等式与不等式的性质（五类核心）-2026年高考数学一轮复习考点讲义

专题1.4等式与不等式的性质

目录

目录......................................................1

一、5年高考•真题感悟.....................................2

二、课程标准・考情分析....................................4

【课程标准】......................................................4

【考情分析】......................................................4

【2026考向预测】..................................................5

三、知识点•逐点夯实......................................5

知识点1、比较大小的基本方法......................................5

知识点2、不等式的性质............................................5

四、重点难点・分类突破....................................6

考点1不等式性质的应用...........................................6

考点2比较大小与证明不等式.......................................8

考点3二次不等式及其恒成立问题.................................10

考点4不等式的综合问题..........................................14

考点5糖水不等式................................................18

五、分层训练.............................................21

A、基础保分........................................................21

B、综合提升........................................................26

一、5年高考•真题感悟

L（2024•北京•高考真题）已知（加），3（%，）'2）是函数），=2"的图象上两个不同的点，则（）

〈菁+当CI>\+>2%+%>

A.log?X；"B.log,-〉二-

222

V+Ve

C.log?D.Iog2———>^+x2

t答案】B

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小、指数式与对数式的互化

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设为<W，因为函数），=2,是增函数，所以0<2“<2与，即o<y<%，

?r>2町/-----忙也生也

对于选项AB：可+得”=2,即星v土+卫v>22>0,

22

根据函数y=log?x是增函数，所以1/2近产>1""牛=土装，故B正确，A错误；

对,「选J页D：例如玉=0,勺=1>则X=L%=2,

可得log?'尹•小/?1〃。」），即1。82工^<1=%+42，故D错误；

对于选项C：例如玉=-【,石=-2,则乂=3，%=；,

可得log2"^=log2t=log23—3e（—2,—l）,即log?吗&>—3=%+%，故C错误，

2o2

故选：B.

2.（2023•新课标团卷•高考真题）已知集合M={-2,-1,0,1,2},={x|x2-x-6>0）,则M1N=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为就=卜,2-工―620}=（-8,-2]33,+8）,而"={-2T0J2},

所以"N={-2}.

故选：c.

方法二：因为”={-2,-1,0,1,2},将一2,—1,01,2代入不等式_?_工_6之0,只有-2使不等式成立，所以

MlN={-2}.

故选:C.

3.（2022•新高考全国闭卷•高考真题）（多选题）若X,），满足产+），2一孙=],则（）

A.x+）*lB.x+y>.-2

C.x2+j2<2D.x2+y2>\

【答案】BC

【难度】0.65

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、条件等式求最值

【分析】根据基本不等式或者取特值即nJ判断各选项的真假.

【详解】因为必等（&*R）,由/+），2-冷,=1可变形为，（x+»_]=3盯03（亨

解得-2Kx+），42,当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B

正确；

由/+/一个=|可变形为卜2+丫2）_]=邛<三1上,解得f+y2K2,当且仅当％=y=±i时取等号，所以

C正确；

因为丁十9一工），=1变形可得[一]）+[y2=i,设4-]=gs6,¥），=sin夕，所以

1252|11

x=cos。+sin夕,y=—j=sin6^,因止匕x2+y2=cos2夕+—sin,。qsinOcos夕=1+,sin2。一一cos2夕+一

V3V33J3J333

=9+,sin（2e—£）€尼,2],所以当工=正.）,=一正时满足等式，但是_+），221不成土，所以D错误.

33I6/13」33

故选：BC.

4.（2023•全国乙卷•高考真题）设。£（0』），若函数/（x）=a'+（l+。）'在（0,内）上单调递增，则〃的取值范

围是.

【难度】0.4

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等

式

【分析】原问题等价于/'(x)=/lna+(l+a)'ln(l+a)20恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可

得(匕4之”由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数。的

取值范围.

【详解】由函数的解析式可得了'。^。7,i(^^^(^〃^。在区间他+⑹上恒成立，

则(1+a)xIn(l+«)>-ax\na,即(呼］之一EiWj在区间(“十⑹上恒成立，

=l>

故(詈)--in^L)而a+leg)，故In(l+a)>0,

|In(«+1)>-In«.”(〃+1)214/r—1.

故jo<<7<10<a<1，故-----4。<1，

0<<7<12

结合题意可得实数。的取值范围是

故答案为:

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

1.掌握等式与不等式的性质.

2.会比较两个数的大小.

3.理解不等式的性质，并能简单应用.

