抽象函数与嵌套函数（题型专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题03抽象函数与嵌套函数

目录

!第一部分题型破译微观解剖，精细教学

i

id典例引领念方法透视他变式演练

i【选填题破译】

；题型01抽象函数的奇偶性、周期性、对称性

I题型02两个混合型函数的抽象函数

I题型()3抽象函数与导数

|题型04抽象函数赋值与构造

i题型05判断零点个数

；题型()6根据零点个数求参

|第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01抽象函数的奇偶性、周期性、对称性

【例1-1］(多选)已知/(X)是定义在R上的偶函数，图象关于(1,0)对称，且当xw［0,l］时，"力单调递

减，则下列说法正确的有()

A./(0)=1B./(x+2)=-/W

C.“X)在区间［2,3］上单调递增D./(H)</(2025)

【答案】BC

【分析】首先/(0)的取值无法确定，可判断A的真假，结合/(一力=/(力和/(一力=-/(x+2),可判断B

的真假，结合函数的单调性和对称性，可判断C的真假，结合函数的周期性和单调性，可判断D的真假.

【详解】”0)的取值无法确定，故A错误；

由知/(")是定义在R上的偶函数，则/(x)=/(")，且"1)=0，

又“力的图象关于(LO)对称,贝"(r)=-f(x+2),所以f(x+2)=_〃r)=_f(x),故B正确;

由f(x)为偶函数，且x«0，l］时，/(X)单调递减，则其在［-1,0］单调递增，

又图象关于(1,0)对称，则/")在区间［2,3］上的单调性与在区间［T0］的单调性相同，

即f(x)在区间［2,3］上单调递增，故C正确；

由f(x+2)=-f(x),则/(x+4)=一/(x+2)=f(x),

故f(2025)=〃4x506+l)=〃l)=0,且3＜兀＜4,

在区间［3,4］上的单调性与在区间［TO］的单调性相同，即单调递增，

故”兀)＞0,所以/(兀)＞“2025),故D错误.

故选：BC

【例1・2】(2025高三上•浙江•专题练习)(多选)已知定义域是R的函数“X)不恒为0,满足

f(x+y)=/(x)〃y)-/(攵-"化-y)，且/(/=/(%)则()

A./(&)=oB./(0)=1

C.＞女是函数“X)的一条对称轴D.〃攵)+/(2々)+/(3%)+…+/(2025%)=0

【答案】ABD

【分析】利用代入法、结合函数的周期性逐一判断即可.

【详解】令x=o，y=A时，/")=/(0)/(攵)一/(女)〃o)=o，A正确；

令x=y=o时，f(o)=/2(o)-1便)=/2(0),解得.(0)=0或40)=1,

若"0)=Q令y=0,得〃")=/。)/(0)-/(左一%)/。)=0,

因为/(X)不恒为0,所以/(O)=l，B正确；

令/=&，可得/(x+z)=f(x)〃z)—“"x)/(o)=-〃"x)，

所以关于点化0)对称，C不正确：

因为/(1+9=-/伏一。所以/(2%)=-/(0)=-1,

令工=y=匕可得/(2Q=/2(Q_f2(o)=_in/2(A)_］=_］n/.(Q=o,

所以/(3A)=/(2A)f(A)-f(-%)f(O)=-lxO-Ox6=O,

/(软)=/(2k)/(2A)-/(—k)/(-&)=(T)2-02=i,

因为〃x+2A)=/［(x+k)+%］=/(x+k)/(+/(r)/(O)=-/(-x),

/(x+4Z)=/［(x+2A)+2打=/G+2A)〃2k)-f(t-4)〃/=-仆+2&)

=-［-〃］)］=/(力,

所以函数/(X)的周期为软，

且一个周期内/估)+/(线)+/供)+/(4可=0+(-1)+0+1=0,

因为2025+4=506……1,

所以〃A)+"2k)+f(34)+…+”20254)=506x0+f㈤=0，D正确.

故选:ABD

方收透规

1.周期性：f[x+ci)=/(x)=>T-ax/(x+6z)=-/(x)=>7=2«；

f(x-\-a)=-7-r=>T=2a}(左为常数)；f(x+〃)=/(x+Z?)=T=|a—4

Jv'-/

2.对称性：

对称轴I：f(a-x)=f(a+x)^^f(2a-x)=f(x)=>/(x)关于x=a对称；

对称中心：/(〃-6+/(〃+»=2。或者/(2〃-6+/(6=2力=>/(工)关于(〃/)对称;

3.如果/(x)同时关于对■称，又关于(Ac)对称，则/⑴的周期7=,一耳

【变式1・1】(2025高三上•湖北黄冈•专题练习)(多选)已知定义域为R的函数/*)在(T0］上单调递减,

/(l+x)=/(l-x),且图象关于(2,0)对称，则()

A./(O)=/(-2)B./G)的周期丁=2

C./(x)在(2,3)上单调递增D.fW满足/(2025)>/(2026)>/(2027)

【答案】AC

【分析】根据条件，研究函数/(')的性质，逐项判断即可.

