常用的逻辑用语（五类核心）-2026年高考数学一轮复习考点讲义

专题1.2常用逻辑用语

目录

目录......................................................1

一、5年高考•真题感悟.....................................2

二、课程标准・考情分析....................................5

【课程标准】......................................................5

【考情分析】......................................................5

【2026考向预测】..................................................5

三、知识点•逐点夯实......................................6

知识点1、充分条件、必要条件、充耍条件............................6

知识点2、全称量词与存在量词......................................6

【常用结论】......................................................6

四、重点难点・分类突破....................................7

考点1判断充分条件与必要条件.....................................7

考点2根据充分条件与必要条件求参数范围..........................9

考点3全称量词命题与存在量词命题的真假.........................12

考点4根据命题的真假求参数范围.................................15

考点5全称量词命题与存在量词命题的否定.........................17

五、分层训练.............................................20

A、基础保分........................................................20

B、综合提升........................................................25

一、5年高考•真题感悟

1.(2024•全国甲卷•高考真题)设向量则()

A."x=-3"是的必要条件B."x=l+G"是""/〃〃的必要条件

C."x=0〃是％_L〃〃的充分条件D.晨=-1+石〃是"〃//人的充分条件

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量垂直的坐标表示、由向量共线(平行)求参数

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当〃_]_〃时，则a-b=()，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(l,0)/=(Q2),故a/=0，

所以即充分性成立，故C正确；

对B,当〃/必时，则2(x+l)=d,解得x=i±G，即必要性不成立，故B错误；

对D,当％=-1+6时，不满足25+1)=/,所以4/4不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

VX

2.(2023•北京•高考真题)若冲±0,则"x+y=0”是"上+—=-2"的()

xy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】充要条件的证明

【分析】解法一：由f+三=-2化简得到x+)，=。即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=。得到x=-y,

代入日+上化简即可，证明必要性可由与+上=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可

yxyx

由土+2通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=0代入即可，证明必要性可由二十上通分后用配凑

yxyx

法得到完全平方公式，再把x+y=o代入，解方程即可.

【详解】解法一：

因为孙工0，且上+上=-2,

y%

所以f+），2=_2孙，lip,r+/+2^=0,即（x+y）'=0,所以x+y=O.

所以"x+y=O〃是“；+£=-2〃的充要条件.

yx

解法二：

充分性：因为孙W0,且x+y=O,所以工=一九

所以土+2=工+上=一1-1=一2,

y*）‘-y

所以充分性成立；

必要性：因为肛中0,且上+上=-2,

I

所以V+）,2=_2孙，即/+）尸+2个,=0,即（x+»=0,所以x+y=O.

所以必要性成立.

所以"x+y=O〃是讨+上=-2，，的充要条件.

解法三：

充分性：因为孙工。，且x+y=o,

所以』Iy_V+y2_下+,，2+2封―2外_"+月22外2冷，_2,

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因为孙工。，且£+上=-2,

y*

所以XIy=三+9_工2+9+2划-2冷，_（4+丁）22冲_（』+），）2?二？

yxxyxyxyxy

所以勺£=o,所以（x+y）2=0,所以x+），=0,

所以必要性成立.

所以“x+y=0〃是“三十1=-2〃的充要条件.

yx

故选:C

3.（2023・新课标团卷•高考真题）记S”为数列m｝的前〃项和，设甲：｛4｝为等差数列；乙：｛今｝为等差数

列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】充要条件的证明、判断等差数列、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第〃项的关系推理判

断作答.，

【详解】方法1，甲：几｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

mi。〃(〃一1),S”-1.dd5,l+1Snd

2n222/7+1n2

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：｛1｝为等差数列，即辿)一一为常数,设为匕

nn+1n〃(〃+1)心+1)

即二)，=，，则S〃=FT•M+1)，有Si=(〃-1)47•n(n-l),n>2,

两式相减得：q=/心田—,即4+1—q(=2z,对〃=1也成立，

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛叫为等差数列，设数列也｝的首项4,公差为d,即S.=叫+'2/,

