2026年高考数学第一次模拟考试突破卷02（全国一卷）（全解全析）

2026年高考第一次模拟考试

数学•全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如常改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4（）分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A=[ly=弧丁可},集合B=W则AA5=（）

A.[-1,2）B.[-1,2]C.（1,2）D.（1,2]

【答案】D

【详解】由1。&.5卜-1）之0,得至iJOvx-闫,即1<XS2,所以A={x|K2},

由y—x2—1,k邪,因人=—75时.，=2,

所以得到所以8={y|），N—1},

所以Ac3={x[l<x<2},

故选：D.

2•复数「一Jr]的实部为（）

A.--B.yC.-41D.y/2

【答案】B

【洋解】1-向7]率）=13则+限

故JJr的实部为5，

l1+1U2

故选：B.

3.对于等比数列也｝,则“4〈生''是"数列｛q｝为单调递增数歹「的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】也｝是等比数列，则见=4，，

%=a、q,

<4<4,等价于4(乡-1)>0,

.•.当％>()时，…，数列｛q｝为递增数列；

2

当《<0时，则数列｛〃“｝不一定递增，如q=-1,夕=一2时，«3=-1X(-2)=-4,

「•4<%不能推出｛a„｝为单调递增数列，不满足充分性；

若应｝为单调递增数列，则对于任意，有凡讨>?，

令〃=1,则外>4,

｛〃”｝为单调递增数列能推出4，满足必要性，

•.•"4</''是"数列乩｝为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确.

故选：A.

2-1--2-3-

4.在VABC中，。为BC中点，CP=ACD,AQ=-AB+-AC,若4。=3八尸+^4。，则4=()

A.gB.1C.*D.

2345

【答案】A

【详解】因AQ="B+；AC,则京4Q_48)=；(4C_AQ),即2BQ=QC,

则8Q=；4C,

因D为8c中点，则DQ=BQ-BD='BC-LBC=-LBC,

oa,a

因AO=-APH—AQ,则一（人力一人P）=—（AQ—A/））,U|J2PD=3DQ,

5555

贝ljPD=：DQ=-；BC,则CP=CD+OP=—;BC+（BC=-1BC,

因C』CD,D为BC中点、,则CpfcB,即fC=g/ICB,得/!=；.

5.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没

有出现点数6的是()

A.平均数为3,中位数为2

B.中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为2.4

D.中位数为3,方差为2.8

【答案】C

【详解】对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数

6,故A错误；

对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B错

误；

对于C,若平均数为2,且出现6点，则方差一>：(6-2/=3.2>2.4,

则平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故C正确；

对于D,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,

平均数为H=((1+2+3+3+6)=3,

方差为S?二J。-3尸+(2-3f+(3—3产+(3-3>+(6-3)2]=2.8,

可以出现点数6,故D错误；

故选：C

6.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图

所示，直角三角形中最小的一个角为&（（）。<夕<45。），且小正方形与大正方形的面积之比为1:4,则tana=

+百4-V7

4rD

~4~3-¥

【答案】C

【详解】设大正方形的边长为则小正方形的边长为"cosa-sin。)，

依题意可得“2(c°sa_sina)2=」,故l—2sinacosa=',

/44

.3sinacosa3tana3,

n即nsinacosa=-=>—；-------=-=>一；----=-=>3taiTa-8tana+3=0,

8sin-«+cos-a8tan~a+l8

解得lana=-——或tana=

33

因为0°<a<45°,则Ovtanavl,故tana=4一’.

3

故选：C

7.己知正三棱锥A-8。的体积为66，高为2,点E是A。的中点，则班•与平面A8C所成角的正弦值为

（）

A.-B.-C.-D.

437

【答案】D

【详解】设正三棱锥的底面边长为。，则正三角形4CD的面积为3标,

4

因为正三棱锥A-6CO,所以A8=AC=AO.