【5年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度

2025年新II卷，第4题,5分分式不等式的解法简单

2022年新H卷，第12题，5分掌握不等式的性质与会比较两个数的大小.较难

【2026考向预测】

高考对不等式的性质的考杳比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然

不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，

所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容.

三、知识点•逐点夯实

知识点1、比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

a>ba-b>02>1(〃，匕>0)或g<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=()(=叱0)

a<ha-h=O£<13,方>0)或£>1(小力<0)

知识点2、不等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性a>b<^>b<a\a<b<^>b>a

传递性a>bfb>c=>a>cxa<b,b<c=>a<c

可加性a>b<=>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0=>ac>bc；a>bfC<0=>ac<be

同何a>cfc>d=>a+c>b+d

可加性

同问同正a>b>0,c>d>()=>ac>bd

可乘性

可乘方性a〉/?〉()，〃£N"=>/>bn

【解题方法总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解

决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调

性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是:

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与。的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是；

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于。或1比较大

小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是辕或者因式

乘枳的形式，也可考虑使用作商法.

四、重点难点・分类突破

考点1不等式性质的应用

例1.（2025・四川成都•三模）下列四个条件中，使a”成立的充要条件是（）

A•同"B.J＞/?5

11.,.

C.D.log/＞log/

ba

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】探求命题为真的充要条件、比较指数基的大小、由不等式的性质比较数（式〉大小、由对数函

数的单调性解不等式

【分析】利用特值或者函数单调性，结合充要条件的判定可得答案.

【详解】对于A,当"-2/=1时，，＞〃不成立，故同是»〃成立的不充分条件，

反之，当〃时，冏2。＞6成立，故|。|＞人是。＞人成立的必要不充分条件，故A错误；

对于B,因为）,=«在R上单调递增，所以j＞消是的充要条件，故B正确；

对于C,当。=-3⑦=1时，成立，但〃不成立，所以人，是成立的不充分条件，

baba

当4=1,方=-2时，成立，但不成立，所以?＞,是成立的不必要条件，所以！＞,是〃＞人的

bababa

既不充分也不必要条件，故C错误；

对于D,因为yfogjX在（。,田）上单调递增，所以由log3a＞log/,得

所以log.M＞log,力是a”的充分不必要条件，故D错误.

故选：B

例2.（2025・河南•三模）（多选题）已知1%心1唱〃，c为实数，则下列不等式正确的是（）

ab八

A.B.ac2>be2C.-+->2D.a-sinavh-sin。

ba

【答案】AC

【难度】0.65

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较函数值的大

小关系

【分析】由题意可得利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可.

【详解】由题意可得。>匕>0,

A项油%单调递增，知涓〉/，故选项A正确；

B项:c=0时选项B不止确；

C项:由则£+睇=2,当且仅当.=》时等号成立，回团等号不成立，故选项C正

确；

D项:构造函数y=x-sinx,y=l-cos.r>0>团y=x-sinx单调递增，又得a-sin。>b-sinb,

故选项D不正确.

故选:AC.

【变式训练1】.（2025•北京海淀•二模）设。、b、ceR,abc/0,且。则（）

ab入bc*

A.-+->2B.-+-<2

bcab

C.2ci>b+cD.a+b>c

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.

【详解】对于A选项，不妨取。=2,b=l,。=一!，则£+2=2-4=-2<2,A错：

4bc

_bc

对于R.选对不妨设a=7»b=-2,c=-6,则-"I--=2+3=5>2,R错：

ah

对卜c选项，因为由不等式的基本性质可得2n>/?+c,C对：

对「D选项，不妨设〃=一1,b=-2fc=-2.5,则a+b=-3v-2.5=e,D错.

故选：C.

【变式训练2】.（2024•山东滨州•二模）下列命题中，真命题的是（）

A.若a>b,贝l]〃c>OcB.若，则

C.若储^尻乙则心〃D.若。+2〃=2,贝I」2"+4”24

【答案】D

【分析】由不等式的性质可判断A,B,C,利用基本不等式a+bN2而，当且仅当。=〃时等号成立，即可判

断D.

【详解】对于A,由c=0可得"二乩，故A错误：

对于B,由。>（）,K0,同v|4，可得故B错误；

对于C,若讹2之加2,且当c=0时，可得a,b为任意值，故C错误；

对于D,因为2"+4°=2"+2?空2也"•2"=zh*=4，当且仅当a=2Z?=1时，等号成立，

即2"+4〃N4，故D正确.

故选：D.

