5.7 三角函数的应用 第2课时 （导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册

5.7三角函数的应用(二)第2课时导学案理解三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型，能识别生活和学科中的周期现象。能根据实际数据画散点图，选择合适的三角函数模型（如y=能利用三角函数模型解决实际问题（如计算时间、高度、范围等），掌握三角函数应用的基本步骤。体验数学建模的全过程，感受数学与生活、其他学科的联系，提升数学建模和数据分析素养。教学重点：运用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题（如潮汐、简谐运动、风力发电等场景）。通过构建三角函数模型解决生活中的简单周期问题，掌握“数据观察—模型建立—问题求解—结果验证”的建模基本步骤。教学难点：将实际问题抽象为三角函数模型，即准确识别周期现象、选择合适模型并确定模型参数。深刻体会三角函数作为描述周期变化现象重要工具的价值，理解模型参数与实际问题意义的关联。知识点一函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则知识点二三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中eq\x(\s\up1(01))周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画eq\x(\s\up1(02))周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．知识点三建立函数模型的一般步骤导入1：“外卖骑手几点出发才能‘一路绿灯’？”——市中心某条干道红绿灯采用“绿波”控制：-信号灯按正弦规律调整配时，周期80s；-第0s时刚好切换成绿灯，40s再次切换，绿灯持续40s；-骑手以5m/s匀速通过，若想在600m长的路段上连续遇到绿灯，需把出发时刻t₀选在什么区间？请：1.写出“绿灯时长占比”关于时间t的正弦型函数；2.建立骑手在路段任意位置s处遇到绿灯的三角不等式；3.解出满足条件的出发时刻t₀范围（精确到秒）。【设计意图】把“正弦周期”嫁接到每天等红灯的生活痛点，学生发现“只要算准相位，就能少等灯”，立刻产生“我要学会sin(ωt+φ)来省时间”的驱动力。导入2：“为什么演唱会低音炮会让人胸口‘共振’？”——音响工程师测得：-低音炮频率40Hz，声压p(t)呈正弦变化；-人胸腔固有频率约40Hz，振幅被放大到1.5倍才会明显共振；-若声压模型为p(t)=0.8sin(80πt+φ)（单位：Pa），问：a)相位φ为何值时，能让胸腔振幅刚好达到1.5Pa？b)安保要求共振时长不超过3s，一段20s的低音秀里，最多允许出现几次满足a)的相位区间？【设计意图】把“三角函数”埋进“蹦迪”现场，学生意识到“原来函数能算出胸口共振的临界时刻”，从而主动想掌握振幅、相位、周期在实际中的联合运用。探究点1：基于周期数据建立三角函数模型例2海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报．表5.7-2时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0：005.09：182.518：365.03：067.512：245.021：422.56：125.015：307.524：004.0(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到）．(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久?(3)某船的吃水深度为4m，安全间隙为m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域?分析：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性．根据表5.7-2中的数据画出散点图，如图5.7-4．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如的函数来刻画，其中是时间，是水深．根据数据可以确定，，，的值．解：(1)以时间（单位：）为横坐标，水深（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图5.7-4）．根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：；由，得．所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述．由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表5.7-3）：表5.7-3时刻0：001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深/m5.0006.2137.1227.4977.2456.4285.2534.0143.0232.5292.6563.372时刻12：0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深/m4.4975.7486.8127.4207.4206.8125.7484.4973.3722.6562.5293.023(2)货船需要的安全水深为，所以当时就可以进港．令由计算器可得．探究点2：利用三角函数模型解决实际问题如图5.7-5，在区间内，函数图象与直线有两个交点A，B，因此，或解得，．由函数的周期性易得：，．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．(3)设在h时货船的安全水深为m，那么．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点（图5.7-6）．借助计算工具，用二分法可以求得点的坐标约为，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．【变式】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定．以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：

(1)小球在开始振动（即）时的位置在哪里？(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(3)经过多少时间小球往复运动一次？(4)每秒钟小球能往复振动多少次？【答案】(1)平衡位置上方处(2)；(3)秒(4)次.【分析】（1）根据函数的解析式，即可作出其一个周期上的图象，令，即可求得小球在开始振动（即）时的位置在哪里.（2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案；（3）求出函数的周期，即得答案；（4）根据函数的频率为周期的倒数，即得答案.【详解】（1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，