则EL=%+"1"=2〃+4一(，因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件：

n222n

反之，乙：｛、为等差数列，即二*一」L=O,」L=S1+57)。，

nrt+1nn

即Sn=〃£+n(n-\)D,S„_t=(H-1)S)+(n-\)(n-2)D,

当〃22时，上两式相减得：S“-S.T=SI+2(〃-1)D,当〃=1时，上式成立，

于是4=«i+2(n-l)D,又a,+2nD-[at+2(n-l)D]=2D为常数,

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

4.(2023•全国甲卷•高考真题)设甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos夕=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断命题的必要不充分条件、三角函数的化简、求值一一同角三角函数基本关系

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

【详解】当siZa+sin?6=1时，例如。=],力=0但5也。+8$夕/(),

即sin?。+sin?尸=1推不出sina+cos〃=0；

当sina+cos/?=0时,sin2a+sin20=(-cosfi)2+sin2/7=1,

即sina+cos〃=0能推出sin2«+sin2/?=l.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

1.了解命题的概念，了解“若p,则q〃形式的命题及其否定.

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。

3.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

【5年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度

2024年新H卷，第2题，5分全称(存在)量词命题的否定及其真假判断简单

2024年全国甲卷，第9题，5分充分必要条件的判断一般

2023年新I卷，第7题，5分充分条件与必要条件一般

2023年北京卷，第8题，5分充分条件与必要条件一般

【2026考向预测】

从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的

题目中.重点关注如下两点:

（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；

（2）全称量词命题与存在量词命题的否定和以全称量词命题与存在量词命题为条件，求参数的范围问题.

三、知识点•逐点夯实

知识点1.充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若〃，则为真（记作〃=4），则〃是夕的充分条件；同时夕是〃的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

（1）若〃=>“且“4p,则〃是q的充分不必要条件；

（2）若〃4q且qnp,则〃是4的必要不充分条件；

（3）若〃=>“且"=〃，则〃是（/的的充要条件（也说〃和g等价）；

（4）若〃％且“%p»则〃不是q的充分条件，也不是，/的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则〃是q的充分条件，同时是〃

的必要条件.所谓“充分”是指只要〃成立，4就成立；所谓“必要〃是指要使得〃成立，必须要g成立（即如

果q不成立，则〃肯定不成立）.

知识点2.全称量词与存在量词

（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”

表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题”对M中的任意一个X,有p（x）成立”可用符

号简记为"VxeM,p（x）”,读作“对任意x属于M,有p（x）成立".

（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号T”

表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题”存在M中的一个与，使八%）成立〃可用符

号简记为“3%€M,P（X。）"，读作“存在例中元素.”,使双与）成立"（存在量词命题也叫存在性命题）.

知识点3.含有一个量词的命题的否定

（1）全称量词命题p：Vx£/W,p（x）的否定力为*）£〃，—〃（%）.

（2）存在量词命题p:玉■）e（〃（.%）的否定-p为,e.

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用结论】

1、从集合与集合之间的关系上看设4={x|p（x）}l={xma）}.

（1）若AqB,则〃是q的充分条件（〃="）,g是〃的必要条件；若A蹑B,则〃是g的充分不必要

条件，q是〃的必要不充分条件，即〃=q且夕4〃：注：关于数集间的充分必要条件满足："小=大”.

（2）若则〃是"的必要条件，夕是〃的充分条件；

（3）若A=g,则p与夕互为充要条件.

2、全称量词命题与存在量词命题真假的判断

<1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断全称

量词命题为假命题，只要能举出集合”中的一个.%,使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合加中能找到一个与使之成立即可，否则这个

存在量词命题就是假命题.

四、重点难点・分类突破

考点1判断充分条件与必要条件

例1.（2025・四川成都•三模）已知西〃wR,则“（〃?一。5-1）=0〃是“（机—1）2+|〃一1|=0〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由（〃?T）（〃T）=0.得用=1或〃=1,则（〃?一1尸+|〃一1|=0不一定成立，如，〃=1,〃=2；

由（771-1）?+1）-11=0,得。=1且n=l,则-1）=0必成立，

所以"（〃1）（〃-1）=0"是"（，〃-1）2+|〃-1|=0"的必要不充分条件.

故选：B

例2.（2025•天津和平•一模）已知awR,则“tana=1"是"a=:+履（攵eZ）〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】探求命题为真的充要条件、由正切（型）函数的值域（最值）求参数

【分析】由充分必要条件的概念判断即可.

