不等式（讲义）-高中数学学业水平考试合格考试总复习（原卷版）

专题02不等式

目录

学考要求速览

必备知识梳理

高频考点精讲

考点一：不等式的性质

考点二：不等式的解法

考点三：利用不等式的解集求参数

考点四：基本不等式

战能力训练y

学考要求速览

1、通过对比,理解等式和不等式的共性与差异.

2、梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

3、结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题

4、从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个

数，了解函数的零点与方程根的关系.

5、从函数观点看一元二次不等式(I)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等

式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.(2)借

助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

6、通过二次函数与一元二次方程、不等式的联系，培养学生直观想象、数学运算的核心素养.通过一元二

次不等式的解集是R或。的含义.

1、一元二次不等式的解法:

对于一元二次方程a/+bx+c=Q(a>0),设d=b2-4ac,(当4>0时，方程两根为右,2=£)

A=b2-4acJ>0J=0AV0

y=ax2+bx+cy

\0/X

的图象A)口u

ax2+bx+c=0有两相异实根

有两相等实根/=%2=无实根

的根Xi，X2(Xi<x2)

ax2+bx+c>0(%|X<%!,或工

卜》2a｝R

的解集>X2}

ax2+bx+c<0

{x\Xj<X<x2]00

的解集

解一元二次不等式的步骤:

⑴整理好不等式,aX2+bx+c>。或Q%2+以+cV0(a>0),【系数一般化为正数】

⑵通过因式分解或求根公式确定方程a/+bx+c=0的根.

(3)画出函数y=ax2+bx+c图象后，写出不等式的解集.

2、一元二次不等式恒成立常用结论：

Wax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足弓：J

(2)a/+匕％+c>0的解集为。，则一定满足｛：;J

(3皿2+bx+c<0的解集为R,则一定满足/<J

(4)ax2+bx+c<。的解集为0,则一定满足｛；[,

(5)ax2+bx+c<O(a>0)在[m,句上恒成立，则

(6)ax2+bx+c>0(a<0)在上恒成立，则｛；，：；)：；

3、重要不等式

a2+b2>2ab,当且仅当a=b时取"="号.

4、基本不等式

手工质(a,b>0),当且仅当a=b时取展”号.【一正、二定、三相等】

5、基本不等式与重要不等式的异同

(1)两个基本不等式中实数a”的取值范围是不同的，重要不等式a,b为全体实数，基本不等式a,b必须都

是正实数.

（2）两个基本不等式中等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.

（3）两个基本不等式的变形:（和、积、平方和之间的关系）

&ah<^~（积与平方和）②a+b^2面（和与积）③帅工（等丫（积与和）

22

@a+b>誓；平方和与和）@a+b<J2（a2+炉）（和与平方和）

6、已知%>0,y>0,则

①如果积xy是定值P，那么当且仅当％=y时,x+y有最小值是2m.

②如果和x+y是定值s,那么当且仅当％=y时,孙有最大值是亍.

“一正（各项均为正），二定（积或和为定值）,三相等（等号能否取得

7、常用的配凑技巧

（f）mx4->2\/mn（m>0,n>0）,当且仅当％=时等号成立

@mx+-=m（x-Q）+—+ma>2\[rrm+ma（m>0,n>0）,当且仅当％-a=户时等号成立

x-ax-aYm

③2：▲=-T-?qnr-Sa>0，c>0）,当且仅当％=F时等号成立

^ax2+bx+cax+b+-2Vac+bv/y/a

©x（n-mx）=若吧<^.史丫=今（血>o,n〉o,o<%<»当且仅当％=会时取等.⑤等

式转化为不等式模型

若出现n?（a+b）+力。/）=c，其中a、B、m、力、cUR*

因为Q+b>2>/ab=>ab<，可以转化为+nab<。或m（a+匕）+n'"："，>c,从而求出Q+

b及ab的取值范围.

若出现求ma+汕取值范围，先将式子m（a+b）+nab=c因式分解成为（a+x）（b+y）=z形式,再用基

本不等式求出ma+n匕最值.

）高频考点精讲《

考点一：不等式的性质

L典型例题•

例题1（2023高三・江苏•学业考试）已知Q>b,则（）

A.a+3>b+3B.3—a>3—b

22

C.-a>7bD.a>b

例题2.（2024高二上.江苏扬州.学业考试）已知avb,cG/?,则下列不等式恒成立的是（）

22

A.ac<beB.a-c<b-cC.a<bD.-a<7b

例题3.（2023高三上・江苏徐州•学业考试）若Q>b>0,则以下结论错返的是（）

A.ac2>be2B.a2>ab

C.Iga>IgbD.：V£

即时演练・

1.已知a,b,c,d均为实数，且a>Z?>0>c>d,则下列结论正确的是（）

A.c2>cdB.a-c>b-dC.ac>bdD.he>ad

2.设a,b,cGR,其中正确的是（）

A.若a>b,则a—c>b—cB.若a>b,则QC>be

C.若a>b,则a?>b2D.若a>b,则ac?>be?

