福建省宁德市普通高中毕业班2026届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

福建省宁德市普通高中毕业班2026届高一数学第二学期期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）A． B． C． D．2．将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（）A． B． C． D．3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？A．180 B．160 C．90 D．3604．为了得到函数y=sin(2x-πA．向右平移π6个单位 B．向右平移πC．向左平移π6个单位 D．向左平移π5．直线2x+y+4=0与圆x+22+y+32=5A．255 B．4556．已知直线x+ay+4=0与直线ax+4y-3=0互相平行，则实数a的值为（）A．±2 B．2 C．-2 D．07．设，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．8．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是，则该阴影区域的面积是（）A．3 B． C． D．9．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A． B． C．3 D．210．有一个容量为200的样本，样本数据分组为，，，，，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间内的频数为（）A．48 B．60 C．64 D．72二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______12．函数在的值域是__________________.13．在等比数列中，，，则_____．14．把数列的各项排成如图所示三角形状，记表示第m行、第n个数的位置，则在图中的位置可记为____________．15．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．16．若数列的首项，且（），则数列的通项公式是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前n项和为，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）证明：.18．已知，，且.（1）求函数的最小正周期；（2）若用和分别表示函数W的最大值和最小值.当时，求的值.19．（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为，求为整数的概率？（2）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去．试求这两人能会面的概率？20．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？21．有一款手机，每部购买费用是5000元，每年网络费和电话费共需1000元；每部手机第一年不需维修，第二年维修费用为100元，以后每一年的维修费用均比上一年增加100元.设该款手机每部使用年共需维修费用元，总费用元.（总费用购买费用网络费和电话费维修费用）（1）求函数、的表达式：（2）这款手机每部使用多少年时，它的年平均费用最少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.2、D【解析】

直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最大值，得出的表达式，结合已知选出正确答案.【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，所以在时，取得最大值，所以有而，所以的最小值为.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.3、A【解析】

根据数得250粒内夹谷30粒，根据比例，即可求得结论。【详解】设批米内夹谷约为x石，则，解得：选A。【点睛】此题考查简单随机抽样，根据部分的比重计算整体值。4、A【解析】

根据函数平移变换的方法，由2x→2x-π3即2x→2(x-π【详解】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为只需将y=sin2x的图象向右平移π6【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.5、C【解析】

先求出圆心到直线的距离d，然后根据圆的弦长公式l=2r【详解】由题意得，圆x+22+y+32=5圆心-2,-3到直线2x+y+4=0的距离为d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故选C．【点睛】求圆的弦长有两种方法：一是求出直线和圆的交点坐标，然后利用两点间的距离公式求解；二是利用几何法求解，即求出圆心到直线的距离，在由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形中运用勾股定理求解，此时不要忘了求出的是半弦长．在具体的求解中一般利用几何法，以减少运算、增强解题的直观性．6、A【解析】

根据两直线平性的必要条件可得4-a【详解】∵直线x+ay+4=0与直线ax+4y-3=0互相平行；∴4×1-a⋅a=0，即4-a2=0当a=2时，直线分别为x+2y+4=0和2x+4y-3=0，平行，满足条件当a=-2时，直线分别为x-2y+4=0和-2x+4y-3=0，平行，满足条件；所以a=±2；故答案选A【点睛】本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题。7、D【解析】试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a>b，c>d;∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5,选项A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;选项B，1（-2）>（-1）（-5），不成立;取选项C，，不成立,故选D考点：不等式的性质点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题8、B【解析】

利用几何概型的意义进行模拟试验，即估算不规则图形面积的大小．【详解】正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，，又，.故选：B．【点睛】本题考查几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系.9、A【解析】

由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解．【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，.故选：A．【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．10、B【解析】

由，求出，计算出数据落在区间内的频率，即可求解.【详解】由,解得，所以数据落在区间内的频率为，所以数据落在区间内的频数，故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.【详解】作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.12、【解析】

利用反三角函数的性质及，可得答案.【详解】解：，且，，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的性质，相对简单.13、1【解析】

由等比数列的性质可得，结合通项公式可得公比q,从而可得首项.【详解】根据题意，等比数列中，其公比为，，则，解可得，又由，则有，则，则；故答案为：1．【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列性质（其中m+n=p+q）的应用，也可以利用等比数列的基本量来解决.14、【解析】

利用第m行共有个数，前m行共有个数，得的位置即可求解【详解】因为第m行共有个数，前m行共有个数，所以应该在第11行倒数第二个数，所以的位置为.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的通项和求和公式，发现每行个数成等差是关键，是基础题15、4π【解析】

利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.【详解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．故答案为：4π．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.16、【解析】，得（）,两式相减得，即（），，得，经检验n=1不符合。所以，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）将已知递推式取倒数得，，再结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．【详解】（1），，可得，即有，可得数列为公比为2，首项为2的等比数列；（2）由（1）可得，即，由基本不等式可得，，即有．【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式可将化简为，进而求得函数的最小正周期；（2）由可求得的范围，进而可求得的最大值和最小值，最后得解.【详解】（1）∴；（2），，，∴当时，，当时，，∴.【点睛】本题考查向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式，考查三角函数的单调性和周期性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.19、（1）；（2）【解析】

（1）分别求出基本事件总数及为整数的事件数，再由古典概型概率公式求解；（2）建立坐标系，找出会面的区域，用会面的区域面积比总区域面积得答案．【详解】（1）所有的基本事件共有4×3=12个，记事件A={为整数}，因为，则事件A包含的基本事件共有2个，∴p（A）=；（2）以x、y分别表示两人到达时刻，则．两人能会面的充要条件是．建立直角坐标系如下图：∴P=．∴这两人能会面的概率为．【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．20、（1）0.15（2）2400（3）25人【解析】

(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率；(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数.【详解】（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为（2）因为，，，，所以样本数据的中位数为.（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为，所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为.从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人，则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取(人).【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中