【详解】若tana=l,则a=：+而伏eZ）,反之若a=：+Z）,则tana=l,

所以1皿。=1是。=弓+®（丘2）的充要条件.

故选：C

【变式训练1】.（2025•广东茂名•二模）设集合A={M-5x+6<0},8={4r>-2},则xeA是.8的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】判断命撅的充分不必要条件

【分析】根据已知条件，推得A是8的真子集，即可判断.

［详解］团集合A=W_5x+6<0}l={xk>_2},

A=<小>W、8={小>-2},

回A是8的真子集，

/.工cA是的充分不必要条件.

故选:A.

【变式训练2】.（2025•四川攀枝花•模拟预测）已知平面向量。=（l,x）,b=（x+2,3）,则“苏加'是"x=l"的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断命题的必要不充分条件、由向量共线（平行）求参数

【分析】由平面向量共线的坐标表示及充分条件，必要条件的定义即可得到答案.

【详解】若a/区，则有lx3-x（x+2）=0,解得户1或工=_3,

所以"a/〃「是"x=I”的不充分条件；

若1=1,则a=（1,1）,〃=（3,3）,b=3a,所以a/区,

所以“W力”是"x=l”的必要条件，

综上，W区"是"x=1”的必要不充分条件，

故选：B.

考点2根据充分条件与必要条件求参数范围

例3.（2025♦福建泉州•模拟预测）设A二卜"2Y4｝,B=｛x\x2<av）,若xwA是xw4的充分条件，则（）

A.0<a<2B.i<a<2C.a=2D.a>2

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成

立问题、由指数函数的单调性解不等式

【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合A8的包含关系即可.

【详解】由题意，得人=[0,2],因为xeA是xwB的充分条件，

所以Aq8即X/xw10.2J,A2-arWO,

已知二次函数），=/-0¥=宜X一口，开口向上，与x轴交于（。。,（40）,

仅当。22满足Yx€（0.2],x2-arWO.

故选：D.

例4.（23-24高三下•河南郑州•阶段练习）已知公比为q的等比数列｛q｝的前〃项和为S”，则满足对任意〃eN.，

S向>S“+I恒成立的一个充分不必要条件是（）

A.4>1,“>1B.q<（）,“>1C.。2>1，"1D.a2>\

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、判断命题的充分不必要条件

（分析】根据前n项和可得5向>S.+1等价于—>1,结合等比数列分析可得S向>Sfl+l等价于%>1,gN1.

结合选项分析判断.

【详解】因为S川>S.+1,等价于S”+「S”>1,等价于13>1,可得出>1,

且｛勺｝为等比数列，可得q>0,夕>0,

若Ovqvl,则％川=。闻”>1,得〃〈-log”4，

可知，当心Tog.4时,。向=4/'<1,不合题意，

所以若。向>1，可得4>0,g1，即出>1，夕21；

若%>1，夕"可得外+|>1，

所以S"|>S'+1等价于。2>1，#1.

可知：选项C是s用>sf,+l的充要条件；

选项A是S“+|>s.+1的充分不必要条件；

选项BD是既不充分也不必要条件；

故选：A.

例5.(2024・全国•一模)己知是定义域为R的奇函数，且x>()时，f(x)=-x2+cix+5-a,则”/(x)在

［-2,2］上单调递增〃的充要条件是()

A.a>-5B.-5<a<4

C.a^4D.4<«<5

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】探求命题为真的充要条件、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性求参数值

【分析】根据函数的奇偶性结合函数的单调性与二次函数的性质列不等式即可得"/(x)在［-2,2］I二单调递增“

的充要条件的。的取值范围.

【详解】因为/(6是定义域为R的奇函数，则/(。)=0,

日..r>0时./(x)=-^2+ax+5-a,

5-a>0

若/1(X)在［-2,2］上单调递增，则,解得4«a45,

12

故"/⑺在卜2,2］上单调递增〃的充要条件是“44h5

故选：D.

