人教A版（2019）必修第一册1.2集合间的基本关系 同步课堂（原卷版）

1.2集合间的基本关系讲解目录讲解目录TOC\o"1-3"\h\u【知识点1】子集的个数 1【知识点2】判断两个集合是否相同 2【知识点3】空集及空集的性质 2【知识点4】两个集合相等的应用 3【知识点5】判断两个集合的包含关系 4【知识点6】子集的判断与求解 4【知识点7】集合的包含关系的应用 5【知识点8】Venn图表集合的包含关系 6【题型1】集合的真子集个数 7【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围 7【题型3】判断两个集合的真包含关系 8【题型4】根据两个集合相等求参数 8【题型5】判断两个集合的包含关系(子集) 9【题型6】集合相等 10【题型7】判断两个集合是否相等 10【题型8】集合的子集个数 11【题型9】Venn图 11【题型10】空集的判断和运用 12知识讲解知识讲解【知识点1】子集的个数1、子集真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合．已知集合A={x|-1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．

解：当x∈Z时，A={x|-2≤x≤5}={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，

∴A的非空真子集的个数为28-2=254个；【知识点2】判断两个集合是否相同（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．

（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A=B．集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致．下列集合中相等的集合是（）

①{x|y=x+1}；

②{y|y=x+1}；

③{（x，y）|y=x+1}；

④{s|s=t2+1}．

解：①{x|y=x+1}={x|x≥0}；

②{y|y=x+1}={y|y≥1}；

③{（x，y）|y=x+1}={（x，y）|{x≥0y≥1}；

④{s|s=t2+1}={s|s≥1}．

∴相等的集合是【知识点3】空集及空集的性质1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集．

2、注意：

空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．

将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；

袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．

例如：{x|x2+1=0，x∈R}=∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．

3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：

①B=∅；

②B⊂A且B≠∅；

③B=A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先

考虑空集．

一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．【知识点4】两个集合相等的应用对于两个有限数集A=B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：

①两个集合的元素个数相等；

②两个集合的元素之和相等；

③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．已知集合A={0，2，4}，B=4，m+n，mn+2．若A=B，则实数n的值为（）

解：由题意，得m+n=0或mn+2=0，

当m+n=0时，mn+2=2，即m=2n+4，

故2n+4+n=0，解得n=−43，

故m=43，所以B={4，0，2}，满足题意；

当mn+2【知识点5】判断两个集合的包含关系如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；

1．按照子集包含元素个数从少到多排列．

2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．

3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．

4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．

已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则（）

A．A＞B

B．B∈A

C．A⊆B

D．B⊆A

解：由题意可得，B⊆A．

故选：D．【知识点6】子集的判断与求解1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．

记作：A⊆B（或B⊇A）．

2、真子集是对于子集来说的．

真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，

若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．

所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．

{1，3}⊂{1，2，3，4}

{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}定义子集：A是B的子集，当且仅当A中的每一个元素都在B中．

验证元素：逐个检查A中的元素是否在B中．符号表示：用⊆表示子集关系，若A是B的子集，记为A⊆B．本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．【知识点7】集合的包含关系的应用如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．1．按照子集包含元素个数从少到多排列．

2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．

3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．

4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．设m为实数，集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．

解：∵集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，且B⊆A，

∴当m＞2m-1时，即m＜1时，B=∅，符合题意；

当m≥1时，可得{−3≤m2m−1≤2，解得1≤m≤32．

综上所述，m≤32，即m的取值范围是【知识点8】Venn图表集合的包含关系如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．

Venn图表示如下：

明确集合：了解每个集合的元素和定义．绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈．包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示．下列表示集合M={x|x2-4=0}和N=x∈Z|2x∈Z关系的Venn图中正确的是（）

A.

B.

C.

D.

