第2章 对称图形-圆 期末复习（知识清单）-2024苏科版九年级数学上册

第2章对称图形——圆

1.点和圆的位置关系

点在圆外，d>r.点在圆上，d^r,点在圆内，d<r,（圆的半径为八点到圆心的距离为小

2.垂径定理及推论

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

3.外心与内心

外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距

离相等.

锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。

三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.NBACUINBOC

2

内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。

三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去99°再乘以2.Z/JOC=90°+-ZMC.

2

三角形周长为/,面积为S,内切圆半径为R,则S=2R/.

2

直角三角形两直角边分别是40,斜边为。，内切圆半径为「，则，=［（a+b-。）.

2

4.圆周角定理及推论

圆周角定理：圆周角的度数等丁它所对的弧上的圆心角的、|:

推论1：同弧或等弧所对的圆周隹桓笠；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧粗笠.

推论2：直径所对的圆周角是直用；90。圆周角所对的弦是直径.

推论3：圆的内接四边形的对角互处，并且任何一个外角都等于它的内对角.

5.直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d,圆的半径为力

相交：直线与圆有两个公共点，小尸；

相切：直线与圆有一个公共点，d=r；

相离：直线与圆无公共点，目工.

6.切线性质定理和判定定理

切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

切线的判定定理：经过半径的外端且垂直上这条土鱼的直线是圆的切线.

切线的判定方法：（【）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.

7.弧长公式与扇形面积公式

360

正〃变形的圆心角为/度.

弧长计算公式：在半径为R的圆口，〃。的圆心角所对的弧长计算公式为一工好.

_n/rR2

如果扇形的半径为R,圆心角为“。，那么扇形面积的计算公式为"一市限.

SLLR

如果扇形的半径为A,弧长为/,那么扇形面积的计算公式为2.

易错总结

易错点190度的圆周角所对的弦是直径

1.易错点总结:忽略前提条件：需明确该圆周角必须在同一个圆中，若在等圆或同心圆中，需保证弦对应的

网半径致，否则结论不成立。混淆“所对”关系：误将“90度圆周角所对的弦”等同于“弦所对的圆周

角为90度”，忽略一条弦可对两个圆周角（互补），仅直径所对圆周角必为90度。

2.注意事项:应用定理时先确认图形是否满足“同圆或等圆”条件，避免跨圆错误。推理时紧扣“圆周角与

弦的对应唯一性”，明确直径是90度圆周角的唯一对应弦。

例题1.在直角V/WC中，ZACfi=90°,AC=4,8c=6,点。是VABC内一点，满足NCAP=NACQ,

则物的最小值为.

B

【答案】2

【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关健是确定点P位置，学会求

圆外一点到圆的最小、最大距离.首先证明点P在以8。为直径的（。上，连接与0交于点P,此时以

最小，利用勾股定理求出。4即可解决问题.

【详解】解：•••/ACB=90。，

・•・NBCP+NPCA=90°,

4PBe=/PCA,

・•・ZCBP+ZBCP=90°,

:.ZBPC=90%

・••点户在以8c为直径的。。上，连接OA交。于点。，此时R1最小，

OP=-BC=3,

2

在RtZ\C4O中，VZOC4=90°,AC=4,OC=g8c=3,

,*OA—\]OC2+AC2—,3。+42=5,

・•・PA=OA-OP=5-3=2.

故答案为：2.

易错点2直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系

1.易错点总结:公式记忆混淆：误将面积S二%（a+Hc）/■记为S=m+〃+c）/•，忽略系数%,导致计算错误。直角边

斜边混淆：用两条直角边之和代替周长，忽略斜边，尤其在仅知直角边时易漏算。

2.注意事项:牢记公式推导：由面积等于三个内三角形面积和，推导得『2S/C（。为周长），避免死记硬背。

明确边长构成：直角三角形周长含两条直角边和斜边，计算时需先确认斜边长度，再代入公式。

例题2.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,O是A8C的内切圆，分别切边BC,AC,AB

于点。，E,F.

（1）求。的半径.

