第2章 实数的初步认识（单元测试·拔尖卷）-2024苏科版八年级上册

第二章实数的初步认识•拔尖卷

【苏科版2024]

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2025•湖南长沙•模拟预测）有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场FI均蔬菜交易量约为1.423x

107kg,关于这个近似数，下列说法正确的是（）

A.它精确到0.001B.它精确到万位C.它精确到万分位D.它精确到千位

【答案】B

【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键.近似数的最后一个数字

实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入.还原成原

数看3所在的数位即可.

【详解】解:01.423x107kg=14230000kg,

自该数精确到万位.

故选C.

2.（3分）如果自然数。的平方根是土，相那么的平方根用〃?表示为（）

A.±（m+1）B.（/zr+l）C.土D.±Vw2+l

【答案】D

【分析】首先根据平方根性质用，〃表示出该自然数a,由此进一步表示出。+1,从而进一步即可得出答案.

【详解】由题意得：这个自然数。为：〃落

:.ij+l=m2+l,

故a+1的平方根用表示为：+V/w2+l.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

3.（3分）（23-24七年级下•云酉临沧・期末）如图，在数轴上，币与石之间的整数一共有（）

-7|0o~~

A.7个B.6个C.5个D.4个

【答案】B

【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根的知识进行估算、求解.

【详解】解：

.,.-4<-Vl0<-3,

V2<V5<3,

・••-x/而与石之间的整数是-3,2-1,0,1,2,

即-，历与石之间的整数一共有6个，

故选:B.

4.（3分）（22-23八年级上•四川眉山•阶段练习）将1,V2,6三个数按图中方式排列，若规定Q⑼表示

第Q排第6列的数，贝欧8,2）与（10/0）表示的两个数的积是（）

1第1排

x/3V2第2排

6x/21第3排

1及1第4排

……第4列第3歹U第2列第1列••••••

A.V6B.V3C.V2D.

【答案】B

【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，由题意可得，每三个数一循环，即以1，V2,6为一-个

循环节,求出（8,2）表示的数为VL（10,10）表示的数正好是1,即可得解.

【详解】解:由题意可得，每三个数一循环，即以1,V2,逐为一个循环节，

（8,2）在数列中是第（1+7）、7+2+2=30个，30+3=10,故（8,2）表示的数正好是第10轮的最后一个，为途，

（0,10）在数列中是第（1+9）x9+2+10=55个,55-3=18...1,故（10,10）表示的数正好是1,

工（8,2）与（io,io）表示的两个数的积是V5x1=0，

故选:B.

5.（3分）（2025•山东淄博・一模）下列实数中，满足不等式x>3的是（）

A.（-3）3B.V2C.兀D.V27

【答案】C

【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题.先根据有理数的乘方、立方根的定义计

算选项A、D,然后让每个选项与3比较即可作出判断.

【详解】解：A、（-3）3=-27<3,故比选项不符合题意：

B、V2<3,故此选项不符合题意：

C、兀>3,故此选项符合题意；

D、抄=3,故此选项不符合题意；

故选：C.

6.（3分）若。的算术平方根为17.25,〃的立方根为-8.69；x的平方根为±1.725,），的立方根为86.9,则（）

A.x-七aj-JOOOAB.%-七a厂100Z?

IVvIUv

C.x=100a,尸击。D.尸焉©=-1006

【答案】A

【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、X、），的值，再找出关系即可.

【详解】解：・・Z的算术平方根为17.25,匕的立方根为-8.69,

・•・。=297.5625,6=656.234909.

的平方根为±1.725,y的立方根为86.9,

工户2.975625,y=656234.909,

，产击。产-10004

故选:A.

【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用.解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方

根的定义.

7.（3分）（24-25七年级下,内蒙古乌兰察布•期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方

体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为24cm3,由此可估计该正方

体铁块的棱长介于（）

A.2cm和3cm之间B.3cm和4cm之间

C.4cm和5cm之间D.5cm和6cm之间

【答案】A

【分析】本题考杳正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关健.根据正方体的

体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可.

【详解】解：设该正方体铁块的棱长为xcm,

由题意得：X3=24,

解得尸3，

□V8<V24<V27,

□2<V24<3,

即该正方体铁块的校长介于2cm和3cm之间，

故选A.

8.（3分）（24-25七年级下•全国•单元测试）对于实数a、b,定义max{a,b}的含义为:当“泌时，max{a,b}=a；

当时，max{a,6}=6.例如：max{l,-2}=l.己知max{&^,4}=V^,max{&^,b}=b,且a和。为两个连续正整数,

则西广的立方根为（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】根据题意求出〃、人的值即可得到答案.本题主要考查新定义无理数的估算，立方根的运算，准确

理解题意是解题的关键.