解：集合M={x|x2-4=0}={-2，2}，N=x∈Z|2x∈Z={1，-1，2，-2}，

则M⊆N．

故选：题型专练题型专练【题型1】集合的真子集个数【典型例题】已知集合A＝{x,1}，B＝{y,1,2,4}，且A是B的真子集．若实数y在集合{0,1,2,3,4}中，则不同的集合{x，y}共有()A.4个B.5个C.6个D.7个【举一反三1】已知集合A＝{x|mx2－mx＋m＝0}有两个非空真子集，则实数m的取值范围为()A.{m|m>4}B.{m|m<0或m>4}C.{m|m≥4}D.{m|m≤0或m>4}【举一反三2】已知集合，，则的真子集的个数为（

）A.8B.7C.4D.3【举一反三3】定义集合运算：.已知集合，则集合有______个真子集.【举一反三4】集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．【举一反三5】写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围【典型例题】已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（）.A.B.C.D.【举一反三1】设集合，，满足A⊆B，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【举一反三2】已知集合A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是________.【举一反三3】（2023·湖南省长沙市长郡中学期中）设全集集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围．【题型3】判断两个集合的真包含关系【典型例题】集合的真子集的个数是（）A.3B.4C.7D.8【举一反三1】已知集合，则（）A.B.C.D.【举一反三2】用适当的符号填空：(1)a

{a,b,c};(2)0____x|(3)∅

x∈R(4){0,1}

N;(5){0}____{x|x²=x}；(6){2,1}___{x|x²−3x+2=0}.【举一反三3】选用适当的符号填空：(1)若集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则-4

B,-3

A,{2}

B,B

A;(2)若集合A={

x|x²−1=0}，则1

A,{-1}

A,∅

A,{1,-1}

A;(3){x|x是菱形}

{x|x是平行四边形};{x|x是等腰三角形}

{x|x是等边三角形}.【举一反三4】在平面直角坐标系中，集合C={(x，y)|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合D=x,y|2x−y=1x+4y=5表示什么?集合C【举一反三5】判断下列两个集合之间的关系：(1)A={x|x<0},B={x|x<1};(2)A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N};(3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=20m,m∈N+}.【题型4】根据两个集合相等求参数【典型例题】已知集合，且，则（）A.B.1C.D.0【举一反三1】若，则的值为（

）A.B.3C.D.7【举一反三2】，且，则（）A.B.C.D.【举一反三3】，且，则（）A.B.C.D.【举一反三4】已知集合，且，则（）A.B.1C.D.0【题型5】判断两个集合的包含关系(子集)【典型例题】已知集合A={0，1，2}，那么（）A.B.C.D.【举一反三1】设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是()A.N∈MB.N∉MC.N⊇MD.N⊆M【举一反三2】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C．【举一反三3】设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________．【举一反三4】判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：(1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．【举一反三5】判断下列各组集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)M＝{x|x＝2n，n∈N*}，N＝{x|x＝4n，n∈N*}；(3)集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}．【题型6】集合相等【典型例题】已知集合A＝x|y=1x，B＝y|y=1x，C＝x,yA.A＝BB.A＝CC.B＝CD.A＝B＝C【举一反三1】给出以下集合，其中是相等集合的有()A.M＝{(－5,3)}，N＝{－5,3}B.M＝∅，N＝{0}C.M＝{π}，N＝{3.1415}D.M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}【举一反三2】已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么()A.PMB.MPC.M＝PD.M∈P【举一反三3】已知集合M＝{－1,3,2m－1}，集合N＝{3，m2}，若N⊆M，则实数m＝________.【举一反三4】设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝________，b＝________.【举一反三5】设x,y∈R，集合A={3,x2+xy+y},B={1,x【举一反三6】集合M={1,y}，N={x2,x}，若M=N，求x，【题型7】判断两个集合是否相等【典型例题】下列各组两个集合和表示同一集合的是（

）A.B.C.D.【举一反三1】下列四组集合中表示同一集合的为（

）A.，B.，C.，D.，【举一反三2】已知集合，，，，，则（

）A.B.C.D.【举一反三3】下列各组两个集合和表示同一集合的是（

）A.B.C.D.【题型8】集合的子集个数【典型例题】已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为()A.3B.4C.7D.8【举一反三1】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）设集合，集合，则的子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【举一反三2】已知非空集合P满足：(1)P⊆{1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________.【举一反三3】已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．【举一反三4】已