【变式训练31.(2025•河南•模拟预测)已知〃：|2—3x|w7；q:x?—x+-m<(m>),若4是，的充

分不必要条件，则实数，〃的取值范围是,

【答案】(0;

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式

【分析】先解绝对值不等式和含参的•元二次不等式得出〃和，/对应的等价条件，再结合是P的充分不必

要条件得到集合间的包含关系，则参数〃?的范围可求.

【详解】由〃：|2—3目47可得-742-3x47,即

由g:x?-x+-in<（m>）可得（x-2）?）,即一3〃7+2<工<3〃2+2（相>0）,

乂因为9是P的充分不必要条件，所以13切+2,3〃?+2及-1,3,(/〃>()),

-3m+2>——

3

解得〃?£((),；］,

所以3，〃+2<3（等号不同时成立）,

m>0

故答案为：(0,，.

【变式训练4】(2025•甘肃白银•模拟预测)已知〃：“/-(2〃?+33+〃广+3〃00"是叫"JT—GWO”成立

的必要不充分条件，则实数机的取值范围为()

A.(-<»,-5]VJ[3,+OO)B.(f-5)"3,+00)

C.(-5,3)D.[-5,3]

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解二次不等式分别求出口和“的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可.

【详解】因为〃：(x-〃?)2>3(犬一加)，Bp(x-m)(x-m-3)>0,

则或x>〃?+30：J-x-6W0,即一24x«3,

又P是4的必要不充分条件，则/">3或〃计3<-2,即〃7>3或加<-5.

则用的取值范围为(f5)。(3,+动.

故选：B

【变式训练5】.（2025•吉林•三模）若/，机是两条直线，d夕是两个平面，且/u/7,ar〃=m.设

pit//a,q\l//m,则〃是"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】充要条件的证明、线面关系有关命题的判断

【分析】由线面平行的性质定理和判定定理结合充要条件的判定可得.

【详解】若〃⑦/uQ,a0=m,由线面平行的性质定理可得//〃〃?，充分性成立；

相luB，ap=m,由线面平行的判定定理可得p：/〃a,,必要性成立.

所以〃是。的充要条件.

故选:C

考点3全称量词命题与存在量词命题的真假

例6.（24-25高三下•江西•开学考拭）（多选题）关于下列命题，说法正确的是（）

A.若f（x）为奇函数,则/⑼=0

B.“文之1〃是“一之『，的充分不必要条件

C.命题〃:1¥£&/一2（）24犬+2026>0,则命题〃的否定为VxwR,f-2024x+2026K0

D.已知数据87,72,75,85,87,90,75,78,86,79,则这组数据的40%分位数是78

【答案】BC

【难度】0.65

【知识点】判断命题的充分不必要条件、特称命题的否定及其真假判断、函数奇偶性的应用、总体百分位

数的估计

【分析】对于A,由奇函数的概念可判断，对于B,由Vzx得到xKO或xNi,可判断，对广c,由特称命

题的否定为全称命题即可判断，对于D,由百分位数的概念求解即可判断；

【详解】若/（"是奇函数且在x=0处有定义，则/（0）=0,A错误；

由一。得乩11）20,解得xWO或X21,所以“壮1”是“/》，，的充分不必要条件，B正确；

命题〃:1¥£1<,/一20241+2026>0,则命题〃的否定为DxeR/2_2O24x+2O260O,（:正确；

将数据从小到大排序为72,75,75,78,79,85,86,87,87,90,这组数据的40%分位数是第4个数与

第5个数的平均数，即黄二=78.5,D错误.

故选：BC.

例7.(2025・贵州毕节•模拟预测)给出下列四个命题：

①VxeR,ln(2'+l)>()；

②3XWQ,X2=2；

(3)Vxe(0,4-a?),lnA<x-l；

④函数〃x)=&cos2x的图象向左平移?个单位得到g(x)=cos2xTin2x的图象.

其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【难度】0.65

【知以点】判断命题的真假、判断特称(存在性)命题的真假、求图象变化前(后)的解析式、由对数函

数的单调性解不等式

【分析】根据全称命题和特称命题的真假判断方法，以及导数研究单调性，辅助角公式和函数图象的平移

变换等知识来逐一分析这四个命题的真假，进而确定真命题的个数.