3.若a>b,则下列不等式一定成立的是）

2z2

A.-a>bB.a>bC.b>abD.3a>2a+b

考点二：不等式的解法

剧■典型例题•

■—

例题1（2024高二上•江苏•学业考试）不等式W<0的解集为（）

A.{x\x>1}B.{%|x<0}

C.{%|0<x<1}D.{x\x<0或x>1）

例题2.（2025高二下•北京•学业考试）不等式x（x+1）<0的解集为（）

A.{x|0<x<1}B.{x|-1<x<0}

C.{%I%V0或%>1}D.{xI%<-1或%>0}

例题3.（2025高二下•天津南开•学业考试）不等式一无2+无+2>0的解集为（）

A.{x|-1<%<2}B.{x|-2<x<1}

C.{x|x<-1或x>2}D.V-2或x>1}

即时演练・

i.不等式G-［一3>0的解集为（）

A・{需B.{x|x>|）

c-Mx<HD.卜卜<：或x

2.已知关于X的不等式以-b<0的解集是［2,+8）,则关于X的不等式g2+（3。_份工一3bV0的解集是

（）

A.(-oo,-3)U(2,+8)B.(-3,2)

C.(―8,—2)U(3,+8)D.(-2,3)

3.不等式/<1的解集是()

A.{x|-1<x<0]B.{x|0<x<1]

C.{x|-1<%<1]D.{x\x<-1或%>1}

考点三：利用不等式的解集求参数

典型例题•

例题1（2024.江苏学考模拟）关于x的不等式香工1的解集为卜|,1）,则实数。的值为（）

A.-6B.--C.-D.4

22

例题2.（2122高一上•江苏南京•阶段练习）关于工的不等式/一4%+4。工。2在口，6］内有解，贝必的取

值范围为（）

A.-2<a<3B.1<a<6C.-2<a<6D.3<a<6

例题3.（2024・江苏学考模拟）已知不等式a/+以+2>0的解集为"I-1<”<2},则实数Q+b=

（）

A.-1B.0C.1D.2

即时演练・

1.若不等式。“2一4%+。一3Vo对所有实数不恒成立，则0的取值范围为()

A.(―co,—1)U(4,4-co)B.(-8,—1)

C.(-co,-1]U[4,4-co)D.(-co,-l]

2.若不等式a/+bx+2>0的解集为｛x|Vx<m，则Q+匕=（）

A.1B.-12C.-28D.-14

3.已知关于x的不等式a/+bx+c>0的解集为卜||<x<则不等式c/+bx+a>0的解集为（）

A.Jx|—1<x<—B.{x|2<x<3}C.>3或％V2}D.{x|-3<

x<-2]

考点四：基本不等式

典型例题•

例题1（2024高二上.江苏扬州.学业考试）若%>1,则函数/（幻=9万+£的最小值为（）

A.6B.9C.12D.15

例题2.（2122高一上•江苏南京•阶段练习）已知1,则y=3x+六的最小值为（）

A.4V3-1B.4>/3C.4V3+1D.473+3

例题3.（2025高二下•湖南郴州•学业考试）已知％<-1,则的最大值为（）

A.-4B.0C.4D.-8

叱即时演练•

1.已知%>0,则」-+%的最小值是（）

1+X

A.1B.2C.3D.4

2.设x>0,y>0,且x+y=2,则：+静勺最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

3.函数/（x）=loga（2x-3）+1（a>0且a*1）的图象恒过定点若对任意正数久、y都有m%+ny=

4,则二；+?的最小值是（）

x+1y

QQ4

A.2B.-C.1D.-

223

1、已知正实数a,b满足ab=100,则工+：的最小值为（）

ab

A.-B.\C.-D.1

552

2、不等式a-i）a-2）<。的解集是（）

A.{x|4<x<6}B.{x|-3<x<0}C.{x|0<x<4]D.{x|l<x<2]

3、函数y=x++5（%>1）的最小值为（）

x—1

A.5B.6C.7D.8

4、若正数％、y满足X+y=l,则：+：的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

5、若a,瓦c€R,a>b,则下列不等式成立的是（）

22

A.-<B.a<bC.-^―>-^―D.a|c|>b\c\

abc2+ic2+i

6、已知a、b、c都是实数，若aVb,则（）

A.a+c<b+cB.ac<beC.-<-D.a2<b2

cc

7、不等式（无一1）（%-2）<。的解集为（）

A.{x|l<%<2}B.{x|-2<%<-1}

C.{%|%>2或％<1}D.{x\x<-1}

8、已知Q>b.c>d,则下面不等式一定成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+d<b+c

C.a—d>b—cD.a—d<b—c

9、若aVbV0,c>0,则下列不等式成立的是（）

A.-<7B.a+c>b+cC.a2<b2D.ac<be

ab

10、不等式/+2x<0的解集是()

A.{%|-2<x<0}