2026年中考数学压轴题几何模型：《角含半角模型》

专题15《角含半角模型》

破题策略

1.等腰直角三角形角含半角

如图，在△力旗中，AB=AC,/以。=90°，点"£在比'上且N%£=45°

(1)丛BAEsAADEs△CDA

(2)Bif+CE=DE.

证明(1)易得/A/)C=/B+NBAD=/EAB,

所以△物£sAADES△CDX.

(2)方法一(旋转法)：如图1,将△力切绕点力逆时针旋转90°得到△4%连结做

则/口4N夕1445°,AF=AD,

所以△月的＞△川£(SAS).

所以应'=EF.

而CF=BD,N旌=NQ+N［四=90°,

所以/步+CC=CP+CB=EF=D必.

方法二(翻折法)：如图2,作点8关于49的对称点用连结4sDF,EF.

因为/劭升/EAC=NDAF+NEAF,

乂因为/BAR/DAF,

则/用£=/。忘,AF=AB=AC,

所以△Q1£s/\a£（sis）.

所以£尸=氏.

而"*=8〃，/DFE=/AFZNAFE=90°,

所以*+EC=勿'+EP=呢.

【拓展】①如图，在△ABC+,AB=AC,Z^f=90°，点〃在.BC上，点£在.BC的

延长线上，且N的£'=45°,则加+。'=应、

可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图:

②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△力旗中，AB=AC,点、D,E在

BC上,RNDAE=LNBAC,则以劭，“用为三边长的三角形有一个内角度数为180°

2

一/胱.

可以通过旋转、翻折的方法将如，DE,用转移到一个三角形中，如图:

2.正方形角含半角

如图1,在正方形力舒中，点、当尸分别在边8C,8上,/以445°,连结外则:

(1)EF=BE+DF;

(2)如图2,过点力作/IG_L即于点G,则4G=/〃；

(3)如图3,连结被交四于点"连结根则仍工力E

(1)如图4,将△力陟绕点力逆时针旋转90°得到△月〃/证明.

则,AI=A^

所以△力厮s△力〃?(％s),

所以EF=IF=DI+DF=BE+DF.

(2)因为△1*△/!"；AGLEF,ADVIF,

所以力6'=加.

(3)由NHAF=/HDF=45°可得4〃，F,H四点共圆，

从而/力加'=180°—/ADF=90°,

即/7〃_月反

【拓展】①如图，在正方形/耿力中，点£,户分别在边。，DC的延长线上，ZEAF=

45°,连结外MEF=DF-BE.

可以通过旋转的方法来证明.如图:

②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD中，AB-AD,/力〃N6M80°,

点E,F分别在BC、CD上，/EA六'/BAD,连结EF,则EF=BE+DF.

2

可以通过旋转的方法来证明.如图:

B

例题讲解

例1如图1,点色”分别在正方形40的边比；切上，/口p=45°.

(1)试判断阿、EF、划之间的数量关系.

(2)如图2,在四边形力及力中，NB和冲90°,AB=AD.N8+NQ180。，点公

分分别在84CD上,则当/劭尸与/物〃满足关系时，仍

有EF=BE+FD.

(3)如图3.在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形4完。已知力幺力〃

=80m,NQ60°,N4W120°,N刈Z>=150°,道路⑦上分别有景点

E,R且力氏L/!〃.〃户=40(V3-1)m.现要在公产之间修一条笔直的道路，求

这条道路用的长.〔结果取整数，参考数据：72=1.41,73=1.73)

解：(1)由“正方形内含半角模型”可得以=应斗曲.

(2)/BAD=2/EAF,理由如下：

如图4,延长⑦至点G,使得％=质连结

易证△力比也△1％(S4S).

所以AE=AG,

即EF=BE+DF=%'+DF=GF.

从而证得△47%△第T7(SSS).

所以NEAF=ZGAF=-ZEAG=-ZBAD.

22

(3)如图5,将△[跖绕点力逆时针旋转150°至△力伙7.连结"：

由题意可得N为£=60°

所以△加力和均为等腰直角三角形.

过点力作AHLDG于点、H.则

DH=—AD=A0m,AH=AD=A0\[3m.

22

而加'=40(.6—1)m.

所以NQfP=NWP=45°.

可得/(SAS).

所以筋=V'=8()m+4()(5/3-1)m^!09.2m.

例2如图，正方形/仍①的边长为a,BM、〃V分别平分正方形的两个外角，且满足乙例十

=45°.连结,依血、就

(1)与△然必相似的三角形是,BMDN=(用含有a的代数式表示)；

(2)求乙必V的度数；

(3)请你猜想线段笈从〃丫和亚¥之间的等量关系，并证明你的结论.

解：(1)AAZZ4,a1.

⑴可得翳AB

(2)由

~~ND

BMDC

所以

~BC~~DN

易证/以仁乙愀=45°,

所以△欧△〃忆.

则所以

ZMCN=360°—4BCD-/BCM-4DCN

=270°-(2DNC+4D(N)

=270°一(180°-ZPNO

=135°.

(3)BM2+DN2=MN\证明如下：

如图，将△力〃F绕点力顺时针旋转90°,得到△/1“连结成

易得力E=4M乙物£=N物八-45°,ZW=90°,

所以△力M监(SAS).

则融'=J你.

在RtZ\8四中，BM2-¥BE2=EM2

所以BM^+DN?=EMt

倒3如图，在四边形ABCD中，AD//BC,NBCD=90°,AB=BC+AD,N的445。，E

为切上一点，旦N加£=45°.若々=4,求△/!断的面积.

BC

解：如图1.过点力作"的垂线，交⑵的延长线于点£由/的6M5°,AADC=W,可

得力ZHQZ

所以四边形力加/为正方形.

从而AF=FC=4.

令BC=m,则/1Q4+勿，苏'=4一".

在.RtAAFB中,有16+(4-W)2—(4+加2

所以幽=5,BF=3.

如图2.将△力庞绕点/I逆时针旋转90°至△/1A7.

易证△月67匡△力儆

令DE=n,则位=4~n,BE=BG=3+n

4

在Rt△为％'中，有1+(4-/7)2=(3+/7)2,解得〃=一.

7

所以冽=£25.

7

进阶训练

1.如图，等边△力8c的边长为1,〃是△月旗外一点且/叱=120°,BD=CD,/地V=

60°,求△阳仰的周长.

A

△4MV的周长是2

【提示】如图，延长力C至点区使得以=则连结瓦.先证丝△物再证△物，经

△故V即可.

2.如图，在正方形力池中，连结劭，E、F是边BC,⑦上的点，ZX/F的周长是正方形力仇力

周长的一半，然、花分别与物交于秋M试判断线段阴、〃¥和朗V之间的数量关系，并证

明.

解：BW+DN=MN.

【提示】由△威尸周长是正方形/Ia力周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构

造辅助线解决问题（如图1）,证人力用心△力外；得/物A』_L/创0=4,然后，再由“等

2

腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得.

图1图2

3.如图，在△力8。中，/4⑦=90°,点〃在边/厉上，DE1BC于点E,且庞=%,点尸在

边力。上，连结跖交〃于点G,若/DBF=45°,DG=J,BE=3,求b的长.