第02讲 集合间的基本关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）（人教A版必修第一册）（原卷版）

第第页第02讲集合间的基本关系 【人教A版】模块一集合的模块一集合的子集1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集记法

与读法记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即；

(2)对于集合A,B,C，若，且，则2．真子集的概念定义如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集记法记作(或)图示结论(1)且，则；

(2)，且，则【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若，且，则.(6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.【题型1子集、真子集的确定】【例1】（24-25高三上·四川·期末）集合A=x−4<x<2的一个真子集可以为（

A．3 B．x−1<x<3 C．0 D．【变式1.1】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合M=x∣m+1x2−mx+m−1=0A．-1 B．233 C．±233【变式1.2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合A=1,a−2,2a2(1)求a的值；(2)写出集合A的所有真子集.【变式1.3】（25-26高一上·全国·课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？(1)A={1}(2)B=(3)C={6,7,8}【题型2\t"/gzsx/zj135317/_blank"\o"判断集合的子集（真子集）的个数"集合的子集（真子集）的个数问题】【例2】（24-25高一上·河南·期中）设集合A=1,2,3,4,5,9，B=x∣x∈A,x∈ZA．3 B．4 C．7 D．8【变式2.1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合A={x∈N|y=12x+3∈A．7 B．8 C．15 D．16【变式2.2】（2024·河南·二模）已知集合M=x∈Z∣a≤x≤2a−1，若集合M有15个真子集，则实数aA．4,6 B．92,112 C．【变式2.3】（24-25高一上·全国·周测）已知集合M满足{1,2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，那么这样的集合M的个数为（

）A．4 B．5 C．7 D．8模块二模块二集合相等与空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观.(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.【题型3判断两个集合是否相等】【例3】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（

）A．A=x∈Nx≤2，B=x∈C．A=x|y=x，B=xy=x2x【变式3.1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=3,2，N=2,3 B．M=C．M=x,yx+y=1，N=yx+y=1 【变式3.2】（24-25高一上·上海·期末）已知集合A={x|x=2kπ+π3或x=2kπ+2π3A．A=B B．A⊆B C．A⊇B D．以上选项均不正确【变式3.3】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=3,2，B．M=4,5，C．M=x,yx+y=1D．M=1,2，【题型4根据两个集合相等求参数】【例4】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合A=0,4,a2，B=0,4,3a−2，若A=B，则aA．1或2 B．−1或0 C．1 D．−1【变式4.1】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=aA．−2 B．1 C．−1 D．2【变式4.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）由a，ba，1组成的集合中有3个元素，该集合和由a2，a+b，0组成的集合是同一个集合，求【变式4.3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|−(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.【题型5空集的判断、性质及应用】【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（

）A．∅ B．x∈R|C．x|x<4，或x>8 D．【变式5.1】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与∅说法不正确的是（）A．0∉∅ B．0∈C．0=∅ D．【变式5.2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程2x−1x−3=1+kx−3的解集为空集，则A．2 B．3 C．4 D．5【变式5.3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6模块三模块三集合间关系的性质1．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，①若AB，且BC，则AC；②若AB，B=C，则AC.(3)若AB，A≠B，则AB.【题型6判断集合间的关系】【例6】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=A．M=N⊆P B．M⊆N=P C．M=P⊆N D．N⊆P⊆M【变式6.1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆BC．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B【变式6.2】（24-25高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：(1)A=−1,1，B=(2)A=−1,4，B=(3)A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x是等边三角形}.【变式6.3】（24-25高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系.(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.【题型7根据集合的关系求参数】【例7】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合A=x−1≤x≤3，集合B=x1−m≤x≤1+m.若B⊆A，则mA．mm≤2 B．C．mm≤0 D．【变式7.1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合A=xx≤−2或x>1，B=xax+2≤0，且B⊆A，则A．a0<a≤1 B．C．a−2≤a≤1 D．a−2<a<0【变式7.2】（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合A=2,6(1)若集合B=a+1，a(2)若集合C=xax2−x+6=0，且A【变式7.3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合A=xx2(1)若B⊆A，求实数a的取值范围；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围【题型8集合关系中的新定义问题】【例8】（24-25高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x∈A|x是自恋数}，则B的真子集个数为（

）A．7 B．15 C．31 D．63【变式8.1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集M的“和睦数H”如下：将M中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合1,2,3,4,5的“和睦数”是5+4−3+2−1=7，2,4的“和睦数”是4+2=6，1的“和睦数”是1.对于集合A=n6−nnA．82 B．74 C．12 D．70【变式8.2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意m,n∈A（m,n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B=x|x=m+n1+mn(1)求集合A=3,4的生成集B(2)若集合A=a,2，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a(3)若集合−1≤A≤1，A的生成集为B，求证A=B．【变式8.3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，4,6,9的元素和是4+6+9=19；交替和是9−6+4=7；而5的元素和与交替和都是5.(1)写出集合1,2,3的所有非空子集的交替和的总和.(2)已知集合M=1,2,3,4,5,6①求集合M所有非空子集的元素和的总和；提示：∀x∈M，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；②求集合M所有非空子集的交替和的总数.一、单选题1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合A={x|x=2n+2,n∈N}，B={x|x=4n,n∈N}，则（

）A．A≠B B．A∈B C．A⊆B D．AB2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A=x∣x−7<0,x∈N*，则集合B=A．4 B．8 C．14 D．153．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合A=0,2,B=1,2,3,C=A．16 B．15 C．4 D．84．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合{a,b,c}=−1,0,1，若①a≠−1；②b=−1；③c≠0中有且只有一个正确，则a2023−2b+4c=A．2 B．3 C．5 D．85．（24-25高一上·全国·期末）已知m∈R，n∈R，若集合m,nm,1=mA．−2 B．−1 C．1 D．26．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1，若B为A的真子集，则A．2,3 B．2,3 C．−∞,3 7．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）设M=xx=m+16,m∈Z，P={x|x=n2−13,n∈A．PQM B．MP=Q C．P=QM D．Q=MP8．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合A=x1,x2,x3,x4∣xi∈−1,1,i=1,2,3,4A．2 B．3 C．4 D．6二、多选题9．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列关系中正确的是（

）A．0∈0 B．C．a,b=b,a 10．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知集合A=0,1，B=xax2+x−1=0，若A．0 B．1 C．−1 D．111．（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（m≤n）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（4≤t≤n）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（

）A．3数集A有6个非空真子集B．4数集B有6个2子集C．若集合C=1,2,3,4,6，则CD．若集合D=1,2,3,4,6,13,20,40，则D三、填空题12．（24-25高一上·安徽·期中）若1,a,b−1a=0,13．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若A=1,2,3，B={x|x=mn,m∈A,n∈A,m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为14．（23-24高一上·上海·期中）已知集合A=x|x2+5x−6=0,B=x|x2+2(m+1)x+四、解答题15．（2025高一·全国·专题练习）已知A=x∣x2(1)若A是B的子集，求实数a的值；(2)若B是A的子集，求实数a的取值范围.16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合P=x∈Rx2(1)若b=4，存在集合M使得PMQ，求这样的集合M；(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围．17．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合A=x(1)若A⊆∅，求实数a的取值集合.(2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合.(3)若1∈A且B⊆A，求实数b的取值集合.18．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合A=x(1)若B⊆A，B={xm+1≤x≤2m−1,m为常数}，求实数