过点A作平面BCO的垂线，垂足为0,则AO=2,

所以正三棱锥4—8CO的体积为匕一sc”=gSBCD•AO=66，

即1x—^a2x2=6>/5,解得。=6,

34

连接。。并延长交于点尸，则点尸是8c的中点，

所以。/=36,。。=26，OF=6连接AA,则A/上8C,

则A/7=《AO,+。产2=/i、AD=7AO?+。。2=4,

所以NABC的面积为SABC=g8CxAF=36，

设点。到平面A3C的距离为万，所以:X3"X"=6G,解得力=£互，

37

因为点E是4。的中点，所以点E到平面ABC的距离为%=+=率，

在△A6O中，A8=AD=4,BD=6,由余弦定理得cos/BAQ=3+16-36=一一

2x4x48

在“ABE中，A8=4，AE=2，由余弦定理得台1=16+4—2x4x2x1一五=22,

解得BE=应,

设跖与平面A8C所成的角为6,则sin〃=4=王^=d巫

BE7722154

故选：D.

8.已知2“+〃=1（电2人+〃=1%。+*则下列关系不可能成立的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.a<b=cD.c<h<a

【答案】D

【详解】依题意，令2a+a=log28+b=log3C+c=k，则2"=-a+310g2b=-"&，3c=-c+k,

令y=2，,y=Iog2X，y=log3%和y=r+&，则mb,c可分别视为函数），=2,，

y=log?x,丁=iog3"的图象与直线y=-x+k交点的横坐标，

在同一坐标系中画出函数y=2"y=10g2A-,y=logaX和y=-x+々的图像，如图，

观察图象得：当kvl时，a<c<b,当我=1时，a<b=c,当&>1时，a<b<c,

显然cvbva不可能,

所以不可能成立的是CV力Vd

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知A3为随机事件，P（A）=0.5,P（£?）=0.4,则下列结论正确的有（）

A.若A4为互斥事件，则P（A+8）=0.9

B.若A8为互斥事件，则P（Z+与）=0.1

C.若A8相互独立，则P（4-8）=0.7

D.若F（6|A）=0.3,则尸（例,）=0.5

【答案】ACD

【详解】对于A,若A3为互斥事件，则尸（A+8）=P（A）+P（5）=0.9,即可得A正确：

对于B,由尸（A）=0.5,尸（B）=0.4可得P.）=05P⑻=0.6,

又儿8为互斥事件，则P（A8）=0,又P（Z+B）=P（/u可=网通）=1—0=1,即B错误；

对于C,若于3相互独立,则P（AB）=P（A）P（B）=0.2,

所以P（A+B）=P（A）+/（5）—P（AB）=0.5+0.4—0.2=0.7,即C正确;

/,、P（AB}P（AB）/、

对于D,若玫8|4）=*^=-^」=0.3,所以尸（A8）=（）.15；

iiZBIJ

可得P（AB）=P（B）-P（AB）=0.25,

/P（M）P（M）o25

所以利叶君=巡=口^=。・5,即D正确■

故选：ACD

10.若动直线/:〃“-y+4-4/〃=0与圆C：（x_4f+（y-5）2=9相交于A3两点，则（）

A.直线/过定点（4,4）

B.的最小值为40

C.C4V8的最小值为-7

D.过直线x+〉」l=0上一点作圆C的切线，切线长的最小值是后

【答案】ABD

【详解】对于A,由/:m7+4-4/〃=0,可得），-4=〃心-4）,故宜线，恒过定点0（4,4）,故A正确;

对于B,圆G（x-4『+（y-5）2=9,圆心为C（4,5）,半径为3,

由圆的性质可得当CO14B时，|48|最小，

此时|cq=l,|A8|=2j^i=4jL故B正确；

对于C,取A4的中点M,则04（78=（0"+^4）・（0^+加8）=「加『_卜的『二2「加『一,0『=2|0/『-9,

又|凹=1,则圆心C到直线/的距离d=|cM<0』，所以OVC8W卜9,一7],

则C/VCB的最大值为-7,故C错误：

对于D,设P（x,y）为直线x+yT=0上任意一点，

过点尸（工,封作圆C的切线，则切线长为标j0,

要使切线长取最小值，则|PC|有最小值,

即圆心C（4,5）到直线x+y-1=0距离最短，

当。与直线x+y-i=o垂直时，|PC|有最小值，即归。.=第二=4夜,

"+「

所以切线长取最小值为J（4夜）2-2=而，故D正确.