【详解】对于VxwR,因为2、>0，所以2*+l>L

根据对数函数的性质，对数函数丁=ln/在(0,+co)上单调递增，所以ln(2x+l)>lnl=0,故命题①为真命题.

若/=2,则％=±及，&和都是无理数，不存在有理数大使得V=2,所以命题②为假命题.

令f(X)=lnX-X+l,XG(0,-K3O),对/(x)求导，可得/")=,一1=上三

XX

令f'(x)=o,np—=0,解得x=i.

X

当0<ay|时，，l-r>0,rX),所以户>)单调递增：

当.r>1时，1-x<0,x>0,所以/(*。，/(x)单调递减.

则『(%)在。=1处取得极大值,也是最大值,/(l)=lnl-l+l=O,所以/(x)K0,gpinx<x-l,故命题③

为真命题.

函数〃x)=&cos2x的图象向左平移1个单位，根据“左加右减"的原则，得到

4

g(x)=&cos2x+=及cos(2x+g).

根据诱导公式cos（a+5）

=-sina可得g(x)=&cos2x+—=->/2sin2x.

而cos2x-sin2x=sin2x=x/5cos—cos2x-sin-sin2x=5/2cos2x+—-V2sin2x,

~2)I444J

所以命题④为假命题.

综上，真命题有①③，共2个.

故选：B.

2x

【变式训练6】.（2024•陕西西安,模拟预测）已知命题P：3xwR,x-x+l<0f命题式口20,e>cosx,

则（）

A.p和q都是真命题B.r，和夕都是真命题

c.P和r都是真命题D.r?和f都是真命题

【答案】B

【难度】0.65

【知以点】判断特称（存在性）令题的真假、利用导数证明不等式、判断全称命题的真假

x

【分析】首先判断命题〃为假命题，^f（x）=e-cosxtxe[0,+a）,利用导数说明函数的单调性，即可判

断命题。为真命题，即可得解.

(1\2QQ

【详解】因为/一%+1=x—_L+->->0所以VxeR,f-x+lNO恒成立,

I2；44

所以命题P为假命题，则为真命题;

令f(x)=e'-8s;v,xe[0.+co),则r(x)=ev+sinx,

当工<0,可时e'w[l,e],sinxe[0,1],所以/'(x)>0,

当了e(7t,*o)时e<>e">2,sinxe[-1,1],所以

所以/'（x）>0对任意的xe[0.y）恒成立,所以/（x）在[0.田）上单调递增.

所以“X）之〃0）=0,即e―cosx对任意的x《0,y）恒成立，故命题?为真命题，则F为假命题;

所以力和4都是真命题.

故选：B

【变式训练7】.（2024•陕西咸阳・模拟预测）下列命题中，真命题是（）

A."a>1,6>1〃是“而>1〃的必要条件

B.Vx>0,er>2r

C.Vx>0,2K>x2

D.a+/?=0的充要条件是f=7

b

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】探求命题为真的充要条件、判断全称命题的真假、比较指数塞的大小、必要条件的判定及性质

【分析】举反例来判断ACD,利用指数函数的性质判断B.

【详解】对于A,当4=2力=1时，满足而>1,但不满足。故/>1"不是“而>1〃的必要条

件，故错误；

对于B,根据指数函数的性质可得，时于即e、>2",故正确；

对TC,当x=3时，2"<f,故错误；

对于D,当〃=。=0时，满足。+分=0，但f=T不成立，故错误.

b

故选：B.

考点4根据命题的真假求参数范围

例8.(2025•宁夏银川•二模)若命题："Da,8eR,都有a-ssQ/xcosa”为真命题，则a力的大小关系为

()

A.a<bB.a>bC.aWbD.a>b

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】根据全称命题的真假求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性

【分析】根据题目条件可得出：令题："DaSeR,都有a+cosa>〃+cos〃"为真命题；再构造函数

/(x)=x+cosx,利用导数判断其为增函数，进而可得出结果.

【详解】因为命题："Da/wR,都有a-cos〃>〃一cosa"为真命题，

所以命题：R,都有a+cosa>/?+cos〃”为真命题.

令f(x)=x+cosx,XGR.

则f'(x)=l—sinx.

因为卜in,,

所以/'（x）=l-sinxNO,

所以函数/（X）=X+8SX为增函数.