（2）若。是RtaABC的外心，连接Q2,求OQ的长度.

【答案】（1）1

⑵。。=4

【分析】（1）先利用勾股定理求得A8=5,利用三角形面积公式以A8C=SM8C+SMM+S△"8，即可求解;

（2）证明四边形8CE为正方形，边长为1,再利用切线长定理结合勾股定理即可.

【详解】（1）解：如图，连接OF,OA,OB,OC,设。。的半径为二

•I。是.A8C的内切圆，分别切边SC,AC,48广点。，E,F,

0DtBC，OE1AC,OF1AB.

在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,

・•・AB=^BC~+AC2=5-

,«*SA人耽=S&OBC+SZXOAC+S^OAB，

1

...-1x3—x4=——x3r+—1x4ir+—x5cr,

2222

解得r=l,

・・・GO的半径为I：

(2)解：:。是.ABC的内切圆，分别切边8GAC,A8于点。，E,F,

:・BD=BF,CD=CE,AE=AF.OD上BC,OE1AC,OFLAB.

・•・四边形ODCE为正方形，

♦：OD=OE,

・•・四边形ODCE为正方形，

:・CD=CE=r=T,

；・BD=BF=2.

是RtAABC的外心，

:.QB=QA=^AB=^t

・•.FQ=QB-BF=^.

在Rt^OFQ中，OF2+FQ2=OQ\即r+(g)=oQ2,

解得。。=李(负值舍去).

易错点3求某点的弧形运动路径长度

1.易错点总结:半径判断错误：误将运动点到旋转中心的距离算错，如混淆线段长度与半径，或忽略旋转过

程中半径的变化。圆心角单位混汾：计算时未将角度单位统一，直接用角度代入弧度公式，或弧度与角度

换算错误，导致弧长偏差。

2.注意事项:确定旋转中心和半径：明确运动点绕哪一点旋转，准确测量该点到中心的距离作为半径。统一

圆心角单位：弧长公式中圆心角需用弧度，若已知角度，先按万“80换算，再代入公式计算。

例题3.如图，在RlZ\A8C中，NB4C=90。，A8=3cm,/8=60°.将乂8c绕点A逆时针旋转，得到△AB'C',

若点"的对应点方恰好落在线段8c上，则点C的运动路径长是(结果用含汗的式子表示).

C'

BB'C

【答案】信

【分析】由于AC旋转到AC',故。的运动路径长是CC的圆弧长度，根据弧长公式求解即可.

【详解】以A为圆心作圆弧CC,如图所示.

BB，d

在直角ABC中，/8=60。，则47=30。，

则8C=2A8=2x3=6(cm).

AC=dBC?-AB?=V62-32=3>/3(cm).

由旋转性质可知，AB=AB',又23=60。，

・・・&A跳T是等边三角形.

・•・ZBAZT=60°.

由旋转性质知，ZC4C=60°.

故弧CC的长度为：^x2x^-xAC=yx3V3=^(cm)：

故答案为：岳

【点睛】本题考查了含30,角直角三角形的性质、勾股定理、旋线的性质、弧长公式等知识点，解题的关键

是明确。点的运动轨迹.

易错点4求其他不规则图形的面积

1.易错点总结：扇形与三角形混淆：计算弓形面积时，误将扇形面积直接当作弓形面积，忽略减去三角形面

积；或混淆圆心角与圆周角对应的图形。重叠区域漏算/多算：多个圆相交时，求阴影面积易漏减重叠部分，

或对“不规则”边界判断不清，重复计算公共区域。

2.注意事项：分解为规则图形：将不规则图形拆分为扇形、三角形、圆等，明确各部分关系（和或差），标注

圆心、半径和角度。验证边界与角度：确认图形是否由同圆或等圆构成，核对圆心角大小，必要时通过几

何性质（如切线、直径）辅助计算。

例题4.如图，正五边形4成7）石的边长为1,分别以点C,。为圆心，C7）长为半径画弧，两弧交于点尸，

图中阴影部分的面积为.（结果保留不）

【分析】连接CT,DF,由C尸9=CO=1,得/FCD=/FDC=&)°,求H/FCD=NFDC=60。,根据

公式求出S扇膨8c尸S正.CFD'S扇形c/此,即可得到阴影面积.

