黑龙江省大庆市一中2026届高一下数学期末经典模拟试题含解析

黑龙江省大庆市一中2026届高一下数学期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则（）A． B． C． D．2．若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A． B． C． D．3．设，，，则（）A． B．C． D．4．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北方向，则这时船与灯塔的距离是：A．10kmB．20kmC．D．5．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A． B． C． D．6．对具有线性相关关系的变量，有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（）A． B． C． D．7．设满足约束条件,则的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．38．在等比数列中，成等差数列，则公比等于（）A．1

或

2 B．−1

或

−2 C．1

或

−2 D．−1

或

29．若向量满足：与的夹角为，且，则的最小值是（）A．1 B． C． D．210．如图，在平行六面体中，M，N分别是所在棱的中点，则MN与平面的位置关系是（）A．MN平面B．MN与平面相交C．MN平面D．无法确定MN与平面的位置关系二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，数列满足，，将数列的前100项从大到小排列得到数列，若，则k的值为______；12．在等差数列中，公差不为零，且、、恰好为某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于____________．13．在四面体ABCD中，平面ABC，，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．14．如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量_______（用，表示向量）15．已知sin+cosα=，则sin2α=__16．已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0)，若圆(x-2)2+(y-2)2=2上存在点C三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记2016年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为该项目赢利．（1）试求的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．18．（Ⅰ）已知向量，求与的夹角的余弦值；（Ⅱ）已知角终边上一点，求的值．19．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，D为的中点，.（1）求证：平面；（2）求与所成角的余弦值．20．如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱中，，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：（3）求三棱锥的体积.21．已知．（1）化简；（2）若，且，求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由于，有正弦定理可得：，即由于在中，，，所以，联立，解得：，由于为锐角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）故答案选D【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．2、C【解析】

由题意得，故得平移后的解析式为，根据所的图象关于点对称可求得，从而可得，进而可得所求最小值．【详解】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以．所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．故选C．【点睛】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．3、B【解析】

由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案．【详解】由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，根据正切函数的性质，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4、C【解析】

在中，利用正弦定理求出得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案．【详解】由题意，可得，即，在中，利用正弦定理得，即这时船与灯塔的距离是，故选C．【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、A【解析】

三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和，故，故选A.6、A【解析】

先求出，再由线性回归直线通过样本中心点即可求出.【详解】由题意，，因为线性回归直线通过样本中心点，将代入可得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查线性回归直线通过样本中心点这一知识点的应用，属常规考题.7、A【解析】

考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：首先作出可行域，再作出直线l0：y=-3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=-3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=-3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=-3x，将l0平移至过点A（3，-2）处时，函数z=3x+y有最大值1．故选A．点评：本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．8、C【解析】

设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解【详解】等比数列中，设首项为，公比为，成等差数列，，即，或答案选C【点睛】本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题9、D【解析】

设作图，由可知点在以线段为直径的圆上，由图可知，，代入所求不等式利用圆的特征化简即可.【详解】如图，设，取线段的中点为，连接OE交圆于点D，因为即，所以点在以线段为直径的圆上(E为圆心)，且，于是.故选：D【点睛】本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题.10、C【解析】

取的中点，连结，可证明平面平面，由于平面，可知平面.【详解】取的中点，连结，显然，因为平面，平面，所以平面，平面，又，故平面平面，又因为平面，所以平面.故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了线面平行、面面平行的证明，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据递推公式利用数学归纳法分析出与的关系，然后考虑将的前项按要求排列，再根据项的序号计算出满足的值即可.【详解】由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函数y＝ax单调递减；∵∴1>a2＞a1∴，∴a2＞a3＞a1∵，且∴a2＞a4＞a3＞a1……当为奇数时，用数学归纳法证明，当时，成立，设时，，当时，因为，结合的单调性，所以，所以即，所以时成立，所以为奇数时，；当为偶数时，用数学归纳法证明，当时，成立，设时，，当时，因为，结合的单调性，所以，所以即，所以时成立，所以为偶数时，；用数学归纳法证明：任意偶数项大于相邻的奇数项即证：当为奇数，，当时，符合，设时，，当时，因为，结合的单调性，所以，所以，所以，所以时成立，所以当为奇数时，，据此可知：，当时，若，则有，此时无解；当时，此时的下标成首项为公差为的等差数列，通项即为，若，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，难度较难.(1)分析数列的单调性时，要注意到数列作为特殊的函数，其定义域为；(2)证明数列的单调性可从与的关系入手分析.12、4【解析】

由题意将表示为的方程组求解得，即可得等比数列的前三项分别为﹑、，则公比可求【详解】由题意可知，，又因为，，代入上式可得，所以该等比数列的前三项分别为﹑、，所以.故答案为：4【点睛】本题考查等差等比数列的基本量计算，考查计算能力，是基础题13、【解析】

易得四面体为长方体的一角,再根据长方体体对角线等于外接球直径,再利用对角线公式求解即可.【详解】因为四面体中,平面,且,.故四面体是以为一个顶点的长方体一角.设则因为四面体的外接球的表面积为,设其半径为,故.解得.故四面体的体积.故答案为：【点睛】本题主要考查了长方体一角的四面体的外接球有关问题,需要注意长方体体对角线等于外接球直径.属于中档题.14、【解析】

先求得，然后根据中位线的性质，求得.【详解】依题意，由于分别是线段的中点，故.【点睛】本小题主要考查平面向量减法运算，考查三角形中位线，属于基础题.15、【解析】∵，∴即，则.故答案为：.16、3【解析】

利用参数方程假设C点坐标，表示出AC和BC，利用AC⋅BC=0可得到a【详解】设C∴∵∠ACB=90°∴∴当sinα+∴0<a≤3本题正确结果：3【点睛】本题考查圆中参数范围求解的问题，关键是能够利用圆的参数方程，利用向量数量积及三角函数关系求得最值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜1，故当n≤2时，f（n）递减；当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＞1，故当n≥2时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2123年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．从而当x∈[1，2）时，f'（x）＜1，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞1，f（x）递增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2123年开始并持续赢利．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知分别求得及与，再由数量积求夹角计算结果；（Ⅱ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，再由三角函数的诱导公式化简求值．【详解】（Ⅰ）∵，∴，||＝5，||，∴．（Ⅱ）∵P（﹣4，3）为角α终边上一点，∴，．则sin2α．【点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角，考查任意角的三角函数的定义，训练了利用诱导公式化简求值，是基础题．19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）连接，设与相交于点O，连接OD.证明OD为的中位线，得，即可证明；（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可【详解】(1)证明：如图，连接，设与相交于点O，连接OD.∵四边形是平行四边形．∴点O为的中点．∵D为AC的中点，∴OD为的中位线，平面，平面，平面.（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角在中，D为AC的中点，则同理可得，在中，与BD所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题20、（1）见解析；（2）见解析；(3)8.【解析】试题分析：（1）由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故；（2）连接交于点，则为的中位线，得到∥，从而得到∥面；（3）过作垂足为，面，面积