【详解】在/。+力=/(1一”中，令x=l，可得〃2)=〃0),

又f(l+x)=〃17),所以函数/(x)的图象关于直线x=l成轴对称，所以〃K)"(2T).

由函数/(力的图象关于点(2,0)对称，所以/(司=-/(4-».

所以——/(2一力.

用、代替t，可得/(4+»=_〃2+力,

再用x代替x+2,可得/(1+2)=-/(切，

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

因为〃x+2)=—/(%),所以2不是函数”力的周期.故B错误;

因为f(2)=f(2-4)="-2),且42)=/(0),所以f(0)=〃-2),故A正确;

设2<X]v修v3,则一1<2—<2—玉v0,

因为/(1)在(TO)上单调递减，所以/(2-f)>/(2—%),

乂f(2—』)=/(七)，〃2—内)=〃％),所以所以函数/("在(2,3)上单调递增.故C正确;

X/(2025)=/(4x506+l)=/(l),/(2026)=/(2),/(2027)=/(3).

在f(x)=—“4—x)中，令x=2得：/(2)=-〃2)=/(2)=0,

因为函数周期为4,所以/(-2)=/(2)=0,由A选项可得，〃O)=O.

在f(x+2)=—〃x)中，令*=1，可得"3)=—/⑴=/(1)+/⑶=0.

又，(3)=/(-1),但根据题意，函数/(可在(T0］上单调递减，而非在［TO］上单调递减,

所以/(-1)的符号无法确定，故/(1)与/(3)的大小无法确定.故D错误.

故选：AC

【变式1・2】(多选)已知函数)，=/(刈是定义在R上的偶函数，且满足/(x)+/(x+l)=L若/(-1)=-，

则下列说法中正确的是()

A./(»)=|B./(x)的周期为2

(II

C./(2023)=1D.7'(X)的图象关于小中心时称

【答案】ABD

【分析】利用抽象函数的奇偶性，对称性，周期性求解即可.

【详解】因为函数y=/(x)是定义在R上的偶函数，且满足/(h)+/(x+l)=l.

所以=；，

令广一1得/(T)+/(O)=1，所以〃0)=，故A正确.

因为/(x)+/(x+l)=l…①，所以/(x+l)+/(x+2)=l…②

①一②得：/(x+2)=/(x),所以/(1)的最小止周期为2.故B止确.

/(2023)=/(2xl011+l)=/(l)=-1.故C不正确.

由f(x)+j(x+l)=l得f(T)+〃X+l)=l,

所以小)图象关于段)中心对称.故D正确.

故选：ABD.

【变式1・3](多选)已知函数/⑶的定义域为R,若函数f(2x+l)为奇函数,且=〃江则()

A.7")对称中心是(J,。)B.函数“X)的周期为4

2023

C."3)=0D.若£/(k)=l,则〃0)=-1

【答案】BCD

【分析】根据奇函数的性质得到〃2戈+1)=-〃1-2力，由条件/(4-力=/(同结合函数的对称性和周期性

的定义得到函数一("的周期为4,且/⑴+/(2)+/⑶+/(4)=0,/(0)=-/(2),即可求解.

【详解】因为函数/(力的定义域为R,且函数/(2x+l)为奇函数，

则.3+1)=-/。-〃),即函数/(力关于点(i,o)对称；

所以有/(力二一/(2-x)①，

又f(4-x)=/(x)②，所以函数f(x)关于直线x=2对称，

则由②得:/(3)=/(4-1)=/(1)=0,/(0)=/(4-0)=/(4),

所以/(0)+/(2)=〃2)+〃4)=0,则/⑴+〃2)+/(3)+〃4)=0

又由①和②得—)=-/*2),得〃力=

所以f(x+2)=—/3=/a—2),BP/(x)=/(x+4),

所以函数的周期为4,

2023

则£/伏)=505[/(1)+/(2)+〃3)+〃4)]+*1)+/(2)+/(3)=/(2)=1,

c=l

所以/(。)=一/(2)=-1,

所以A错误，BCD正确.