【详解】如图，连接CT7，DF,

由题意，得/BCO=皂二华幽=108。,

.'CF=DF=CD=\,

.-.ZFCD=ZFZX?=60°,

.•.ZBCF=108°-60°=48°,

_48^,xl2_2兀

・f形86=飞-=正，

C_V3

S正MFD--X1=-，

_60^-xI2_K

金

c2乃几n

…阴影Bb_1546-430

心一£12=近-£

430J215

故答案为：B-三

215

A

【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方

法连接辅助线是解题的关键.

易错训练

一、单选题

1.如图，楔钟是•一种技术与艺术和结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，O4=24cm,当钟摆从04撰

动到03时，若摆动角度NAO4=15,则端点A移动的路径长为()

A.3cmC.2^cmD.3^-cm

【答案】C

【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键.

根据弧长计算公式，计算即可.

【详解】解：端点A移动的路径长=受；卢=2万(cm),

In()

故选：c.

2.如图，。是外一点，射线。。交9。于A,B两点,。。与。。相切于点C,PD1BD,若4=。4=2,

则阴影部分的面积是()

D

c

A.6一且D.且

C.1

32

【答案】D

【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，如图，与：。交于点，连接

OE、OC,先由已知推出NOCP=90。，OC=-OP,则NP=30"BD=-PB=3,NPOC="BD=60。，

22

进而得△。8£是等边三角形，则8E=O8=OE=2,N8OE=60°,进而得NCO£=60。，扇形COE的面积=

扇形80E的面枳，再根据阴影部分的面积=梯形CO8D的面枳一扇形COE的面积一SoliE+扇形BOE的面积

-s刎求解即小

【详解】解：如图，BD与O交于点E,连接OE、OC,

D

•・•PO与（。相切于点C,

；・OCA.PD,

・•・ZOCP=90°,

,/PA=OA=2,

：.OC=-OP=2,

2

/.ZP=30°,BD=^PB=3,NPOC=60°,PC=2上,

*/PDLBD,

：.ZPBD=60°.PD=30

CD=PD—PC=6

XVOB=OE,

:.ZXOBE是等边三角形，

:・BE=0B=0E=2,N8OE=60°,

・\ZCOE=60°,

・•・扇形COE的面积=扇形BOE的面积，

阴影部分的面积=梯形C08D的面积一扇形COE的面积-5+扇形30E的面积-5。战

=梯形COBD的面积-2S°"E

=^(OC+BD)CD-2x-x2xy/3

=^x(2+3)xV3-2^

一2

故选：。.

3.如图，在四边形人BC。中，ZABC=ZADC=90°,对角线AC和4。交于点E,若4E=4,CE=2,则

长的最小值为()

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明4,B,C,。四点共圆，得到AC为直径，取AC的中点

即圆心0,得到当弦8DJ_AC时，80取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可.

【详解】解：如图，ZABC=ZADC=90°.

••・4,B,C,。四点共圆，AC为直径，取AC的中点即圆心0,

D

当弦3。J.AC时，取到最小值,

•・・AE=4,CE=2,直径4C=6.

・•・半径0B=0C=3,

：,OE=OC-CE=3-2=\.

在RtZXOEB中，8E=ylOB2-OE2=V32-12=y/s=242•

・•・BD=2BE=4y/2•

故选8.

4.如图，氐△ABC中，Z4CB=9O°,AC=2»，BC=3.点P为YABC内一点,且满足而+叱=心.则

30的长度最小值为（）

・口J・，LX・-----

42

【答案】B

【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，

中档难度.解题的关键是找到动点。的运动轨迹，即陷形圆.由题意知N4PC=90。，又只。长度•定，则

点P的运动轨迹是以4c中点。为圆心，:AC长为半径的圆弧，所以当仄P、。三点共线时，BP最短,

2

再进一步求解即可.