当时，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处；（2）的最大值为2，最小值为，则小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是；（3）由于，故经过小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动次.【感悟提升】在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq\f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝eq\f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．探究点3：三角函数在几何与物理中的综合应用思考如图5.7-6，设，有人认为，由于点是两个图象的交点，说明在时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了．你认为对吗？三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．

1.（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形.是扇形弧上的动点，是扇形的内接平行四边形，则四边形ABCD的面积最大值为.【答案】【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、几何中的三角函数模型【分析】作于点，作于点，将四边形ABCD的面积转化为矩形EFCD的面积，设，将矩形EFCD的面积表示为，应用三角运算及三角函数性质求最大值即可.【详解】解：如图：作于点，作于点，则矩形EFCD的面积等于平行四边形ABCD的面积，设，则，在Rt中，，所以，所以矩形EFCD的面积为因为，所以，当即时，矩形EFCD的面积最大为，所以平行四边形ABCD的面积最大值为.故答案为：.2.（2025高三·全国·专题练习）已知正的内切圆半径为为其圆心，点是以为圆心、1为半径的圆上的动点，求的最大值．【答案】【知识点】几何中的三角函数模型【分析】设，利用几何关系可得，进而结合的范围可得.【详解】设，作于点于点，如图，则，，从而，由正的内切圆半径为，可得，当与相切时，最大，此时,此时取得最大值为

3.（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知点A是两平行直线之间的一定点，并且点A到的距离分别是3，5，是直线上的动点，作，且使与直线交于点．则的面积的最小值是．【答案】15【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、几何中的三角函数模型【分析】设，则，分别表示出，根据三角形面积公式及二倍角公式得出，再根据正弦函数的性质求解即可．【详解】设，则，所以，所以，因为，所以，所以当，即时，的面积的最小值为15，故答案为：15．4.（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为s．【答案】【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的周期性求值、三角函数在物理学中的应用【分析】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解.【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，，，，，，由可得，，，，在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.故答案为：.5.（多选题）（2025·重庆·一模）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（

）A． B．C． D．【答案】AB【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数在物理学中的应用【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型.【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，，或，，AB选项满足题意，故选：AB.6.（2024高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）A． B． C．1s D．【答案】D【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数在生活中的应用、三角函数在物理学中的应用【分析】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可.【详解】由题意得，，故函数的周期为，，可得，令，解得，故总时间为，综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.故选：D.7.（24-25高三上·湖南长沙·期末）某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（

）A．℃ B．℃ C．℃ D．℃【答案】A【知识点】三角函数在生活中的应用【分析】由题意可得，可求得，进而根据已知可得，，可求得解析式，进而可求得时的函数值，可得结论.【详解】由题意可知，直线是曲线的一条对称轴，所以，，即，.又，即，所以.因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以①.又当时，，所以，所以②.由①②解得，，所以，则当时，℃.故选：A.8.（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】三角函数线的应用、三角函数新定义【分析】利用三角形相似，即可求解.【详解】由图象可知，，则，即，所以.故选：D9.（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】弧长的有关计算、三角函数在生活中的应用【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出的“古典正弦”值.【详解】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则，所以.故选：D.10.（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（

）A．B．点P第一次到达最高点需用时5sC．点P再次接触水面需用时10sD．当点P运动2.5s时，距水面的高度为【答案】BC【知识点】三角函数在生活中的应用【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．【详解】函数中，所以，时，，解得，因为，所以，所以，A错误；令得，则，解得，所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．故选：BC

1.（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为．

【答案】/【知识点】三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、几何中的三角函数模型【分析】利用三角函数的定义表示出点，在直角三角形中表示出，进而得出矩形的面积表达式，从而得到最大值.【详解】设点，由则，所以矩形的面积，由，，，，当且仅当时取到最大值.故矩形的面积的最大值为故答案为：2.（多选题）（2025高三·全国·专题练习）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中（单位：m）为港口水深，（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h，且中午12点的水深为8m，为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则（

）A． B．最高水位为10mC．该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为4h【答案】ABC【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解余弦不等式、三角函数在生活中的应用【分析】根据余弦函数的图象和性质解出判断AB，解不等式判断CD即可.【详解】依题意，解得，A正确；当时，，解得，所