故选：BCD

题型02两个混合型函数的抽象函数

辑网引发

【例2/】(25-26高三上•江苏南京•期中)(多选)已知定义在R上的偶函数””和奇函数g(x)满足

/(l+x)+g(—x)=l,则下列说法正确的是()

A./⑴=】

B.g(x)的图象关于x=-l对称

c.g(x)是以2为周期的周期函数

2025

D.Z/(2A+1)=2025

*=|

【答案】ABD

【分析1利用赋值法，结合奇函数的性质，可判断A的真假；探索g(x)与g(-2-x)的关系，可判断B的真

假:探索g(x+2)与g(x)的关系，可判断C的真假;根据函数的奇偶性可得f(x)+/(x+2)=2,结介/⑴=1,

可得/(24+1)=1,可判断D的真假.

【详解】因为g(1是定义在R上的奇函数,所以g(r)=-g(»,且g(0)=0.

是定义在R上的偶函数，所以/(T)=/'(X).

对A：因为〃l+x)+g(T)=l,令x=0得，/(l)+g(O)=l,所以/⑴=1,故A正确;

对B：由f(l+x)+g(r)=ln〃l+x)-g(x)=lng(x)=f(l+x)-L

所以晨-2-刈=/(1-2-力-1=/(-1)-1=/(1+力-1,

所以g(H=g(-2r),所以g(x)的图象关于x=T成轴对称，故B正确；

对C：因为g(x+2)=-g(T—2)=—g(x),所以2不是函数g(x)的周期，故C错误；

对D：因为f(l+x)+g(r)=l可得优，

所以/(l+x)+/(l-x)+g(-x)+g(x)=2=/(l+x)+/(l-x)=2=/(l+x)+/(x-l)=2,

所以/(x)+/(x+2)=2.

又"1)=1,所以7(3)=1,所以"5)=1,依次类推,可得〃2々+1)=1,

2025

所以£/(2k+l)=lx2025=2025,故D正确.

hl

故选：ABD

【例2・2](多选)已知定义在R上的函数满足/(工+2)+/(x)=0,且V=〃2T)为偈函数,则下

列说法一定正确的是()

A.函数/")为偶函数B.函数/")的图象关于(1,0)对称

C./(1)=0D,函数/(力的医象关于x=l对称

【答案】ABC

【分析】根据抽象函数的周期性、奇偶性和对称性，依次判断选项即可.

【详解】A：由函数y=〃2-x)为偶函数,得/(2-x)=/(2+x),

由f(x+2)+f(x)=0,得/(x+2)=—/(x),则，x+4)T(x+2)=f(x),

所以函数/(")的周期为4,由/(2—x)=/(2+X),

得f(r)=/(x+4)=/(x),所以函数/(x)为偶函数，故A正确:

B：由函数y=/(2-Q为偶函数,得〃2-x)=/(2+x),

又f(x+2)=-f(x),所以/(2—x)=/(2+x)=-/(A),

故函数/*)的图象关于点。，0)对称，故B正确；

C：由/*+2)=-/(箝知/⑴=—又/⑶为偶函数,所以/⑴=/(一1),

所以〃1)=一/⑴，得，(1)=。，故C正确；

D：由函数y=/(2-x)为偶函数.得f(2-x)=/(2+x).

函数八刈的图象关于直线x=2对称，故D错误.

故选：ABC.

方收电视

求抽象函数在特定点的函数值，最值以及解析式，或判断函数的单调性，奇偶性及周期性，往往在条件等

式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用。

【变式2・1】(多选)已知函数/1X)与g(.r)的定义域均为R,且/*+l)+g(x—2)=3,/(x—l)-g(—x)=l,

若g(2x-l)为偶函数，则()

A.函数g。)的图象关于直线I=-；对称B.以0)=1

2027

C.函数/*)的图象关于点(1,2)对称D.，＞(幻=2027

*=!

【答案】BCD

【分析】根据函数的对称性、周期性、函数值等知识确定正确答案.

【详解】A选项，g(2x-l)是偶函数，图象关于x=0对称，将g(2x-1)的图象的横坐标放大为原来的两倍,

得到g(x-1)的图象，则g(x-1)是偶函数，图象关于直线x=0对称；将g@-1)的图象向左平移1个单位长

度，得到以幻的图象，则以")的图象关于直线x=T对称，A选项错误；

B选项，由/(x+D+g(x-2)=3,以x-2替换工得/'(xT)+g(x-4)=3,

/(x-l)-g(-x)=L

由得g(D+g(r)=2,

/(-l)+g(x-4)=3,

令x=2得2g(-2—)=1,

由千网x)的图象关于直线x=-l对称，所以g(0)=g(-2)=l,B选项正确;