考点2比较大小与证明不等式

例3.（2025•湖南永州•三模）已知4=0.4叫。=0.3%°=0.3°,,则（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】根据指数函数y=0.3'的单调性，可以判断氏c的大小；根据作商法可得多>1,可得答案.

b

【详解】・・・尸0.3,是减函数，

0.3OJ>0.3°4,即6>c>0,

而¥=（粤产=4严>1，即

0（）.33

:,a>b>c,

故选：B

例4.（2025•北京延庆•一模）设X,）*R,且Ovxvyvl,则（）

A.x2>y2B.sinx>sinyC.4X>2vD.x+->y（2-y）

x

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求和的最小值、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较正弦值的大小、比较指

数幕的大小

【分析】特殊值法分别判断A,B,C,再结合基本不等式计算判D.

【详解】因为Ovxvyvl,

对干A：取x=[y=!，所以工2=!〈,2=4，A选项错误；

3294

对于B：取x=m，y=5,所以sinx=，<siny=①，B选项错误；

6422

对于C：取x=\,y=g,所以4、=2；<2、=2；，C选项错误；

对于D,X4-1^2J.VX1=2,当且仅当x=l取等号，所以x+,、2,

xVxx

r--|2

因为y>0,2-y>。，所以y（2-），）K：当二"=1,当且仅当），=1取等号，所以乂2-），）<1,

所以4+：>）,（2一）,），D选项正确.

故选：D

【变式训练3】.（2023•广东•二模）若〃=石+五力/=逐一3^"=&+9，则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】A

【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.

【详解】因为一地-国君与吟旦舞区>。,

所以"c.

2V62x/62V6

因为（2点+6）2—（2石-=4"一9=廊一庖>0,

月.2友+6>0,26>0,所以2。2+\/5>，所以c-b>0,所以c>/?.故a>c>0.

故选：A

,0

[变式训练4].（2025•广东广州・模拟预测）已知夕>对,4>7?.设。=log47,b=21og72+log73,c=log.25,

则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求积的最大值、作商法比较代数式的大小、运用换底公式化简计算、对数的运算性

质的应用

【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案.

【详解】由题意可得b=log712,c=log35,

因为57>3%4'°>77,所以两边取对数整理可得bg35>万,log47c亍，所以a<c

In7ln12(In7>

Xd=log7=>1b=log12=---->

4In47In7b-In41nl2

且布布五廿52二型<l^=ln7,BPIn41nl2<(ln7)2,

所以f>l，a>b,所以Z?<4<C.

b

故选：D.

考点3二次不等式及其恒成立问题

例5.(2025•陕西西安•模拟预测)已知集合A=f4?-5x—6N0},8={-3,-2,-1,0,1,2,3},则AB=()

A.{-1,-2,-3}B.{-2,—3}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先求解集合A,再根据交集的定义求出AC区.

【洋解】对于不等式V-5X-6N0,解得xW-1或入后6,即集合A={x|x«-1或XN6}.

已知8={-3,-2,—1,0,123},在集合3中满足的元素有一3,-2,-1,所以AB={-3,-2,-1].

故选：A.

例6（2024•上海奉贤•一模）己知xeR,则不等式x2-x+2>0的解集为.

【答案】R

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用二次函数的判别式的符号，判断不等式恒成立.

【详解】因为△=1一8=-7<0,所以不等式f—x+2>0的解集为R.

故答案为：R.

例7.（23-24高三上•河南•阶段练习）若命题“AwR,（/-1卜2+（〃-1»-120”为假命题，则,7的取值范围

为

【答案】(q,l

【难度】0.65

【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】根据已知条件知命题"WxwR.(储+(a—|)x-l<0〃为真命题，再分类讨论，即可求解.

【详解】由题意可知，命题"VxtR，(。2-1)/+(〃-1)犬_1<0”为真命题.

当/_1=()时，可得。=±1.

若〃=1,则有-1<0,符合题意；

若。二一1,则有一2x-lv0,解得了>一工，不符合题意；

2

—1<0q

当/7工0时，则A/「2〃2n八，解得一

A=(a-1)+4(“--1)<05

综上，。的取值范围是卜!」.

故答案为：卜!」.

