同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作一、对数的运算性质问题1将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)?提示由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN)．从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．问题2结合问题1，若eq\f(M,N)＝eq\f(ap,aq)＝ap－q，又能得到什么结论？提示将指数式eq\f(M,N)＝ap－q化为对数式，得logaeq\f(M,N)＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．问题3结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？提示由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R)．引导语上一节课中我们研究了对数函数的概念、图象和性质.按照研究的基本路径，接下来要应用对数函数解决问题.为此，请你填写对数函数的概念、图象和性质表.并回忆在指数函数的应用中解决了哪些问题，是如何解决的.在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？探究我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？设，因为，所以．根据对数与指数间的关系可得这样，就得到了对数的一个运算性质：．同样地，同学们可以仿照上述过程，由和，自己推出对数运算的其他性质．于是，我们得到如下的对数运算性质．如果如果，且，，，那么（1）；（2）；（3）．探究点2：利用对数的运算性质化简、求值例3求下列各式的值：（1）；（2）解：（1）；（2）【变式】求下列各式的值：（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）.【答案】（1）4；（2）27；（3）；（4）2；（5）；（6）1.【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算【解析】（1）直接根据指数幂的运算性质进行运算；（2）直接根据指数幂的运算性质进行运算；（3）直接根据对数的运算性质进行运算；（4）先用换底公式化为同底的对数，再根据对数的运算性质进行运算；（5）先用换底公式化为同底的对数，再根据对数的运算性质进行运算；（6）直接根据换底公式进行运算．【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【点睛】本题主要考查指数和对数的运算性质，考查换底公式的应用，属于基础题．例4用表示．解：．【变式】已知lg6＝a,lg15＝b，试用a，b表示lg24和lg120.【答案】lg24＝2a－b＋1，lg120＝.【知识点】对数的运算性质的应用【分析】根据条件可得lg2＋lg3＝a，lg5＋lg3＝1－lg2＋lg3＝b，可得lg2和lg3，进而根据对数的运算可得解.【详解】由lg6＝a，得lg2＋lg3＝a．①由lg15＝b,得lg5＋lg3＝1－lg2＋lg3＝b．②由①②得lg2＝，lg3＝.故lg24＝lg3＋3lg2＝2a－b＋1，lg120＝1＋2lg2＋lg3＝.探究点3：换底公式的“发现”数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数．探究（1）利用计算工具求，的近似值；（2）根据对数的定义，你能利用，的值求的值吗？（3）根据对数的定义，你能用表示（，且；，且）吗？探究点4：换底公式的“证明”设，则，于是．根据性质（3）得，即（（，且；，且）．我们把上式叫做对数换底公式．在4.2.1的问题1中，求经过多少年地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值．由换底公式，可得，利用计算工具，可得．由此可得，大约经过7年，地景区的游客人次就达到2001年的2倍．类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数．探究点5：换底公式的“证明”例5尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和．由，可得．于是，利用计算工具可得，．虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍．想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？【变式】科学家研究发现，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系是.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为，门源县地震所释放的能量为，则的近似值为（

）A．15 B．20 C．32 D．35【答案】C【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算【分析】根据对数的运算即可求解.【详解】所以故选:C1.（2020高三·全国·专题练习）（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算【分析】运用对数运算法则即可.【详解】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解.，故选:B.【点睛】本题是基础题，考查对数运算法则及换底公式的合理运用.2.（21-22高一·全国·课前预习）已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是（

）A．a－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2【答案】A【知识点】对数的运算性质的应用【分析】利用对数的运算性质即可求解.【详解】原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2．故选：A.3.（20-21高一·江苏·课后作业）若，则（

）A．-3 B．9 C． D．【答案】C【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化【分析】根据指数幂与对数的互化公式，即可求解.【详解】因为，根据指数幂与对数的互化公式，可得.故选：C.4.（20-21高一·全国·课后作业）设，则x的值等于（

）A．10 B．13C．100 D．【答案】B【知识点】对数的运算、指数幂的运算、指数式与对数式的互化【分析】由公式指数性质和对数的性质即即得.【详解】由得，所以.故选：B.5.（2022高二下·浙江宁波·学业考试）计算：（

）A．10 B．1 C．2 D．【答案】B【知识点】对数的运算性质的应用【分析】应用对数的运算性质求值即可.【详解】.故选：B6.（2020高一·上海·专题练习）已知，那么用表示是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用【分析】根据指数与对数的关系及对数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以所以==，故选：A．7.（多选题）（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）设，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【知识点】对数的运算性质的应用【分析】由已知结合对数的运算性质分别判断各选项即可．【详解】对于A，因为，所以A正确；对于B，因为，，所以B错误；对于C，因为，所以，而ab＜0，所以a+b<0，所以C正确；对于D，，所以D错误；故选：AC．8.（多选题）（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列指数式与对数式互化正确的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】ACD【知识点】对数的运算、指数幂的运算【分析】根据指对数的运算即可判断.【详解】根据任何不为0的数的0次方为1，真数为1，对数运算为0，故A正确，，，故B错误，，故C正确，，故D正确.故选：ACD.9.（多选题）（20-21高一上·北京·期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用【解析】根据对数的运算法则，逐一分析选项即可得答案.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD10.（多选题）（21-22高一上·全国·课后作业）下列正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】BCD【知识点】对数的运算、指数幂的运算、指数式与对数式的互化【分析】利用对数和指数的运算可判断AB选项；利用指数与对数的互化可判断CD选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，因为，则，所以，，C对；对于D选项，因为，则，所以，，D对.故选：BCD.1.（20-21高一上·全国·课后作业）计算的结果是（）A．1 B．2 C．lg2 D．lg5【答案】A【知识点】对数的运算性质的应用【解析】结合对数的运算性质即可直接求解.【详解】由题意，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.2.（多选题）（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】AB【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用【分析】根据指数式和对数式互化，结合对数运算法则计算即可，得到结论.【详解】对于①，，故①正确；对于②，由指对数互化知若，则，故②正确；对于③，，所以，故③错误；对于④，，所以，故④错误.故选：AB．3.（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，用表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算【分析】由指数和对数的关系以及对数的运算性质计算即可；【详解】由题意可得，所以故选：B.4.（19-20高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】因为，可得，所以，则.故选：B.【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.1．知识清单：(1)对数的运算性质．(2)对数运算性质的运用．(3)利用对数的运算性质化简、求值．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则．作业1：教科书第140〜141页习题4.4第3、5、9、10、12、13题.作业2：进一步总结比较大小的方法.【设计意图】作业1巩固学生对对数函数的图象和性质的掌握;作业2巩固比较大小的方法.【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。4.3.2对数的运算(1)log三、例题四、小结复习1.对数的定义(2)log例1例21.对数的运算性质和对数换底公式2.指数幂的运算性质(3)log例32.对数运算性质的综合运用，应掌握变形技巧新课1.对数的运算性质如果a>0,且a≠1;M2.对数换底公式logab=logcblog3.对数形式和指数形式比较【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。练习（第126页）1．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．1．解析：（1）；（2）；（3）；（4）．2．用，，表示下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．2．解析：（1）；（2）；（3）；（4）．3．化简下列各式：（1）；（2）．3．解析：（1）；（2）．习题4.3（126页）复习巩固1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）（7）（8）．1．解析：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）．2．选择题（1）使式子有意义的的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）且解析：且，故选．（2）若与互为相反数，则（）（A）（B）（C）（D）解析：，故选．