又因为a+cosa>〃+cos〃，

所以a>>.

故选：B.

例9.（2024•河南•模拟预测）已知命题"天£氏工2一郎+〃7<0”是假命题，则实数用的取值范围为（）

A.[0,4]B.（0,4）C.[0,2]D.（0,2）

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】根据特称（存在性）畲题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称命

题的真假求参数

【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“，£1<丁“a+〃*0，，为真命题.对「一元二次函数

），=--侬+小，要使其对于任意实数x都大于等于0,则需要考虑其判别式△的取值范围.

【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定-〃〃之0"为真命题.

对于一元二次函数），=42_,心+〃?，要使其对于任意实数%都大于等于0.

因为y=f-"状+〃2之0恒成立，所以△工（），即〃?2-4〃?00，解得0三根44.

故选：A.

4

【变式训练8】.（2024•陕西宝鸡•一模）命题"任意xe（l,3）,“"+一〃为假命题，则实数〃的取值范围

x

是.

【答案】（-oo,5）

【难度】0.65

【知识点】根据全称命题的真假求参数、对勾函数求最值

【分析]首先求命题为真命题时。的取值范围，再求其补集，即可求解.

【详解】若命题“任意xw（l,3）,GO+—”为真命题，则。之卜+一,

工V）max

设y=x+3,xe（l,3）,x+—>2Jx--=4,当x=2时，等号成立，

xxix

由对勾函数的性质可知，当xe（l,2）时，函数单调递减，当xe（2,3）单调递增，

/⑴=5,/⑶=3+*5,所以4G+±v5,

JX

即a25,

所以命题“任意xf（L3）,〃为假命题，则。的取值范围为（-8,5）.

.X

故答案为：（—,5）

【变式训练9工（2025・辽宁二模）命题〃:“去«-1,3],/一21-〃叱0"是假命题，则〃?的取值范围是

【答案】（一8,-1）

【难度】0.85

【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一兀二次不等式在某区间上的恒成立问题

【分析】根据题意，"为真命题，恒成立问题分离参数求解.

【详解】由题，[-1,3],幺-21-〃00为真命题，

所以〃?<彳2一2”,对xe[-1,3],

又y=一—2%在xe[-1,3]上的最小值为-1,

所以实数”的取值范围为

故答案为：（-8,-1）.

考点5全称量词命题与存在量词命题的否定

例10.（2025•天津和平•三模）命题“玉-eN,f>]，，的否定是（）

A.V人/N,B.VxfcN,x7<l

C.VxeN,x2<lD.VXGN,X2<1

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】特称命题的否定及其真假判断

【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.

【详解】命题“玉'WN,丁>]，，的否定是“心€此xz<\\

故选:D

例11.（2024・四川成都•一模）命题“3X°€R,为+'..2，，的否定形式是（）

X。

1C1C

A.ExeR,x+—>2B.x4--<2

xx

C.玉eR,X+->2D.YXWR,X+-<2

XX

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】特称命题的否定及其真假判断

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可.

【详解】解：命题“加wR,为特称命题，其否定为全称命题，

%

则否定是："xwR,x+-<2,

X

故选：D.

【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.

【变式训练10】、（2024•湖南邵阳•一模）命题“小wR.f-4x+6<0〃的否定为（）

A.eR,A;2-4x+6>0B.3xeR,x2-4x4-6<0

C.VXGR,x2-4x+6<0D.VxGR,x2-4x+6>0

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】特称命题的否定及其真假判断

【分析】根据全称命题或者特称命题的否定判断即可；

【详解】根据全称命题或者特称俞题的否定，

所以lx（=R.r2-4r+6<0fi<J^>£7vVr（=R,r2-4r+6>0,

故选：D.

【变式训练11】.（2025•云南•模拟预测）命题“DxeRd+.SNO"的否定是（）

2

A.VXGR,X+X-5<0B.3x0eR,工：+为一5<0

C.VxgR,f+x-5<0D.我任R,片+$一5<0

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.

【详解】命题"版161<一+工一520"的否定是"孙）€1<,4+毛-5<0”.

故选：B.

