2025年世少赛九年级竞赛试题完整版

2025年世少赛九年级竞赛试题完整版

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.两个质数的和为偶数，则其中一个质数必是A.2B.3C.5D.72.二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等实根的条件是A.b²-4ac>0B.b²-4ac=0C.b²-4ac<0D.b=03.相似三角形对应边的比为1:3，则周长比为A.1:3B.1:6C.1:9D.1:124.二次函数y=x²-4x+5的最小值是A.1B.2C.3D.45.从5个不同元素中选取2个的组合数是A.5B.10C.15D.206.圆的切线垂直于A.圆心B.半径C.过切点的半径D.直径7.不等式2x-3>5的解集是A.x>2B.x>3C.x>4D.x>58.sin60°的值是A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√39.因式分解x³-4x的结果是A.x(x-4)B.(x-2)(x+2)C.x(x-2)(x+2)D.x(x²-4)10.抛掷一枚均匀硬币两次，两次均为正面朝上的概率是A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5二、填空题(总共10题，每题2分)1.4和6的最小公倍数是______2.方程x²-5x+6=0的两根之和是______3.圆内接四边形的对角和是______度4.二次函数y=2x²+4x+1的对称轴是直线______5.从3个不同元素中选取2个的排列数是______6.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则cosC=______7.当x>0时，x+1/x的最小值是______8.因式分解a²-2ab+b²的结果是______9.抛掷一枚均匀骰子，不出现数字6的概率是______10.相似三角形对应边的比为2:3，则面积比为______三、判断题(总共10题，每题2分)1.1是质数2.方程x²+1=0有两个实根3.圆的直径是圆中最长的弦4.函数y=x³是偶函数5.组合数C(5,2)等于C(5,3)6.sin90°的值为17.若a>b且c>0，则ac>bc8.因式分解x²-4的结果是(x-2)²9.两个互斥事件的概率之和为110.两角分别相等的两个三角形相似四、简答题(总共4题，每题5分)1.简述二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有实根的条件及理由2.列举相似三角形的两个判定定理3.求二次函数y=-x²+2x+3的最大值及对应的x值4.计算从6个不同的球中选取3个的组合数，并说明其含义五、讨论题(总共4题，每题5分)1.某商品进价为100元，售价为x元时，销量为300-2x件，求利润最大时的售价及最大利润2.讨论直线与圆的位置关系及对应的数量关系3.判断101是否为质数，并说明理由4.有三个盒子，分别装有红球、白球、红白混合球，标签全贴错，只允许从一个盒子中摸出一个球，如何判断每个盒子的实际内容一、单项选择题答案1.A2.B3.A4.A5.B6.C7.C8.C9.C10.C二、填空题答案1.122.53.1804.x=-15.66.4/57.28.(a-b)²9.5/610.4:9三、判断题答案1.错2.错3.对4.错5.对6.对7.对8.错9.错10.对四、简答题答案1.条件是判别式b²-4ac≥0。因为二次方程的根由求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)确定，当根号内的表达式非负时，才能得到实数根；当b²-4ac=0时，两根相等；当b²-4ac>0时，两根不等。2.①两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）。3.将二次函数配方得y=-(x-1)²+4，因此当x=1时，函数取得最大值4。4.组合数为20，计算过程是6×5×4/(3×2×1)=20。其含义是从6个不同的球中选出3个，不考虑选取顺序的所有可能选法的总数。五、讨论题答案1.利润函数为L=(x-100)(300-2x)=-2x²+500x-30000，配方得L=-2(x-125)²+12500。当售价x=125元时，利润最大，最大利润为12500元。2.直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系决定：①当d>r时，直线与圆相离，无交点；②当d=r时，直线与圆相切，有一个交点；③当d<r时，直线与圆相交，有两个交点。3.101是质数。判断方法：需验证101是否能被小于其平方根（约10.05）的质数整除，这些质数为2、3、5、7。101是奇数，不能被2整除；各位数字和为2，不能被3整除；末位不是0或5，不能被5整除；101除以7余3，不能被7整除。因此101只能被1和自身整除，是质数。4.选择贴有“红白混合”标签的盒子摸球：①若摸出红球，说明该盒子实际装红球（因标签全错，混合标签不能装混合球）；则贴