例8.(2025•黑龙江齐齐哈尔•二模)若命题Wa«-1,3],泼-(2“-1b+3-4<0〃为假命题，则实数x的取

值范围为()

A.[T4]B,0,|C.[-l,0]U|,4D.[-L0)U^|,4

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、

特称命题的否定及其真假判断

【分析】等价于aV«e[-l,3].ar2-(2t7-l)x+3-«>0"为真命题.令g(a)=(/-2%-1)。+%+320,解不

8(7)20

等式即得解.

g⑶>0

【详解】解：命题“丸re[—1,3],可2-(2々-1)工+3-。<0”为假命题，其否定为真命题,

即“Dae[-l,3],ad_(2«-l)x+3-aN0”为真命题.

^•^(a)=av2-2ax+x+3-a=(x2-2x-l)a+x+3>0,

则下一8°,即卜"FAC。

AJU（3）>0[3X2-5X>0

-1<X<4「1

解得.5ilV-.八，所以实数”的取值范围为[T，°]*4.

（3

故选：C

【变式训练S】.（202S.重庆九龙坡•三模）已知集合A7={H0VTV〃},N={Tx2_6r+SvO},若

NJM=M，则实数。的取值范围是（）

A.[5,-KC）B.（5,-KO）C.[3,+8）D.（3,-KO）

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解不等式求得N,由已知可得NqM,进而可求实数。的取值范围.

【详解】由f-6x+5<0,可得（〜5）"-1）<0,解得l<x<5.

所以N={疝<x<5},由NM=M,可得

又历={x|0<x<a},所以。25,

所以实数。的取值范围是[5,+a））.

故选：A.

【变式训练61（23-24高三上•天津北辰・期中）集合4=卜叼晦》。},8=卜-7-2训，则ACB

【答案】{L2}

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式

【分析】解不等式确定集合A6,然后由交集定义计算.

【详解】由已知A=&eZ|log/Wl）={l,2},B={X|X2-X-2<0}={X|-1<X<2},

所以A18={1,2},

故答案为：{1,2}.

【变式训练7】.（2024•广西•模拟预测）若不等式一1对xe（Yo,0）恒成立，则〃的取值范围

是

【答案】

4

【难度】0.65

【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出〃的取值范围.

【详解】由不等式/>犬7_]对.丫«/0)恒成立，

可转化为。〉三二对xc(F0)恒成立，即八「二；7),

11./1、25

IflJ-------=;---+1=-(-+—)+-，

xx*xx24

工=一2时，一(L+孑+=彳J*最大值：，所以。

x2444

故答案为：。.

4

【变式训练8】.(2025•辽宁鞍山•二模)已知当x>0时，不等式:」—-+]6>0恒成立，则实数用的取

值范围是()

A.(-8,8)B.(—oo,8]C.(YO,8)D.(8,+oo)

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

【分析】先由Y-"ir+16>0得"?<x+3，由基本不等式得x+3?8,故〃?<8.

XX

【详解】当x>0时,由f一〃nr+16>0得〃<1x+上，

x

因工>0,故工+差226^=8,当且仅当4=修即x=4时等号成立，

因当x>0时，〃?<x+3恒成立，得〃z<8,

X

故选:c

考点4不等式的综合问题

r=卜卜'=7^了｝,则A[8=()

例9.（2025•福建泉州•模拟预测）已知集合人二5一三工。HB

x-l

A.[0,1]B.[0,1）C.[-1,1]D.[-1,1）

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】首先将集合A8中的不等式的解集求出来，然后求Acb.

Y

【详解】对于集合A,--<0,解得04工<1.

x-1

对产集合B,I-》？。,解得一14x41.

所以集合A="|041<1}‘集合B=

所以Ac4={x[04x<l}.

故选：B.

2r+l

例10.（2025・北京•模拟预测）不等式「二个的解集为_____.

3x-3

【答案】（YO,1）34”）

【难度】0.85

【知识点】分式不等式

【分析】先化不等式为卢之20,根据分式的符号得到不等式等价于（丫-3）,0,解不等式组即可

3x-3134-3工0

求解.

【详解】由生匚力得至2_区（），即2戈+1-3'+34。,

3x-33x-33x-3

整理得：券即手420，

3x-33x-3

即卜?解得一

3工一3工0

7丫4I

故不等式尹r1的解集为（_oo/）34,s）.

3x-3

故答案为：（-00,1）34，*0）

例11,已知/(同=加+(〃—2*+伍，当xe[l,2]时，|/(x)归f恒成立，则。的最大值为()

A.6夜+9B.9五+9C.90+12D.15a+15

【答案】A

【分析】转化问题为l«at+b+乌43,恒成立，令g(%)=x+4,XG[1,2],结价导数分析其单

X'X

L

调性，从而求得最值，可得14苧。+匕43，叱(1+血)。+万<3,进而结合不等式的基本性质求解即可.