II.在四面体A8C。中，BC=3,其余各棱长均为2,则该四面体的（）

A.表面积为26+3/B.体积为更

2

C.外接球的半径为率D.内切球的半径为3（⑨-4）

35

【答案】BD

【详解】由题意得：两个等边三角形的面积为SAQ=SAe='x2x2x正=6,

CDa/IV«-*22

两个等腰三角形的面积为S,腕=S即=33X=平，

所以四面体的表面积为26+逆，故A错误；

取4。的中点M,由等边三角形的性质可得：AD1BM、AD上CM,BM=CM=6,

由于AMcCM=M,8M,CMu平面BCM,所以A。_L平面BCM,

由此可得等腰三角形BCM面积为33x=孚，

所以四面体的体积为HCyxAD=-x^x2=^~,故B正确；

3w342

设内切球半径为，根据等体积公式可得：2石+近=3(2i),故口正确;

2312J5

A

由两个等边三角形的外心分别为P，Q，可得尸M=QM=*,

过P、Q分别作两个平面平面AC。的垂线，相交于点。,

根据球心的性质可知，点0为四面体的外接球球心，

由于三角形是等腰三角形，可知点。在等腰三角形的底边侑平分线上,

则有V3-2|，即cosNOMQ=^='=OM=2QM=独,

cos/GMC」I「人」OM2?3

V32

又因为MG=^,所以OG=友-正=@,

2326

所以外接球半径为R=OC=JOG、GC?=岛+合浮,故C不正确；

故选:BD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.平面上的三个力J用片作用于一点，且处于平衡状态.若旧卜山，园=二丁N,耳与耳的夹角

为45。，则R与月夹角的余弦值为.

【答案】一口也

4

【详解】・・•三个力平衡,

，耳+5+5=0,

・・・|同=忻+同=加『+26/+归T="+2x1x^^8545。+(^^]=72.

设E与"的夹角为仇则归卜而『+图+川用用cos。,

即=，「+（&）+2xlx&cos6,解得cos6=-④.

故答案为：一瓜+五

4

13.若数列｛%｝满足^［-—1丁二d.（〃e.N'S为常数\），则称数列｛%｝为“调和数列”，已知正项数列彳17］为“调

和数列“，且4+%+…+%26=2。260,则4％26的最大值是.

【答案】100

【详解】由题意，正项数列［g］为“调和数列”，则却「〃=，/（d为常数）,

PJ

所以正项数列｛"｝为等差数列，公差为d,

贝帅+&+.•+/皿=2°26x（*扇=20260,则4+瓦梓=20,

则始皿“（空些J=（M=100（当且仅当2=%26=10时等号成立），

所以48026的最大值是100.

故答案为：100.

14.在锐角V/WC中，分别是角A及C的对边，且画工=竺旦+竺1,则taM+tan8的最小值

abbeac

是.

【答案】2+2&

【详解】对"sinC=cos"+cosA两边同乘Hx?得&csinC=acosB+bcosA，

abbeac

由正弦定理得sin?C=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC,

因为sinC。。，所以sinC=4^,

2

因为V4BC为锐角三角形，所以。=?,

4

0<A<-

所以2,解得

0八〈兀--兀--A,<—兀42

42

A,,a,/A冗14tan4+1

tanA+tan4=tanA-tanA+—=tanA--------,

I471-tan4

令lTanA=/〈O,则lanA=l7,

所以lanA+lanB=l—i-"=2一/一六2+2“一/）弓=2+2拉,

2

当且仅当-，=—，即r=-\/5,tanA=1+应时等号成立，

—t

所以tan人+tan4的最小值为2+2及.

故答案为：2+2&.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

有750粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一，将750粒种子分种在250个坑内，每坑3粒；方案

二,将750粒种子分种在375个坑内，每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为0.6,并且，若一个坑内至少

有I粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（每个坑至多补种

一次，旦补种的种子同第一次）.假定每个坑第一次播种需要2元，补种（按相应方案补种相应粒数）1个坑需I

元，每个成活的坑可收获125粒试验种子，每粒试验种子收益1元.

