等腰三角形中构全等技巧 培优练习-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第19讲等腰三角形中构全等技巧

板块一构全等(一)一边一角(SA)构全等

典例精讲

题型①知等边知等角

【例】如图，在等腰4ABC中,AC=BC,D,E分别为AB,BC上一点,NCDE=NA,CD=BD,过点C作CH_LDE,垂

足为H,求证:CE-BE=2EH.

实战演练

题型②知等边隐等角

1.如图,ADJ_BC交BC于点F,AD=BC,DE1AB于点E,ZBAC+ZDAC=180°.^<iiE：DE=AB+AF.

题型3知等角隐等边

2.如图，在□力8C中，力8c于点D.P为AD上一点,E为BA的延长线上一点NPCA=/E,PE,A

C交于点F,□Z)JC+2nCFP=180、求证：FC=AP+AE.

板块二构全等(二)一等边、一互补构全等

类型1:两旁互补类型2:同旁互补

条件:AB二CD,条件:AB=AC,

[8+口。9180。.□£>+□£=180。.

*

%。

方法：AF=AD.

方去作AF=AB.

结论:△ABD^AACF.BD=CE.

结论:△AEF^ADEC,AE=DE.

典例精讲

［例I］如图.在△ABC中,D,E分别为BCAC上一点,AE=AB+EC,/DEC=/A+NAED.求证:BD=CD.

【例2】如图，在△ABC中,D,E分别为AB.BC上的点且AE,CD交于点F,若AB>BC,NB=NEFC.

(1探究NADF与NAEC的数量关系.并说明理由;

(2)若/B=2/FAC求证:AD=EC.

实战演练

如图在△ABC中,D,E分别为AC,AB上一点,DE=BC,NAED+NG180。.求证:AD二AB.

板块三构全等（三）镜面角构全等

类型1:直角镜面

类型2：非直角镜面

条件:AC±BC,ZABC=ZDBE.

条彳牛：3ABC=UDBE

A

方法：沿CE翻折.口。8£至UFBE.

F

C/E

方法1：延长DB,AC交于点F.^\C>

F

方法2:作点B关于AC的对称点M.

典例精讲

【例1】如图在△ABC中,.AC=BCQ/CB=90,D为BC的延长线上一点，BEDA交DA的延长线于点E,

NCAD:/BAE.求证:AD=2BE.

【例2】在△ABD中,E为BA的延长线上一点点F在BD上,NDEF=NDAF,NAFB;NEFD,求证:DA=DE.

D,

实战演练

如图，在△ABC中,AC=BC,/C=9（r,D,E分别是AC,AB上一点/ADE=NBDC,过点E作EF_LDB交BC于

点F.

⑴求证:NAED=NFEB;

(2)求证:BD=DE+EF.

板块四构全等（四）“十字架”构全等

类型1作垂线构内K

类型类型2作垂线构双全等类型3补短构全等

全等

盘8，员

图形

D\/B

AB

NMD

ZACB=90°,AC=BC,ZACB=90°,E为BC的中点,AC=B□ACB=90。,/!C=BC,BE=C

条件

CDJ_AE,垂足为H.C.CD1AEF.

作BM1BC交CD的延长线于点延长EC至点M,使CM=

方法作BN1CD于点N.

M.BE,

结论△ACH^ACBN.△ACE^ACBM,ABDEg△BDM.EF±CD«CD=EF.

典例精讲

【例】如图.在△ABC中.AC=BC,NCAB=NCBA=45。,点M为线段BC上一点，过点C作CD_LAM交AB于

点D,在BC上取一点N使CN=BM.连接DN.求证：DAMCjDNB.

实战演练

1.如图.在△ABC^,AC=BC,ZACB=90°,D为AC上一点,DE_LAB于点E,过点D作.DFQEC交BC于点F,

若DF二CE.求证:AD=2FB.

2.如图,NCAB=NCBA=45o.M.N分别是CB.BC的延长线上一点,过点C作AM的垂线分别交AM.AB于点O,

D,NM=NN.求证:CN=RM.

DB

M

第19讲等腰三角形中构全等技巧

板块一构全等(一)一边一角(SA)沟全等

典例精讲

【例】证明:在DE上截取DF=BE,连接CF.

VAC=BC,ZCDE=ZA=ZB,

又，・,CD=BD,JACDF^ADBE,；・CF=DE,

VCD=BD,AZB=ZCDE=ZDCE,

/.CE=DE,/.CE=CF,

VCH±DE,/.FH=EH,

ACE-BE=DE-DF=EF=2EH.

实战演练

1.证明:在DE上截取DM二AB.连接AM.

VAD1BC,DE1AB,/.ZD+ZDAB=90°,ZB+ZDAB=90°,/.ZD=ZB.

VAD=BC,DM=AB,:.AADM^ACBA,

；・AM二AC,ZAMD=ZBAC.