【详解】由题意，即仅-2)/+收〃卜/,大4]，4恒成立，

即-JC<(^+(b-2)x2+\/2a<x2,

即一】<(ix+b-2A---—<I,

x~

即]<ax+b+^^-<3-

x~

令g(x)=x+,,xe[l,2],

则什g1,

令/(力=0，得x=V5，

当了e[l,立)时，g'(x)<o,g(”单调递减；

当”e(a,2]时，g'(x)>0,g(H单调递增.

乂g(i)=i+应，g⑵=2+孝,g(V5)=^^，

且]+近_(2+4]=^|^>0,即g(l)>g(2),

\/

所以g(x)的最小值为g(拉/半，最大值为g(l)=l+VT

由l<ag(x)+〃<3知，+1<(1+X/2)<7+Z?<3,

则¥研（1+@=°,解得州=3&+4,〃=-（3&+3卜

m+7?=1

所以〃=0&+a+b-（3五+3）（1+正）4+0,

因为亭a+bW3,14（1+夜）。+〃<3,

所以3夜+4.3上+。+小9向12,

_（9&+9卜-（3向3）[（l+0）a+b<-（3x/2+3）,

则一6人一5«(3夜+4)j与a+b

-卜忘+3）（l+&）a+b«6、5+9,

即-6&-5W〃46&+9，

所以b的最大值为6贝+9.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于将问题转化为14数+8+•43,工41,2丁恒成立，进而结合导数分析

其最值，最后结合不等式的基本性质求解.

【变式训练9】.(2025•黑龙江大庆•模拟预测)若集合4={Mlog,x<2},8={乂三47卜则A'8=()

A.（0,1]B.[1,4]C.（1,4]D.[0,5]

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、由对数函数的单调性解不等式

【分析】先解对数不等式得出集合4,再计算分式不等式得出集合以即可求解交集.

【详解】集合从=310g2x<2}={xK)<x<4},

B-'x\<-11=1AIA*={x|l<x<5),

则Ac8=[1,4].

故选：B.

函数/（工）=栏[的定义域为

【变式训练10】.

【答案】（一3』

【难度】0.94

【知识点】具体函数的定义域、分式不等式

【分析】由根式函数定义域的求法得到二20,再转化为八利用一元二次工等式的解法

3+x[X+3H0

求解.

【详解】由吴之0,得忙叱+3）"。,解得一3KL

3+x[x+3w0

所以函数/（力=后应的定义域为（-3』.

故答案为；（3,1].

I1o

【变式训练11】.（2025•黑龙江佳木斯•三模）已知方+本=；,12>0力>0）,则下列结论不正确的是（）

A.a+b>2>/3B.、+乂空C.a2+b2<6D.ab>3

ab3

【答案】C

【分析】选项A,将。+力平方后与4+3相乘，化简后利用基本不等式可求出最小值；选项B,利用不等

a'b~

式2（/+/）2（工+丁产可求出2_+_[的最大值；选项C和D,将选项与题设条件相乘，化简后利用基本不等

ab

式可求出最小值.

【详解】对于选项A,（。+〃）-+（■）=（"+2"+〃）（5+/）

=1+1+4+却竺+网>2+27?+2石=8,

a-hlah

当且仅当耳=£且竺=当即a5=G时，等号成立，

a~b-ab

2

^tt（a+b）>—^—-=\2r

所以,711,a+b>2j3,

滔b2

故A正确；

对F选项B，因为+表）_（：+:J=（/_：j之o,

当且仅当£=石即〃=人=6时'等号成立‘

所以之0,解得（）＜J_+_LK2叵,

3\ab）ab3

故B正确;

对于选项C,因为（/+）吟+22+20=4,

当且仅当4=g即a=b=G时，等号成工

a-b~

.a2+b2>i4i=6

所以1.i，

7aV

故c错误；

对于选项D,因为曲+*之20=2,

（＜rb~Jab

当且仅当2=?即a=b=JJ时，等号成江，

ab

7、2a

所以〃心丁〒=3,

7+记

故D正确；

故选：C.

考点5糖水不等式

例12.（2024高二下•湖北•学业考试）己知。克糖水中含有。克精使＞。＞0）,再添加机克糖（〃z＞0）（假

设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（）

a+mab+mb

A.---------<-B.--------<一

bbaa

a+mah+inb

>D.-------->-

•b+m~ba+ma

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】根据题意建立不等关系即可.

