湖南省宁乡县一中2026届高一下数学期末学业水平测试模拟试题含解析

湖南省宁乡县一中2026届高一下数学期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点在第四象限，则角在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，且，则的值为()A．6 B．－6 C． D．3．已知数列的通项公式是，则等于（）A．70 B．28 C．20 D．84．如图，正四棱柱中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α；②α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；③m//n，m//α⇒n//α；④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①④B．②④C．①③D．②③6．已知函数（其中），对任意实数a，在区间上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或77．已知、为锐角，，，则（）A． B． C． D．8．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）A． B． C．3 D．9．角α的终边上有一点P（a，|a|），a∈R且a≠0，则sinα值为（）A． B． C．1 D．或10．若函数，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．12．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.13．已知实数，满足不等式组，则的最大值为_______.14．在等比数列中，，，则______________.15．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．16．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数.求此数列的公差及前项和.18．（1）若对任意的，总有成立，求常数的值；（2）在数列中，，求通项；（3）在（2）的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，第项，按原来的顺序组成新数列，其中试问是否存在正整数，使得且成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．已知数列前n项和，点在函数的图象上．(1)求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．20．如图，等腰梯形中，，，，取中点，连接，把三角形沿折起，使得点在底面上的射影落在上，设为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；（2）求过点、和的圆的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据第四象限内点的坐标特征，再根据正弦值、正切值的正负性直接求解即可.【详解】因为点在第四象限，所以有：是第二象限内的角.故选：B【点睛】本题考查了正弦值、正切值的正负性的判断，属于基础题.2、A【解析】

两向量平行，內积等于外积。【详解】，所以选A.【点睛】本题考查两向量平行的坐标运算，属于基础题。3、C【解析】

因为，所以，所以=20.故选C.4、A【解析】

试题分析：连结，异面直线所成角为，设,在中考点：异面直线所成角5、A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线m,n还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线n⊂α，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.6、A【解析】

根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于的不等式，从而得到的范围，结合，得到答案.【详解】函数，所以可得，因为在区间上，函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，所以得即与的图像在区间上的交点个数大于等于4，小于等于8，而与的图像在一个周期内有2个，所以，即解得，又因，所以得或者，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.7、B【解析】

利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】因为，且为锐角，则，所以，因为，所以故选：B.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解答的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.8、C【解析】

先由题意求出，再结合基本不等式，即可求出结果.【详解】因为是与的等比中项，所以，故，因为，，所以，当且仅当，即时，取等号；故选C【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.9、B【解析】

根据三角函数的定义，求出OP，即可求出的值．【详解】因为，所以，故选B．【点睛】本题主要考查三角函数的定义应用．10、D【解析】

根据分段函数的定义域与函数解析式的关系，代值进行计算即可．【详解】解：由已知，又，又，所以：．

故选：D．【点睛】本题考查了分段函数的函数值计算问题，抓住定义域的范围，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，

∴，又∵当时，也满足上式，

∴数列的通项公式为，∴

，令（），则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，

故当时，，即当时，，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.12、-1【解析】

，，，由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．【详解】如图，，则，设是中点，则，∵，∴，即，，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，，注意到，因此当与反向时，最小，∴．∴最小值为-1．故答案为-1．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．13、2【解析】

作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由，即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率，显然直线的斜率最大，又由，解得，则，所以的最大值为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14、1【解析】

根据已知两项求出数列的公比，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可．【详解】∵a1＝1，a5＝4∴公比∴∴该等比数列的通项公式a3＝11＝1故答案为：1．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，一般利用基本量的思想，属于基础题．15、【解析】

先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.【详解】设扇形的半径为R,由题得.所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、【解析】

基本事件总数n，利用列举法求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有4种情况，由此能求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率．【详解】从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，基本事件总数n，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4种情况，∴这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为p．故答案为．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、，【解析】

先设等差数列的公差为，根据第6项为正数，从第7项起为负数，得到求，再利用等差数列前项和公式求其.【详解】设等差数列的公差为，因为第6项为正数，从第7项起为负数，所以，即，所以又因为所以所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18、(1)(2)(3)存在,,或【解析】

由题设得恒成立，所以，由和知，，且，由此能推导出假设存在正整数m，r满足题设，由，，又得，于是，由此能推导出存在正整数m，r满足题设，，或，．【详解】由题设得，即恒成立，所以，由题设又由得，，且，即是首项为1，公比为2的等比数列，所以即为所求．假设存在正整数m，r满足题设，由知，显然，又得，，即是以为首项，为公比的等比数列．于是，由得，m，，所以或15，当时，，；当时，，；综上，存在正整数m，r满足题设，，或，【点睛】本题主要考查了数列中参数的求法、等差数列的通项公式和以极限为载体考查数列性质的综合运用，属于难题．19、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入函数的方程得到.利用，可求得数列的通项公式为.（2）利用裂项求和法求得.为递增的数列，当时有最小值为，所以，解得.试题解析：（1）点在函数的图象上，.①当时，，②①-②得.当时，，符合上式.．（2）由（1）得，．，数列单调递增，中的最小项为.要使不等式对任意正整数恒成立，只要，即.解得，即实数的取值范围为.点睛:本题主要考查函数与数列，考查已知数列前项和，求数列通项的方法，即用公式.要注意验证当时等号是否成立.考查了裂项求和法，当数列通项是分数的形式，并且分母是两个等差数列的乘积的时候，可考虑用裂项求和法求和.还考查了数列的单调性和恒成立问题的解法.20、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）取的中点，取的中点，连接、、、、，可知、均为等边三角形，可证明出平面，从而得出，再证明出四边形为平行四边形，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得，从而可得出，再利用线面垂直的判定定理可证明出平面；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，证明出平面，可得知二面角的平面角为，计算出直角三角形三边边长，即可求出，即为所求.【详解】（1）如下图所示，取的中点，取的中点，连接、、、、，在等腰梯形中，，，，为的中点，所以，，又，则，为等边三角形，同理可知为等边三角形，为的中点，，，，平面，平面，，由于和是边长相等的等边三角形，且为的中点，，为的中点，.在等腰梯形中，且，则四边形为平行四边形，、分别为、的中点，且，为的中点，且，则四边形为平行四边形，，，，平面；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，由于点在平面内的射影点在上，则平面平面，由（1）知，，又平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，在中，，，，，，因此，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的求法，解题的关键就是找出二面角的平面角，通过解三角形来求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21、（1）；（2）【解析】

（1）由直线AB的斜率，中点坐标，