【详解】解：•.PA2+PC2=AC2

/.ZAPC=90°

取AC5点。，并以。为圆心，。长为半径画圆，则点尸在0O上运动，

由题意知：当3、P、。三点共线时，8P最短，而AC=275,

AO=PO=co=6»

,:BC=3,

/.BO=VBC2+CO2=2g，

/.BP=BO-PO=4i

.**BP的长度最小值为

故选：B

二、填空题

5.如图，在..ABC中，ZC=90°,Z4=60°,ZB=30°,AB=2,AC=1.将.ABC沿着直线/作顺时针

方向的滚动.到AB'C的位置叫做“滚动了一周“，那么这个三角形在滚动了3周之后，点A经过的

【分析】本题考查了求扇形的弧长，先求出，A8C到二A5C的位置叫做“滚动了•周”点A经过的路程长,

再乘以3即可得解.

【详解】解：如图，ABC滚动了一周“，点A所经过的路程为痴，MA的长度和，

由旋转可知,“M-«4-A4-2,4C-MC-l,N4C"-90。.

=180°-30°=150°,

，八八，m-b，F、4星904xl150乃x213乃

ABC滚动「一周,点A所£上过的路程.为——■—।---■—=—-»

ISO1806

在滚动了3周之后，点A经过的路程长为学、3=学，

62

故答案为：野.

6.如图，在VANC.中，NAC'8=90,AC=10,将VAAC绕力、8逆时针旋转30。得到ZWAC"，则AC,AA'，

AC,CC围成的面积（图中阴影部分面积）为.

【答案】中

【分析】本题主要考查了图形的旋转、不规则图形的面积计算、勾股定理等知识点，发现阴影部分面积的

计算方法是解题的关键.

由勾股定理可得川2-3。2=4。2=100，根据旋转的性质得到一48。均48。'，NABA=NCBC'=30°,进

而得到S吸=无形八时+SA，8C「SABC-S圆形CBC，再结合扇形面积公式求解即可.

【详解】解：•••在VA8C中，N4C8=90。，AC=1（）,

..AR2-RC2=AC2=］（）O^

将VA3C绕点3逆时针旋转30。得到△A'BC.

・•・ABC^ABC.ZA3A'=NC3C=30。，

S用影=S期形人取，+SA.HC.-SAHC-S烟形C8U

=S网形AB*-S弱形C8U

30万A炉30兀IC2

36U36U

3O^（AB2-BC2）

360

_3（）乃100

360

_254

=­°

故答案为：等.

7.如图，E为正方形A8CO内一点，£4_1,石8,垂足为E,连接。E,BG分别是OE,CO的中点，若48=4,

贝IFG的最小值是.

【分析】根据三角形中位线定理得到FG=；CE,又有5、E、A三点共圆，圆心为AB的中点当H、

E、C三点共线时，CE的值最小，即"G的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到C/7,进而推出C£,

即可求尸G.

【详解】解：•••尸，G分别是OE,。。的中点，

连接CE，

：.FG=-CE

2f

EA±EB,

，B、E、A三点共圆，圆心为AB的中点〃，

当H、E、C三点共线时，CE的值最小，即AG的值最小，

连接CH,交AEB「点E'，

;四边形488为正方形，A3=4,

==-AB=2

2t

:.CH=^AB、BH2=V42+22=25

CE'=CH-HE'=2^-2,

FG的最小值是#-1.

故答案为：75-1.

【点睛】本题考杳正方形性质，勾股定理，圆周角定埋，二角形中位线定埋，解题的关键在于找到最小值

情况.

8.如图，在等腰三角形4BC中，AB=AC=5,BC=6,。为平面内一点，连接A。，。。，且N8DC=90。,

连接A。，则4。的最小值为,最大值为.

【分析】根据题意，得/或心=90。，BC=6,得点。的运动轨迹是以BC为宜径的IO,目.。的半径为2,

连接AO,并延长交00于点E,F,利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可.

