4.5.1函数的零点与方程的解 精准对点辅导讲义 (教师版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页4.5.1函数的零点与方程的解精准对点辅导讲义(教师版)必备知识1.函数的零点(1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:2.函数零点存在定理(1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)·f(b)<0.(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.解题注意点：1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.解题通法：1.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.求解函数零点个数的基本方法(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点.(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数精准对点训练：①零点所在的区间;②求函数零点或方程根的个数；③根据函数零点的分布求参数范围.一、单选题1．函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断.【详解】因为函数为上的增函数，又，所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是.故选：A.2．已知函数则方程的解的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案.【详解】函数的图象如图所示：设，则方程即，由图象可知，与有三个交点，横坐标分别为，其中，，，方程解的个数转化为方程，，解的个数之和，由图象可知，与有一个交点，与有三个交点，与没有交点，所以方程解的个数为.故选：B.3．已知函数的零点，则整数的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】由函数单调性和即可由函数零点存在性定理求解.【详解】和均为单调递增函数，所以在上也为单调增函数，因为，所以函数的零点在区间上，又函数的零点在区间上，所以.故选：C.4．若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【知识点】根据一次函数零点的分布求参数范围【分析】当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解.【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故选：D.5．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题【分析】根据二次函数零点的存在性质，分类讨论，根据零点存在性定理，可得答案.【详解】当时，即，解得或，令，则，令，解得，符合题意；令，则，令，解得，不合题意.当时，由题意可得，则，解得；令，则，令，解得或，显然不合题意；令，则，令，解得或2，显然符合题意.综上所述，的取值范围为或.故选：D6．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据指对幂函数零点的分布求参数范围【分析】将问题转化为有解，则实数的取值范围即为函数的值域，然后根据指数函数单调性求解值域即可得解．【详解】函数的图象与轴有交点，有解，则实数的取值范围即为函数的值域，，，实数的取值范围是．故选：A7．设x0是函数的零点，若，则的值满足（

）A． B．C． D．的符号不确定【答案】C【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据零点判断函数值的符号【分析】先判断函数是单调减函数，进而可得当时．【详解】∵x0是函数的零点，∴，因为是单调递减函数，是单调递增函数，所以函数是单调减函数，故当时，则，故选：C．8．已知函数，，的零点分别为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用、比较零点的大小关系【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可.【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，

它们的大致图象如上图示，易知，其中.故选：A二、多选题9．若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、比较零点的大小关系【分析】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项.【详解】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图.根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误；若，则，所以，故A正确；若，则，所以，故D正确；当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确.

故选：ACD10．已知函数，的零点分别是，，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知识点】对数函数y=log2x的图像和性质、函数与方程的综合应用、根据零点所在的区间求参数范围、基本（均值）不等式的应用【分析】根据函数零点定义，结合指数函数与对数函数的性质，得到，且，再利用基本不等式，逐项判定，即可求解【详解】设函数和的图象与的交点分别为，根据指数函数与对数函数的性质知，函数和的图象关于对称，如图所示，联立方程组，解得，即，则点为的中点，因为函数，的零点分别是，所以，且，所以A错误；又由，可得，可得，当且仅当时，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确；由，当且仅当时，即时，又因为，所以等号不成立，所以，所以C正确；由，所以，所以D错误.故选：BC.11．函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．方程的三个根分别为C．不等式的解集为或D．不等式的解集为【答案】BC【知识点】函数图象的应用、求函数的零点【分析】观察图象可得函数的零点，由此可得方程的根，由此判断B，由此可得可化为，结合图象可得当时，，由此可得，判断A，再结合图象判断CD.【详解】由图象可得函数的零点从小到大依次为，所以的三个根分别为，B正确，所以，所以可化为，当时，，，，由图象可得当时，，即，所以，A错误，观察图象可得不等式的解集为或，C正确，不等式的解集为或，D错误，故选：BC.三、填空题12．已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】求指数函数在区间内的值域、判断指数函数的单调性、求函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围【分析】根据解析式易知是的零点，结合零点个数及指数函数的性质确定参数范围.【详解】由，可得是唯一的零点，所以在上无零点，又在定义域上单调递增，所以，故只需.故答案为：.13．已知是函数的零点，则.【答案】【知识点】指数式与对数式的互化、求函数的零点【分析】根据零点定义可得，根据，代入化简即可得解.【详解】因为是函数的零点，所以，所以，所以.故答案为：14．关于x的方程至少有一个负实根，则a的取值范围是.【答案】【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解.【详解】当时，方程为，有一个负根，当时，为一元二次方程，关于的方程至少有一个负根，设根为，，当时，即时，方程为，解得，满足题意，当，即时，且时，若有一个负实根，则，解得，若有两个负实根，则，解得，综上所述，则实数的取值范围是；故答案为：．四、解答题15．已知函数(1)证明：在内至少有一个零点．(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)证明见解析(2)2【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数【分析】（1）根据零点存在性判断方法进行判断即可.（2）确定的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的零点个数问题，在数形结合，分类讨论函数零点的个数.【详解】（1）由题意得，，因为的图象是一条连续不断的曲线，且，所以在内至少有一个零点．（2）由题意得．令，得．令，函数，则的零点个数等于的图象与直线的公共点个数．的大致图象如图所示．当时，的图象与直线的公共点个数为0，即函数的零点个数为0．当或时，的图象与直线的公共点个数为1，即函数的零点个数为1．当时，的图象与直线的公共点个数为2，即函数的零点个数为2．16．已知方程，求m为何值时：(1)方程有一个正根一个负根；(2)方程两根均大于1；(3)方程在内有实数根．【答案】(1)(2)(3)【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题【分析】（1）利用三个二次的关系，数形结合可得关于的不等式组，求解即得；（2）利用三个二次的关系，数形结合可得关于的不等式组，求解即得；（3）由题意，方程在内有实数根包括在内有且仅有一个根和在内有两个根两类情况，结合函数图象考虑端点的函数值，分别列出不等式组，求解即得.【详解】（1