【详解】由题意可知糖水原浓度为和加糖之后的浓度为需

则有小

故选：c

例13.（23-24高三上•河南•阶段练习）已知。克糖水中含有。克糖屹＞。＞0）,再添加，〃（〃2＞0）克糖（假设

全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（)

min〜a+ma

A.bm>(unB.b+m>a+inC.—>—D.------->-

abb+mb

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小

【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了,所以糖水变甜了.

【详解】原糖水的浓度%，加入糖后糖水的浓度为松，加入糖后糖水浓度变大「，

,,a+ma

所以,>石

故诜：D

【变式训练12】.。克糖水中含有。克糖，糖的质量与糖水的质量比为这个质量比决定了糖水的甜度,

a

如果再添加/〃克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为

矣河g八。，…），这个不等式趣称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是（）

lg7+lgll二lg7।Igll

A.log5<log10B.

8l6l+lg7+lglll+lg7l+lgll

g.V7-2岳6+2

rD.

c7FT<讨73V3+2

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、运用换底公式化简

计算

【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得.

【详解】对于A,由它怆5』g2＞。得，皿喂＜黑吃黑印吗J。，故A正确;

lg7,IgHlg7IgH/X7+Igll

对干B,因为，故B错误;

l+lg71+lglll-lg7+lglll+lg74-lglll+lg7+lgll

对于c’由题得券=蛊忌＞彩'故c错误,

对于D,由糖水不等式得牢＜夕2,所以岑＞与Z,故D错误.

V5V5+2V3V3+2

故选：A.

【变式训练13】.（多选题）（2024•安徽淮北•一模）已知〃，b,csR,下列命题为真命题的是（

A.若a>b>c,则4+/?>CB.若4>〃>同，Mcr>h~>c2

C.若avbvcvO,贝D.若a>〃>c>0,IjIiJ-<

abaa+c

【答案】BD

【分^5】

利用举反例和不等式得性质进行判断.

【详解】当人为负数时A可能不成立,例如-2>-3>T但-2+(-3)>-4是错误的.

因为。>b>同之0根据不等式性质可得a2>b2>c2正确.

因为。<8<0,所以二>0,所以7Vbi<o即:<L<o所以:>£>0故c错误.

anababbaba

,「…bb+cab+bc-ab-acc(b-a)

因为所以-------=-----7-------;=-7-----;<。，

aa+ca(a+c)a(a+c)

所以正确.

aa-\-c

故选：BD

五、分层训练

A基础保分

1.(2025・陕西西安•模拟预测)已知集合4={#2-5、-6训，B={-3,-2,-l,0J,2,3},贝ij4rA=()

A.{-k-2,-3}B.{-2,-3}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先求解集合A,再根据交集的定义求出AC8.

【详解】对于不等式x2—5X—6N0,解得X4—1或XN6,即集合A={x|xWT或xN6}.

已知3={-3,-2,-1,0,1,2,3},在集合4中满足xW—1的元素有一3,-2,-1,所以AB={-3,-2,-7}.

故选：A.

2.(2025•浙江•模拟预测)已知集合.={川-1。"},«=则AcB=()

A.[3,4]B.[-l,0)v[3,4]C.(e,0)53,+8)D.[-1,0)

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、分式不等式

【分析】首先求出集合8中的不等式的解集，然后求集合的交集.

3

【详解】因为集合8=川；<1「所以

当了>0时，x>3；当x<0时，不等式恒成立，

所以8={%次23或xvO}.

所以AC8=[-1,0)33,4].

故选:B.

3.(2025•四川成都•三模)下列四个条件中，使成立的充要条件是()

A-\a\>hB-

c.—>—D.log«>log,/?

ba3

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】探求命题为真的充要条件、由对数函数的单调性解不等式、比较指数暴的大小、由不等式的性

质比较数(式)大小

【分析】利用特值或者函数单调性，结合充要条件的判定可•得答案.

【详解】对于A,当。=-2/=1时，心〃不成立，故同是成立的不充分条件，

反之，当心。时，时成立，故同>〃是武力成立的必要不充分条件，故A错误；

对卜B,因为y=f在R上单调递增，所以%是的充要条件，故B1E确；

对FC,当。=-3*=1时，成立，但。>人不成立，所以?》，是匕成立的不充分条件，

baba

当。=1,〃=一2时，人成立，但!不成立，所以是〃”成立的不必要条件，所