（1）用X元表示播种费用，分别求出两种方案的数学期望；

（2）如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？

15.（13分）

【详解】解：（I）方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为四=。-0.6）'=2，所以一个坑内至少有

一粒种子发芽的概率0=1-Pl=黑

用为元表示•个坑的播种费用，则X1的可能取值是2,3,

所以p（X=2）=〃2，P（X=3）=Pi

所以X1的分布列为:

23

1178

p

125125

r117c8258

所以E(X])=2x----F3x---=---,

1125125125

2sx

所以E(X)=250XE(X1)=250XR=516；

方案二：一个坑内两粒种子都不发芽的概率为〃3=（1-0.6）,-=14，所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概

率04=1-〃3=充：

用尤元表示一个坑的播种费用，则X2的可能取值为2,3,

所以p(X2=2)=〃4，P”2=31=Py

所以A的分布列为:

X)23

214

P

2525

21454

所以E(X2)=2x宝+3x^二玄,

所以E(X)=375><W=810；

(2)设收益为丫元，

方案一：用X元表示一个坑的收益，则匕的可能取值为0，125,

X的分布列为：

X0125

(2、6

P

所以E(X)=0x弓V+125X1-(1)6=-^-,

JJ1J

所以E(y)=250xE(%)=250x^^=31122；

方案二：用匕元表示一个坑的收益，则上的可能取值为0，125.

匕的分别列为:

丫20125

(2丫1-(|)4

PuJ

所以&匕)=0x($、125x1-(|)4=等,

所以E(丫)=375x£：(、)=375x可=45675,

因为方案一所需的播种跳用比方案一只多了294元，但是收益比方案一多14553元，故应该选择方案一.

16.（15分）

如图，在四棱锥S—A8co中，ABC。为矩形，且AB=2BC=2,SB=6,NSCB=NSCD=60

⑴求证：8C_L平面SA8；

⑵求线段SA长；

0）若NS〃BC（N与。在平面必6的两侧），设三棱锥N-SA5体积为乂，四棱锥S-A3c。体积为匕，且

v,=1v2.求平面SNC与平面A8V所成夹角的余弦值•

16.（15分）

.1_R1

【解析】（1）在△S8C中，BC=l,SB=6,NSCB=60,.\cos60=^—^―=-,解得SC=2,

2SC2

:.SB2+BC2=SC2,:.SBIBC,

又人或刀为矩形，「.BCLAB,ABSB=B,A8u平面S48,S3u平面SA8,

二.BC_L平面SA8；

（2）由（1）知，BC1平面S48,AO〃BC,「.AD，平面SAB,（2%<=平面%8,「.4）_1%，在三

角形SCD中,•;SC=2,CD=2,NSCD=60,:.SD=2,

XAD=1,SA=^/4^T=y/3；

（3）取A8的中点0,・•8CL平面”A,BCu平面488,.・平面ABCD/平面MB

5A=S4=JJ,.•.SO_LA4,二平面ABC。上平面SH6,平面ABCOC平面SAB=A5.SOu平面SW内，

「.SO_L平面48CZ）,又V；=-V,,.*.-x-x2x\/2=^xV2xA^5,NS=\,

2-233

如图建立空间直角坐标系,

A(—1,O,O),B(1,0,0),C(1J,O),0(—1,1,0),S(0,0,V2),N(0,—l,垃),

则由=(0,-1,0),SC=(l,l,->/2),AB=(2,0,0),AN=(1,-1,闾，

/、\nSC=0x+y-\/2z=0

设平面SNC的法向量为〃=(x,y,z),则｛,得至ij

n•SN=0-y=0

令z=l，得1=戊，，=。，则〃=（我,（）/）；

2a=0

设平面48N的法向量比=〃也c）,则〈.,得到6+0_0，解得4=0,令c=l,b=五,则

in-AN=（）

=（0,＞/2,1）,

八11

设平面SNC与平面ABN所成夹角为0，则cos。=而丽=6又陋=§即平面57VC与平面ABN所成夹角

的余弦心.

17.（15分）

如图，已知椭圆氏£+4=旧＞力＞0）的左，右焦点分别为耳入，离心率为正，长轴长为2夜.

a~b~2

⑴求E的方程:

（2）过焦点目的直线交E于4,8两点，过焦点6的直线交后于C，。两点，且8CJ_x轴,

BF=AFtA,CF2=pF2D.