C选项，由fd)-g(r)=l,以—x+2替换x得/(l-x)—g*—2)=l,

]/(x+l)+g(x-2)=3,

1||/(l-x)-.g(x-2)=l,得f(l+x)+/(D=4,

令工=0得2/(l)=4J(l)=2,所以『3的图象关于点Q2)对称,C选项正确;

D选项，g(x)的图象关于直线x=-1对称，g(-2+x)=g(f),由g(D+g(r)=2,g(D+g(x_2)=2,

以x+4替换x得g(x)+g(x+2)=2,所以g(x+2)+g(x+4)=2,g(x)=g(x+4),

g(外的周期为4,g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=4,g(2)=g(-2)=1,

2027

Zg(»=[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]x506+g⑴+g(2)+g(3)=4X506+2+1=2027,D选项正确.

hl

故选：BCD.

【变式2・2】(多选)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,g(x+l)+f(l-x)=l,/(x+l)-g(x+2)=l,

且P=/(x)的图像关于直线x=l对称，则以下说法正确的是()

A./(X)和g(%)均为奇函数B.VxeR,/(x)=/(x+4)

C.DxtRg(x)=g(x+2)D.=°

【答案】BCD

【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.

【详解】对于B,由/(%+l)-g(x+2)=l,得/*)—g(x+l)=l,

又g(x+1)+/(I)=1,.•J(x)+-X)=2,

vJ=fW的图象关于直线X=1充称，/./(I7)=/(I+X),

:.f(x)+/(I+x)=2,/.f[x+2)+/(I+x)=2,

.•J(x)=/(x+2),则/(力是周期函数，且周期为7=2,

所以f(x)=/(x+4),故B正确;

对于A,・・・丁=/(幻的图象关于直线x=l对称，

JX-X)=/(2+x),/./(x)=f[-x\f(x)是偶函数,

若/1⑶为奇函数,则〃")=0恒成立,不满足f(x)+/(l+x)=2,故A错误；

对于C由/(x+l)―g(x+2)=l,得g(x)+/(2—x)=l,

g(x)+/(幻=1,g(2+x)+/(2+x)=1,

因为/(x)=/Ci+2),贝IJg(x+2)=g(x),

所以g(x)是周期函数，且周期为7=2,则g(x)=g(x+2),故C正确;

对于D,由/(x)+/(D=2,得吗)=1，

rhg*)+/(x)=i,得g-3+/(一5=、.4-3=°，故D正确•

故选：BCD.

【变式2・3】(多选)已知函数/⑴送。)的定义域均为RJ*+l)+/(x-l)=/(x),g(x+2)是偶函数,

/(©+g(x+2)=2,g(3)=l,则()

A./(D=lB./*)是奇函数

C./(x)=/(x+6)D.x=3是/(x)的对称轴

【答案】ACD

【分析】根据函数的基本性质，理解抽象函数的基本性质，通过特殊值和换元法判断选项是否正确.

【详解】对A,/(x)+g(x+2)=2,g(3)=1,令x=l,/(l)+g(3)=2,

解得川)=1，所以A正确.

对B,・・・g(x+2)是偶函数，.•.g(1+2)=g(T+2),

/(x)+g(x+2)=2,:.f(x)=2-g(x+2)

故f(一%)=2-g(-x+2)=2-g(x+2)=/(x),

所以/(八)是偶函数，B错误.

又寸C,・・・/(x+l)+/(x-l)=/(x)①，

可得/(%+2)+/(x)=/U+1),①式带入得/(x+2)=-/(x-1),

所以f(x+3)=-/(x),即f{x+6)=-/(.V+3)=/(A),

所以C正确.

对D,由C选选项可知/(6-x)=f(-x),由B选项可知/(-x)=/(x),

所以/(6-x)=/(X),可知x=3是/(x)的对称轴.

所以D选项正确.

故选：ACD.

题型03抽象函数与导数

舞钠引名

【例3・1】(多选)已知函数“X)及其导函数广(力的定义域均为R,记g(x)=r(x),若/⑴是奇函数,

且f(x+l)"(I)+x,则()

A./(x+4)=/(x)B./(10)=5

100

c.g(x)=g(-x)D.Zg⑻=50

【答案】BCD

【分析】由函数f(x)为奇函数以及/(x+l)=/。一"+x,即可得到/(x+4)=/(x)+2,从而判断A,赋

值代入计算，即可判断B,由〃-力=-/(耳，两边求导，即可判断C,由函数g(x)是周期为4的函数，即

可判断D.

