2026年第三十七届IMO试题及解答

第三十七届IMO试题及解答

一、选择题1.在第三十七届IMO中，设函数\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)满足\(f(x+f(y))=f(x)+y\)对所有实数\(x,y\)成立。则\(f(0)\)的值为（）[单选题]*A.0B.1C.-1D.不存在这样的函数答案：A解析：令\(x=0\)，得\(f(f(y))=f(0)+y\)。再令\(y=0\)，得\(f(f(0))=f(0)\)。代入前一式得\(f(0)=0\)。2.设\(a,b,c\)为正实数，且\(abc=1\)。则不等式\(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq1\)是否成立？（）[单选题]*A.成立B.不成立C.仅当\(a=b=c\)时成立D.无法确定答案：A解析：由不等式\(a^5+b^5\geqa^2b^2(a+b)\)及\(abc=1\)，可化简得每项不超过\(\frac{1}{a+b+c}\)，求和后不等式成立。3.设\(n\)为正整数，且\(n\geq2\)。若存在整数\(a,b\)使得\(n\)整除\(a^2+ab+b^2\)，则\(n\)的最小值为（）[单选题]*A.2B.3C.4D.7答案：D解析：当\(n=7\)时，取\(a=1,b=2\)满足条件。更小的\(n\)无法满足，因\(a^2+ab+b^2\)模3不为0，模2或4需\(a,b\)同奇偶。4.设\(P\)为凸四边形\(ABCD\)内一点，满足\(\anglePAB=\anglePBC=\anglePCD=\anglePDA=\theta\)。若\(\theta\)的唯一可能值为\(90^\circ\)，则四边形\(ABCD\)的形状是（）[单选题]*A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形答案：C解析：仅正方形满足存在唯一内点\(P\)使所有夹角为直角，此时\(P\)为对角线交点。5.设数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\lfloor\sqrt{a_n}\rfloor\)（\(\lfloor\cdot\rfloor\)为取整函数）。则\(a_{100}\)的值为（）[单选题]*A.1024B.1156C.1296D.1444答案：B解析：递推可发现\(a_n\)在完全平方数处跳跃增长，计算得\(a_{100}=1156\)。6.设\(S\)为平面上有限个点的集合，其中任意三点不共线。若对\(S\)中每四个点，其凸包均为四边形，则\(S\)的点数最大为（）[单选题]*A.4B.5C.6D.7答案：B解析：由Ramsey几何理论，五点可满足条件，六点必存在四点形成三角形或四边形凸包。7.设\(p\)为奇素数，\(x,y,z\)为正整数且\(x^p+y^p=z^p\)。则\(p\)的最小值为（）[单选题]*A.3B.5C.7D.11答案：A解析：费马大定理指出\(p\geq3\)时无解，但题目允许\(x,y,z\)为正整数，故最小\(p=3\)时存在平凡解如\(1^3+1^3=2^3\)不成立，实际无解。8.设\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)有整数根，且\(a,b,c\)为整数。若\(f(1)=1\)，\(f(2)=4\)，则\(f(3)\)的可能值为（）[多选题]*A.9B.10C.11D.12答案：A,B,C解析：设根为\(k\)，由\(f(1)=(1-k)(1^2+\cdots)=1\)及\(f(2)=4\)得\(k=0\)或\(2\)，对应\(f(3)=9\)或\(10\)，或\(k=-1\)时\(f(3)=11\)。9.设\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)为\(BC\)中点，\(E\)为\(AD\)上一点。若\(\angleBEC=90^\circ\)，则\(\frac{AE}{ED}\)的值为（）[单选题]*A.1B.2C.3D.4答案：B解析：等腰三角形中，\(BE\perpCE\)时，\(E\)为重心，故\(AE:ED=2:1\)。10.设复数\(z\)满足\(|z|=1\)，则\(|z^3+3z+\overline{z}|\)的最大值为（）[单选题]*A.3B.4C.5D.6答案：C解析：令\(z=e^{i\theta}\)，表达式化为\(|3\cos\theta+2\cos3\theta|\)，最大值为5。11.设\(n\)为正整数，\(\sigma(n)\)表示\(n\)的所有正约数之和。若\(\sigma(n)=2n\)，则\(n\)称为完全数。以下选项中为完全数的是（）[多选题]*A.6B.28C.496D.8128答案：A,B,C,D解析：6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496和8128均为已知完全数。12.设\(a,b,c\)为正实数，且\(a+b+c=1\)。则\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\)的最小值为（）[单选题]*A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：B解析：由Jensen不等式，函数\(f(x)=\frac{x}{1+x}\)在\(x>0\)下凸，故最小值为\(3\cdot\frac{1/3}{4/3}=\frac{3}{4}\)。13.设\(p\)为素数，\(n\)为正整数。若\(p^4\)整除\(n^3+1\)，则\(p\)的最小值为（）[单选题]*A.2B.3C.5D.7答案：B解析：取\(n=2\)，\(2^3+1=9=3^2\)，但需\(p^4\)整除，故最小\(p=3\)（\(n=8\)时\(8^3+1=513=3^3\cdot19\)）。14.设\(f(x)\)为定义在\(\mathbb{R}\)上的函数，满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)。若\(f(1)=1\)，则\(f(3)\)的值为（）[单选题]*A.6B.7C.8D.9答案：A解析：令\(y=1\)递推得\(f(x+1)=f(x)+x+1\)，求和得\(f(3)=6\)。15.设\(P\)为\(\triangleABC\)内一点，满足\(\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=120^\circ\)。则\(P\)的名称为（）[单选题]*A.重心B.垂心C.费马点D.外心答案：C解析：满足等角条件的点称为费马点，常用于最小化到顶点距离和。16.设\(a,b,c\)为正实数，且\(a^2+b^2+c^2=1\)。则\(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)的最小值为（）[单选题]*A.\(\sqrt{2}\)B.\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{9}{2}\)D.\(\frac{3}{2}\)答案：B解析：由对称性及柯西不等式，最小值为\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，当\(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)时取得。17.设\(n\)为正整数，\(\phi(n)\)为欧拉函数。若\(\phi(n)\)整除\(n\)，则\(n\)的可能值为（）[多选题]*A.1B.2C.4D.6答案：A,B,C,D解析：验证得\(\phi(1)=1\)，\(\phi(2)=1\)，\(\phi(4)=2\)，\(\phi(6)=2\)均满足条件。18.设\(x,y,z\)为非负实数，且\(x+y+z=1\)。则