(i)求％+〃的值；

(ii)设线段A。的中点为"，O为坐标原点，求|OM|的取值范围.

17.(15分)

(1)由椭圆£的长轴长为2正，得a=g，由离心率为暗,得椭圆E的半焦距c=l,

则/=/_/=］,所以椭圆E的方程为、+9=L

⑵⑴设则。5，一4)，且3+2。=2,而6(-1,0),玛(1,0),

依题意，为工0,直线西方程为x=Sy_i,

%

x+1

x=——y-12拓+3,2x,+2,八

由>o消去工得二^旷一---3J-l=0,

42),2=2%%

则.匕为二一;72^，解得y=-y^，由得％=-g=2%+3；

直线"方程为-9尹］，由卜—得上弃广江)1=。，

x+2y=2

2

则—-—，解得)’2=g—，由cX=〃K。，得〃=比=3-2小，

3-2x03-2%~~y2

所以％+4=3+2%+3-2.%=6.

/•・、山/•、殂43/+4%>力(3x0-4%

(ii)由(1)得A(一^———)^(--------------),

2x0+32x0+32x0-32x0-3

则线段9的中点”(病,/)，I。“降普挈=鬻衰，

令1=9-44£(1,9］「£［(，1),则|OM『=：('+»—1)00,2),|OM月0,应)，

t98rt

所以IOMI的取值范围是［0,四).

18.(17分)

已知函数/(%)=xIm\nxI1.

X

⑴讨论/(X)的单调性.

(2)已知加=1,函数g(x)=吐£+/•(%),且g(x)仅有两个零点.

X

①求。的取值范围；

②证明:g(K)的两个零点之积小于1.

18.(17分)

【解析】(1)由/(x)=T+mln"可知r(x)=-l+巴二=-丁一7+%>0),

XXXX

对于方程/一〃n+1=0,若△=加-4>0,即，〃>2或加<一2,

2

①当〃?>2时，x-fm+\=0有两个不等正实根x.=叱孚三百=,

此时在(0,%)=(42，+8)上/'(工)<0，在(%，%)卜J'(x)>0，

当〃?<-2,/_如+］=。有两个不等负实根，此时在(0,+巧上r(x)<0,

②若〃好［—2,2］时、V-加+后0恒成立，此时在(0,+8)上r(“<0，

综上所述：当〃>2时，〃工)在0,时呼-4,-+J丁―4什8上单调递减，在

\//

切―什2_4,加+q2—4)上单调递增；当阳42时，f(x)在(0,+8)上单调递减；

(2)当加=1时，g(x)=^-^-+af(x)=ex-'nK-a(x-\nx),

•V

记力(x)=x-lnx,则〃(x)=土。，

.1

显然X>1时，/f(x)>0,\>x>W,/f(x)<0,

即力(x)在(0,1)上单调递减，在(1,十。)上单调递增，则丸(力之力⑴=1,

①令f=x-lnx(121),则eJ”=0=a=',

记〃(/)=，(/21),则/(1)=上，1之0,所以〃(/)在(1,+8)上单调递增,

所以〃(/)2〃(l)=e,要)，=。与)，=“(。有交点，需。Nc,

又x.0♦时，/?(x)f+8,x-»+8时，〃(x)f+e,

所以aNe时，丁=4与)，="(。(，21)只有一个交点(%〃),

若。=e,此时“=l=x-lnx,则工=1,不符合题意,

若a>e,此时"=x-Inx>1有两个解记为xpx2,

②由上知〃(xJ=XTn%=力(9)=9-Inx2=%，

不妨设当<七,显然。<与<1<々，

令H")=/?("-〃(：)

I(1)2

m/_nx-\-T=i-T2->0,

则/T(x)=〃(x)_/r21+l

<x)[A-;X厂£

X

所以”(x)在(0,y)上单调递增，所以当X>1时，//(.v)>H(l)=O,

,所以〃

\X2J

又K

VA€(O,l)Bt，”(x)单调递减，所以即中2<1，证毕.

19.(17分)

经典比特只能处于0态或I态，币量子计算机的量子比特可同时处于。与1的叠加态，故每个量子比特处

于0态或1