【详解】因为/(x+l)=/(l-x)+x，令x-l=，则x=f+l,

即f(f+2)=f(T)+r+l,即f(r+2)"(T)+x+l,

又f(x)是奇函数,即/(T)=-/(X),即仆+2)fO+l,

则f(x+4)=-/(x+2)+(x+2)+l=-[-/(x)+x+l]+x+3=/(H)+2,

故A错误；

又f(0)=0,由f(x+l)=/(l-x)+x,令x=l,则〃2)=/(0)+1=1,

由f(x+4)=〃x)+2,令x=2,则〃6)=/(2)+2=1+2=3,

令I=6,则〃10)=/(6)+2=3+2=5,故B正确；

由/1(-力=-/(力，两边求导可得-r(-x)=-r(H，即g(r)=g(x),故C正确；

由A可知，/(x+4)=/(x)+2,两边求导可得r(x+4)=r(x),

即g(r+4)=g(x),所以g(x)是周期为4的函数，

又f(*+i)"(i)+%,两边求导可得/‘(x+i)=-r(iT)+i,

即g(x+l)+g(l-x)=l,令x=—l,则g(o)+g⑵=1,又g(0)=g(4),

则g(4)+g(2)=l,—则g(3)+g(T)=l,又g(-l)=g⑴，

所以g(3)+g(l)=l,即g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=2,

100

所以\>U)=25[g(l)+g(2)+g(3)+g(4)]=25x2=50,故D正确；

故选：BCD

【例3・2](多选)设定义在。上的可导函数/(4和g")的导函数分别为/'(X)和g'(x),满足

g(x)-/(l-x)=l,/(x)=^(x+3),且g(x+l)为奇函数,则下列说法正确的是()

A./(0)=0B.g(x)的图象关于直线x=2对称

2025

C./(%)的一个周期是4D.£>(&)=0

hl

【答案】BCD

【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数，(x)的图象关于点(2,0)对称，从而可得g(x)的图象关于

x=2对称，所以g(x)是周期函数,4是一个周期,可判断A、B、C项;因为g(l)=g0=。且g(2)=-g(0),

2025

所以g⑴+g(2)+N(3)+g(4)=0,所以Z8(2)=506x[g(l)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(2025)=Ml)=。，可

i=l

判断D项.

【详解】因为？(4+1)为奇函数，所以g(X十1)=一g(一X十1),

所以g(X)的图象关于(LO)中心对称，

g(x+l)=-g(-x+l)两边求导得：g<x+l)=g，(—x+l),

所以《(力的图象关于4=1对称，

因为g(x)-f(l-x)=l，所以g'("+f'(l-x)=0;

所以/(1一力+/(刈=0,又/(x)=g'(x+3),所以,(l—x)+J(x+3)=0,

所以函数g'(x)的图象关于点(2.0)对称：

所以g(x)的图象关于x=2对称，故B正确；

所以g(x+2)=g(2-x),即g(-x+i)=g(大+3),

又g(x+l)=-g(-x+l)，所以g(工+l)=-g(x+3),即g(x)=-g(x+2),

所以g(")=g(x+4),所以g(x)是周期函数,且4是一个周期,

又因为g(x)-f(lr)=l,所以/(x)=g(l-x)T,

所以/(%)是周期函数，且4是一个周期，故C正确；

因为g(x+l)为奇函数，所以g(4)过(1,0),所以g(l)=0,

令“0,代入/(x)=g(l—x)—1,可得/(0)=g(l)—1=T,故A错误；

令工=()代入g(-x+l)=g(x+3),可得g6=g(3)=0,

令工=1,代入g(x+l)=-g(T+l),可得g(2)=r(0),

又因为g(%)的周期为4,所以g(0)=g(4),所以g(2)+g(4)=0,

所以g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=0,

所以£gW)=506x[g(|)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(2025)=g(506x4+l)=g(l)=(),故D正确.

hl

故选：BCD.

方做透规

1、奇函数求导变成偶函数

2、偶函数求导变成奇函数

【变式3・1](多选)定义在R上的函数的力与g(x)的导函数分别为/'("和g'(x),若g(x)-/(3-x)=2,

/'(x)=g'(x—l),且g(—x+2)=-g(x+2),则下列说法中一定正确的是()

A.g(x+2)为偶函数B./'(x+2)为奇函数

2024

C.函数/(X)是周期函数D.Zg(&)=°

£=l

【答案】BCD

【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判

断即可得.