【详解】解：•••/8DC=90。，BC=6,

・••点。的运动轨迹是以8。为直径的O,R,。的半径为3,

如图所示，连接A。，并延长交【。广点石，F,

：,OB=OC=OE=OF=3,AOLOB,

•；AB=AC=5,

••・OA7A『-OB?=4,

AE=OA-OE=4-3=\,AF=OA+OF=4+3=7,

・•・当点。与点E重合时，A/）有最小值1,当点。与点尸重合时，A。有最大值7,

故答案为：1，7.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

三、解答题

9.如图，三角尺A8C中，NA3c=60。，A3=30cm,/?C=15cm,将三角尺ABC绕点B顺时针旋转，使

点C的对应点落在和点八、8同一直线上的点C处，同时点八落在点A处.

4

(1)ZA8A=°；

⑵旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？

【答案】(1)120

(2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为20万cm和\^ctn

【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式.

(1)根据//仍4'=180。-44'8仁计算即可求解；

(2)利用弧长公式求解即可.

【详解】⑴解：由旋转的性质得4'8C=ZA8C=60。，

•・•点A、B、(7在同一直线上，

・•・ZARA*=1800-ZA'BC=120。，

故答案为：120；

=20乃cm,

旋转过程中点C所经过的路程为里守=1。兀cm.

IX(I

10.如图，以VA4c的5c边上一点。为圆心的圆经过A、4两点，且与4C边交于点E,OD±BE,连接AO

交8C于点F,若AC=FC.

A

不。C

D

⑴求证：人C是。的切线;

⑵若。的半径是4,ZADB=60°,求图中阴影部分的面积（结果保留根号兀）.

【答案】（I）见解析

(2)8\/3—71

3

【分析】（I）连接A0.由。4=0。，可得NQ4O=NOD4.由AC=CF，可得/。4尸=/。用.由

可得=/=90°,所以NO")+NOD4=90°.结合NQ4O=NOD4,ZCAF=ZCFA,

N"Z>=NCE4,可得/。4/+/。4。=90。.则OA_LAC,即AC是，。的切线.

（2）连接AO,根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得A。，AC,进而根据阴影部分面积等

于S.A8-S承形OAE，即可求解.

;.4)DF+NOFD=9(F,

.CA=CF,

ZCAF=ZCFA,

.NCFA="FD,

：.NODF+NCAF=9(f,

3=0/),

：2ODA=4OAD、

ZOAD+ZC4F=90°,即ZOAC=90°,

:.OA1AC,

&\是O的半径,

.,"C是《。的切线;

（2）解：•.ZAD^=60°,

：.ZAOB=2ZADB=\2（T

.ZOE=60。"=30。，

在RtOAC中，AO=4

:.OC=2OA=S,

:，AC=V82-42=473»

・•・阴影部分的面积=,X4X46-丝叱=86一»兀.

23603

【点睛】本题考杳了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积，勾股定

理等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

11.如图，在0。中，A8是直径，C是圆上一点，连接AC、BC,过点C作CE工AE交AS于点E,延长CE

交。O于点、F，。是AB延长线上一点，连接AF,BF,OF,DF,己知FA=FD.

FD

⑴求证：FD是。的切线；

（2）若AE=9,BD=6,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析

⑵186一6兀

BF1

【分析】（I）先由直径所对的圆周角为直角得到NAFB=90°，从而由sinZFAB=—=-ARHiZFAB=30°,

AB2

进而结合等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质得到相关角度，进而求得

ZOFD=ZOFB+ZI3FD=9（）°,结合切线的判定即可得证；

（2）结合等腰三角形性质、等边三角形性质、勾股定理求出相关线段长度，数形结合得到阴影部分的面积

=%。桢-5扇形。〃，由三角形面积公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案.

【详解】（1）证明：•••人区是《。直径，

ZAFB=90°,

在RlA8E中，BF=-AB,MsinZE4B,

2AB2

ZFAB=30°f

OA=OF,

:./.OFA=^OAF=3(T,则NFO8=60。，

QOF=OB,

..△。日6是等边三角形，则N6尸0=/用0=60。，

FA=FD,

.•.NE4O=NFD4