五、分层训练

A基础保分

一、单选题

1.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）命题“Vx>0,e'+lW3/'的否定是（）

A.3Lr<0,ev+l>3xB.3x>0,eA+l<3x

C.3Lr>0,ex+l>3xD.Vx>0»e'+l>3x

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.

【详解】命题“V%>0,e、+l为全称量词命题，

其否定为：lr>0,er+1>3x.

故选：C

2.（2025•天津红桥•二模）已知命题p：a>b>0f命题夕：2">2。，则命题〃是命题，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断指数函数的单调性

【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论.

【详解】根据题意由指数函数y=2、的单调性可知>0能推出夕:2。>2卜，

即充分性成立；

由可推出不能推出〃:即必要性不成立；

因此命题P是命题（7的充分不必要条件.

故选：A

3.（2025•天津南开•二模）已知awR,则“"。是/<2"的（）.

2a

A.允分不必要条件B.必要不允分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】求解分式不等式,<2,求得〃的范围，进而从充分性和必要性进行判断即可.

a

【详解】-<2,即a[2a-\）>0解得。<0或

aak7f2

故当。时，可以推出，<2；当，<2,推不出〃>!；

2aa2

故"a>g"是八<2"的充分不必要条件.

2a

故选：A.

4.（2025•北京朝阳•二模）设a/R,则“sin2a=3"是"tana=有”的（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】正、余弦齐次式的计算、判断命题的必要不充分条件、二倍角的正弦公式

【分析】根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切，再根据充分条件和必要条件的定义即

可得解.

【详解】由sin2c=3也*=^=正，

sin'a+cos'atan'a+12

得、万tan2a-4tana+>/3=0，解得tana=G或tana=—,

3

u-,公伯•r2sinacosa2tana2x/3V3

sin'a+cos-atan_a+13+12

所以“$皿2a=立"是"1州"=6"的必要不充分条件.

2

故选:B.

5.（2025•河北石家庄•一模）如果">0,那么“心力”是/的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】充要条件的证明、由不等式的性质比较数(式)大小

【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可.

【详解】若必>0,a>b,则6-口<0,

则,一:=二<0,即充分性成立；

ababab

若而>0,—<7>则，-？=匕^<0，

ababab

所以〃<a,必要性成立，

所以如果而>0,那么"a""是"1<?"的充要条件.

ab

故选：C

二、多选题

6.(2025•宁夏石嘴山•三模)下列说法正确的是()

A.“X=£〃是"tanx=1"的必要不充分条件

4

4

B.当x>l时，x+----；的最小值是5

x-1

C.若数列｛q｝是等比数列，则数列｛Igqj是等差数列

D.已知。为函数/(x)=V-⑵•的极小值点，则〃等于2

【答案】BD

【难度】0.65

【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断等差数列、基本不等式求和的最小值、求己知函数的极值点

【分析】利用必要不充分条件的定义判断A；利用基本不等式求出最小值判断B；举例说明判断C；求出函

数的极小值点判断D.

【详解】时于A,当工="时，tw=l,=是=的充分不必要条件，A错误；

44

对于B,当x>l时，X+—=x-l+—+1>•——+1=5,当且仅当x=3时取等号，BJE确；

x-1x-\Vx-\

对于C,取2=(-1)"，数列｛q｝是等比数列，而当〃为奇数时1g4无意义，c错误；

对于D,函数/(x)=V-12x,求导得r*)=3(x+2)(x—2),当xv-2或x>2时，

f\x)>0；当—2vx<2时，/")<(),因此-2,2分别是的极大值点和极小值点，。=2,D正确.

故选：BD

7.(2025•四川成都•模拟预测)下列说法不正确的是()

A.复数z=l-i的虚部是-i

B.若随机变量鼻〃满足〃=3。-2,则。(〃)=3。偌)-2

C.己知命题〃：,siiu-<x<taiu",则f为Zre0,^J,sin.r>x>taav

D.在一元线性回归分析中，如果，的值为-0.98,说明变量间存在微弱相关关系

【答案】ABCD

【难度】0.65

【知识点】相关系数的意义及辨析、方差的性质、全称命题的否定及其真假判断、求复数的实部与虚部

【分析】根据复数的概念判断A,根据随机变量方差的性质判断B,由全