【详解】对A：rt]g(-x+2)=-g(x+2),故g(x+2)为奇函数，

若g(x+2)为偶函数，则g(x)=0,与条件不符，故A错误：

对B：由g(x)-/(3-x)=2,则/(力+/(3-力=0,

又r(无)=—，即ra+i)=g")=GT，

即r(X+2)—),又r(x+2)定义在R上，

故f'(x+2)为奇函数,故B正确;

对C：由g(-x+2)=-g(x+2),r(x)=g'(xT),g(x)-〃3T)=2,

所以/(x)=g(x-l)+b，则/(-x+3)=g(-x+2)+b=-g(x+2)+b,

所以g(x)-/(37)=g(x)+g(x+2)-〃=2,g(x)+g(x+2)=H2,

所以g(i+2)+g(x+4)=Z?+2,所以g(x+4)=g(x),

则函数g(力是周期为4的周期函数，函数，(“是周期为4的周期函数，故C正确；

对D：由g(x)是周期函数4的周期函数，

由g(—x+2)=-g(x+2),令x=0,贝ijg(2)=—g(2),即g(2)=0,

令工=1,则仪1)=一8(3),即g(l)+g(3)=0,

由/(工)+/'(3-x)=0,r(T+3)=g1T+2).

则g'(x)=-g1r+2),则g'(x)关于(1,0)对称，则g(x)关于尸1对称，

又g(x+2)为奇函数，即g(x)关干(2,0)中心对称，

故g(x)关于x=3对称，则g(4)=g(2)=0,

则伙)=506[g(l)+g(2)+g⑶+g(4)]=506x0=0,故D正确.

hl

故选：BCD.

【变式3・2】(多选)设定义在R上的函数，⑶与g(x)的导函数分别为广⑶和g&),若g(x)T(3r)=2,

/(A)=/(%-1),且g(x+2)为奇函数,则下列说法中一定正确的是()

A.函数g@)的图象关于x=l对称B./(x)的周期为4

2023

C.(幻=。D./⑵+/(4)=4

t-l

【答案】ABC

【分析】根据g(%+2)为奇函数,得出g(x)的图象关于点(2,0)对称,逆向思维根据导数的性质得出与

g(x-l)的关系:f(x)=g(x-\)+/n,代入g(x)-/(3-x)=2推出g(x)图象的对称轴是％=1,从而判断A,

进而得出g(x)的周期是4,这样只要得出g⑴,g(2),g(3),g(4)的值及关系即可求解判断BCD.

【详解】因为f(x)=gg1),所以/(x)=^(x-l)+m,

又g(x)-/(3-x)=2,用3-x替换x得以3-幻一/(x)=2,/(x)=^(3-x)-2,

所以g(3-x)-2=g(x-l)+m,令x=2得g(l)-2=g(l)+m,m=-2,

所以g(3T)=g(D,用x+1替换工得g(2-x)=g(x),所以函数g(x)的图象关于工=1对称，A正确；

g(x+2)为奇函数，即g(x+2)的图象关于原点对称，

图象向右平移2个单位得以幻的图象关于点(2,0)对称,以2)=0,g(x+2)=_g(r+2),又g(2-x)=g(x),

所以g(x+2)=-g(x),从而g(x+4)=-g(x+2)=g(x),

则是周期函数，4是它的一个周期，

的图象是由g(x)的图象平移变换得到，因此/(X)也是周期为4的周期函数，B正确；

gdg(3),g(2)=g(4)=0,配以g(幻(%wN*)中连续4个数的和为0,

2023

£g(Q=g⑴+g(2)+g(3)=o,C正确；

hl

f(2)=g(l)-2,〃4)=g(3)-2,所以f(2)+〃4)=g(l)+g(3)-4=T,D错,

故选：ABC.

【变式3・3](多选)已知函数/W，g(x)的定义域均为R,g。)为g(x)的导函数，且〃x)+g'(x)=1,

/(力一，(4一"=3,若g(x)为奇函数，则()

A."2)=2B.短⑼+短(4)=-2C./(-1)=/(-3)D./(T)=g<4)

【答案】ABD

【分析】根据题意分析可知g'(x)为偶函数，g'(x)+g'(4-x)=-2,且g'(力的周期为8,利用赋值法结合

题意逐项分析判断.

【详解】已知函数/(%),g(x)的定义域均为R,

因为/(x)+g'(x)=l，/(x)-/(4一力=3,

可得，(小，(4-力=_2,

又因为g(x)为奇函数，则g(力=-g(r),

可得g")=g'(r)，即g'(x)为偶函数，

贝Ijg'(x)+g'(x—4)=-2,即g'(x+4)+g'(x)=—2,

可得gM+8)+g0+4)=-2,

所以g'(x)=g'(x+8),可知g'(x)的周期为8.