VZAMD+ZAME=180°,ZBAC+ZDAC=180°,

；・ZDAC=ZAME.VZAFC=ZAEM=90°,

ACAF^AAME,/.AF=ME,

・・・DE=DM+ME=AB+AF.

2.证明:在CA上截取CM=AE,连接BP,PM.

VAB=AC,AD1BC.ABD=CD,ZABC=ZACB.

VADIBC,APB;PC,JZPBC=ZPCB,

・•・ZABC-ZPBC=ZACB-ZPCB.BPZABP=ZACP.

ZACP=ZE,AZE=ZABP,/.PE=PB=PC.

VZPCM=ZE,CM=AE,

・•.△PCMPEA,.*.PM=AP,

；・ZDAC=ZPMA.VZDAC+2ZCFP=180°,

.\ZPMA+2ZCFP=180o.

ZPMA+ZCFP+ZMPF=180°,

/.ZCFP=ZMPF,/.MF=PM=AP,

ACF=MF+CM=AP+AE.

板块二构全等(二)一等边、一互补构全等

典例精讲

［例1］证明:延长AB,ED交于点F.过点B作BM〃AC交EF于点M.

•・•ZDEC=ZA+ZF,ZDEC=ZA+ZAED,

/.ZF=ZAED,/.AE=AF=AB+BF.

VAE=AB+EC,ABF=EC.

BM〃AC,ZAEF=ZBMF.

ZF=ZAEF,.\ZF=ZBMF,

.*.BM=BF,ABM=EC.

BM〃AC,，ZBMD=ZDEC.

•・•NBDM二NCDE,J△BDM也ACDE,/.BD=CD.

【例2】解:(1)•・•NB:/EFC,NEFD+ZEFC=180°,

r.ZEFD+ZB=180°.

•/ZBDF+ZBEF+ZB+ZEFD=36O°,

.,.ZBDF+ZBEF=180°.

ZBDF+ZADF+ZBEF+ZAEC=180°+180°=360°,ZADF+ZAEC=I80°；

(2)延长CD至点N,连接AN,使AN=AD,/.ZN=ZADN.VZADF+ZADN=180°,ZADF+ZAEC=180°,/.NAD

N=NAEC,

；・ZN=ZAEC.VZEFC=ZB=2ZFAC,ZEFC=ZFAC+NFCA,

:.ZFAC=ZFCA.；・FA=FC.

ZAFN=NCFE,/.△AFN丝ACFE,

AAN=EC.VAN;AD,:.AD=EC.

实战演练

证明:在AC上取点F,使BF=BC,.，.ZBFC=ZC.

,/ZBFC+ZBFA=180°,ZAED+ZC=180°,

AZAED=ZAFB.

,:BF=BC,DE=BC,BF=DE.

,/NA-NA,/.AABF^AADE,/.AD-AB.

板块三构全等（三）镜面角构全等

典例精讲

［例1］证明:延长CA,BE交于点N,

/.ZNAE=ZDAC=ZBAE,

VBE±DA,AZAEN=ZAEB=90°,

VAE=AE,A△ANE@△ABE,Z.NE=BE.

•.*ZACD=ZAEN=90°,ZDAC=ZNAE,

-•-ZN=ZD.

ZACD=ZNCB=90°,AC=BC,

/.AACD^ABCN,Z.AD=BN=2BE.

【例2】证明:延长AF至点M.使点FM二EF,连接DM.

'：ZEFD=ZAFB=ZDFM,DF=DF,

・•・△DEFgADMF,DE=DM,NDEF=ZM.

*/ZDEF=ZDAF,ZM=ZDAF,

r.DM=DA,.\DA=DE.

实战演练

证明:⑴•・•EF_LDB,・•・ZEFB+ZDBC=90°.

ZC=90°,.\ZCDB+ZDBC=90°,

・•・ZEFB=ZCDB=ZADE.

VAC=BC,ZACB=90°,，ZA=ZABC=45°.

VZAED+ZADE+ZA=ZFEB+ZABC+ZEFB=180°,AZAED=ZFEB;

（2试点B作与DE的延长线交于点M,

ZMBC=90°,.\ZMBE=ZMBC-ZABC=45。，

AZMBE=ZABC=/A=45。,工AC〃BM.

■:ZMEB=ZAED=ZFEB,EB=EB.

•••△MEB丝ZXFEB,

；・EM=EF,ZM=ZEFB=ZCDB.

VAC//BM,ZDBM=ZCDB,ZM=ZDBM,

ADB=DM=DE+EM=DE+EF.

板块四构全等（四）“十字架”构全等

典例精讲

【例】解过点B作BGJ_BC.交CD的延长线于点G.

VAM±CD,ZACB=90°,

/.ZACG+ZCAM=90°,ZACD+ZBCG=90°,

.••/CAM二NBCG,

VAC