对于选项A：因为g'(x)+g'(47)=-2,/(x)+/(x)=l

令X=2,则$(2)+g<2)=—2,/(2)+g'(2)=l,

可得g'(2)=-l,/(2)=2,故A正确:

对于选项B：因为g'(x)+g'(4-x)=-2,

令工=0,可得g'(0)+g'(4)=-2,故B正确；

对干选项C：因为g'(x)+g'(4-x)=-2,且g'(x)为偶函数，

则g'(-x)+g'(4+x)=-2,

令％=-1，可得g'(l)+g'(3)=-2,

又因为/(x)+g'3=i,

令工=T3,则f(T)+/(-l)=l,f(3)+/(3)=l,

可得f(T)+f(3)+g'(T)+g'(3)=2,可得/(-1)+63)=4,

但由题设条件无法推出/(-1)=/(-3),故C错误；

对于选项D：因为g'(x)的周期为8,故g，(-4)=g，(4),故D正确；

故选：ABD.

题型04抽象函数赋值与构造

典例引颔

【例4・1](25-26高三上•云南昆明•期中)若函数/(x)的定义域为R,且/(x+)，)+/(x—y)=/(x)/(>),

2026

〃i)=i,则Z/(〃)=()

**|

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】先根据题意求得函数〃工)的周期为6,再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解.

【详解】由/(x+y)+/(x—)、)=f(x)/(y),/(0=h

令y=i，^/(A；+I)+/(X-I)=/(X)/(I)=/(X),

所以〃x+2)+/(x)=/(x+l),

两式相加得，/(x+2)+f(x-l)=0,

所以/(x+3)+/(x)=0,所以/(x+6)+/(x+3)=0,

所以〃x+6)=/(x),则函数/(x)的周期为6,

因为/(x+3)+f(x)=0,

所以/⑴+〃4)=/(2)+/(5)=〃3)+/(6)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+〃6)=0,

由f(x+y)+J(x-y)=」(x)f(y)，，⑴=1，

令工=l,y=O,得/(1)+/(1)=/。)/(0)，则/(0)=2,

令x=y=l,得f(2)+f(0)=f(l)/⑴,则/(2)=T,

由f(x+3)+“x)=0,则/(3)+〃0)=0,即/⑶=—2,

而“4)+/⑴=0,则"4)=7,

2026

所以2/(A)=337x[/⑴+/(2)+〃3)+/(4)+/(5)+〃6)]+/⑴+/(2)+/⑶+/(4)

*=|

=337x0+l-l-2-l=-3.

故选:A

【例4.2】(多选)定义在R上的函数/⑺满足/(M=W(x)+MV),则()

A./(O)=OB./(-1)=0

C./(力为偶函数D./'(X)可能在(1,物)上单调递增

【答案】ABD

【分析】令x=)，=0赋值判断A；令x=)，=l和x=y=-l赋值判断B；令尸-I赋值判断C；由

f(xy)=yf(x)+xf{y}>可得")="),+D,令"工)=]n|M,求出f(x)=.日11h，判断D.

xjxyx

【详解】令x=)，=0,则/(。)=0,故A正确；

令工=y=i,则/(1)=/(1)+/(1),即/(1)=0,

令“y=_l,则/。)=一/(一1)一/(一1),Bp/(-i)=0,故B正辅；

令y=T，则〃-，)=-1(力+由-1),即f(T)=-〃x),所以f(x)为奇函数,故C错误；

当孙W0H寸，由“个)=W(x)+^(y)，可得V=40+智，

令§=则/("=如此此时/(力在(1,+8)上单调递增，故D正确.

故选：ABD.

方收电视

一般采用赋值法，01，x,-x是常见的赋值手段

陵式信称

【变式4-1](25-26高三上•福建厦门•期中)(多选)已知定义在R上的函数/(x)满足/'(x)=〃x-y)J'(y),

当工>0时，/(A)>I,/(1)=3,则()

A.43)=27B./("为奇函数

C.“X)在R上单调递增D.当x>l时，/(2,r)>2/(x)+3

【答案】ACD

【分析】对A,根据条件，通过赋值，即可求解；对B,令x=0,根据条件及选项A中结果得=；方,

从而有/(-1)工-41)，即可求解；对C,根据条件及〃r)=7七，可得〃力>0在R上恒成匕再利用单

调性的定义，即可求解；对D,根据条件得〃2"=./(力，从而将问题转化成再结合C中结

果，即可求解.

【详解】对A选项，因为/(x)=/(.L)>/(y),/⑴=3,

令工=)，=1，得/(1)=/(。>/(1)，所以/(。)=1，令x=2,y=l,得到/(2)=/(1>/(1)=9,

令％=3,y=l,/(3)=/(2)/(1)=27,所以A选项正确，

对B选项，因为/(%)=因为由选项A知因0)=1,

令工=o,得到〃o)=〃-y)，G)=i,所以/(一,')=7缶，

则f(T)=/j=g/一/0)二一3,所以f(x)不为价函数，故B选项错误,

对C选项，因为当x>0时，/(4)>1,所以当x<0时，-x>0,/(7)=7力

所以当《<()时，/(x)€(0,l),

综合可得,当xvO时，/(x)e(O,l)：/(0)=1:当x>0时，/(力«1,+8),故〃6>0在R上恒成立,

任取N<工2，则42-再>0，所以/(七一玉)>1，又/(w)>。，f(3)>0，

所以〃马)="芍=)♦(%)>/(%)，

所以/(可在R上单调递增，故C选项正确，

对D选项，因为〃x)=/(x—y)f(y),令y=r，得到/(力=/(2。/(—刈,

又由选项B知〃-刈=卡,

所以/(2"=尸(力,

所以当x>l时，/(2力>2/(力+3成立，即尸㈤>2f(x)+3成立,

也即(/(刈-3乂〃力+1)>0成立，又由C选项知〃力>。，

即f(x)>3=〃l)成立，又由C选项知““在R上单调递增，当x>l时，〃力>〃1)成立,

所以当x>l时，/(2力>2/(力+3成立，所以D选项正确,

故选：ACD.

【变式4・2】(多选)已知定义在(Y,())U(O,e)上的函数/(犬)满足/")-/()')=孕竺[，当x<0时,

/(k<0,且〃1)=2,则()

A./(2)=1

B./(x)为偶函数

c.”力在(o,y)上单调递减

D.任意％e。，存在占《。，使得/(%)+/(&)=M+W

【答案】ACD

【分析】运用赋值法，结合函数定义逐项判断即可得.

后，则有刚7(2)=耦,又刖=2,

【详解】对A：令x=l,

故2一〃2)=弩)=/⑵,即/⑵=1,故A正确;

对B：由=也则有/(>)-/6)=

2/⑻

即f(x—y)==-f(y-x),即有/(工)=一/(一力,

又定义域为(―,o)U(o,+8),故f(x)为奇函数，故B错误；

对C：令X>y>。，则有y-K〈O,町>。，-xy<0,由当x<0时，/(x)<0,

故f(y-x)<o，/(—^y)<°，则f(个‘)=一『(一人)’)>。，

即X>y>0时，W/W-/(J)=77A<0»故〃力在(。，+8)上单调递减，

八一一可

即c正确；

对D：/(%)+/(9)3+々等价于〃%)一玉=-[f(x2)-x2']f

由f(x)为奇函数，设函数g(x)=/(x)-x,

则对任意X£(Y>,o)5o,y),

都有g(r)=/(T)+x=-/(x)+x=_[/(x)7]=_g(M，

故函数g(x)=/(x)+x为奇函数，

故对任意司€。，存在占=一为£。，使/(百)一%=一[/(占)-々]，

即任意存在吃仁。，使得/(不)I/(工2)=西I修，故D正确.

故选：ACD.

【变式4・3】(多选)函数/")满足/(T)+/")=2f,/(1+A:)-/(1-X)=8X,xeR,则()

A.42)=4B./(3)+/(l)=18

C.>=/(%)一寸为奇函数D./(X+2)+/(A:)>0

【答案】BCD

【分析】利用赋值法可判断AB选项；令g(x)=/(x)-V,利用函数奇偶性的定义可判断C选项；根据已知

条件推导出/(X+2)—/(T)=8X+8,再结合/(x)+/(—)=2F以及等式的可•加性可判断D选项.

【详解】在等式〃x)+〃T)=2d中，令％=0,可得"())=0,

在等式/(l+x)—/(l—x)=8x中，令x=l,可得/(2)=〃0)+8=8,A错;

在等式/(x)+/(r)=W中，令”1,可得/⑴+/(T)=2,①

在等式/(1+耳一/(1一x)=8x中，令x=2,可得〃3)-/(—1)=16,②

①+②可得f(3)+/(l)=18,B对；

令g(x)=/(x)-d,其中xeR,则8(力+8(-工)=/(刀)+/(-*)一2*2=0,

即g(-x)=r(x),故函数y=/(》)一d为奇函数，c对；

因为〃1+可一〃lr)=8x,则/(x+2)—/[l—(x+l)]=/(x+2)—/(r)=8(x+l)=8x+8,

又因为/(X)+/(-x)=2x2,

上述两个等式相力n可得/(X十2)十/(x)二2/十8,1+8=2(1+2)2之0,D对.

故选：BCD.

题型05判断零点个数

【例5・1](25-26高三上•海南海口•期中)设函数=则方程尸⑺-甸,(力-5^=0的实数根

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