【详解】解：•.,max{V^,t/}=V29?tnax（V29,b]=b,

・••回加，V29<Z）,

•・•。和〃为两个连续正整数，V29>VB=5,6=V36>V29,

工即a=5,6=6,

:.。力=30,

,。切（囱『=30-29=1,

则必-（而『的立方根为的1,

故选:B.

9.（3分）（23-24七年级卜.・甘可武威・期中）根据图中的程序，当输入x为64时，输出y的值是（）

A.V2B.V2C.2D.8

【答案】A

【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算大平方根，无理数，先把64输入，计算出)，的

值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把Ml勺值输入进行计算，如此反复直至y的结果为无

理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：当输入x为64时，

产而=8,8是有理数，

当输Ax为8时，

产通=2,2是有理数，

当输入丫为2时，

产冠，是无理数，

・••输出的值是也，

故选：A.

10.(3分)(24-25八年级上•四川内江•期中)观察下列算式：4|=0X2X3X4+1=5,«2=V2x3>4x5+l=l1,

丹川3x4x5x6+1=19,…，它具有一定的规律性，若把第〃个算式的结果记为。〃，则高+看+=+口口口+赢已

的值是()

A.-B.—C.—D.—

2202540501013

【答案】D

【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知册=J〃(〃+l)(〃+2)(〃+3)+l=〃(〃+3)+l,据此

可得」7=」；-士，再把所求式子裂项相消即可得到答案.

册+1〃+1〃+2

【详解】解：t/I=Vlx2x3x4+l=lx(|+3)+l=5,

tz2=V2x3x4x5+l=2x(2+3)+1=11,

a3=73x4x5x6+1=3x(3+3)+1=19,

以此类推可知，J〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)+1=〃(〃+3)+1,

%+1=〃(〃+3)+2=〃2+3〃+2=(〃+1)(〃+2),

•1_1_1»

(n+l)(n+2)〃+1〃+2'

。3+1。2024+】

111111

=—.—+———+Fj+

233420252026

_11

~2~2026

_506

一同，

故选：D.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(3分)(24-25七年级上•北京•期中)将5.649精确到百分位所得的近似数是.

【答案】5.65

【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键.要求精确到某•位，应

当对下••位的数字进行四舍五入.

【详解】将5.G49精确到百分位所得的近似数足5.65.

故答案为：5.65.

12.(3分)(2025・四川成都•二模)若实数x,y,z满足：|.v-3|+^y+T+(z+2)2=0»则(x+y)?的值为.

【答案】4

【分析】本题考查了绝对值，二次根式和完全平方式的非负性，根据几个非负数的和为()，则每个式子的值

多位()，求出工、)，、z的值，再代入代数式进行计算即可.

【详解】解：・；M3|K),加仁0,(Z+2)2>0,

且卜3|+炉T+(Z+2)2=0,

□|A-3|=0,^1=0,(Z+2)2=0,

□x=3»产-1,z=-2,

□(力)2=(3-1)2=4.

故答案为：4

13.(3分)(24-25七年级下•四川广安•期中)已知4〃+1的一个平方根是5,-1加的立方根是2,c是近的

整数部分，则3〃-2什6c的平方根是.

【答案】i6

【分析】本题考杳了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键.

根据平方根及立方根确定。=6,b=-3,再由估算算术平方根的整数部分确定e=2,将其代入代数式，然后计

算平方根即可.

【详解】解：口4〃+1的一个平方根是5,

□4*7+1=25,

解得：。=6.

□-l-3b的立方根是2,

□-1-36=8,

解得：b=-3.

□c是夕的整数部分，而2<V7V3,

「c=2,

3a-2b+f)c

=3>：6-2x(-3)+6x2

=36,

□3a-26+6c的平方根为土6.

14.(3分)(24-25八年级下•黑龙江牡丹江•期末)实数a,在数轴上的位置如图所示，化简：

\a+\|->](h-1)2+V(«-/>)2=.

।।।、q、—、।一

-4-3-2-101234

【答案】2

【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出1幼<2,进而化简即可.

【详解】解：由数轴，得-IV/VO,1幼<2,

b-\>0,a-b<0,

，原式="+l-|b-l|+|a-6|

=。+1-0-1)-(“1)

=q+1-b+1-a+b

=2,

故答案为：2.

15.(3分)(24-25七年级下•江西南昌・期中)已知g+2-x=0,则x的值为

【答案】1或2或3

【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到g=x-2,结合立方根等于本身的数有0,±1,进行求解即可.

[详解】解：:Vx-2+2-x=0,

Vx-2=x-2>

，x-2=0或x-2=±l,

32或x=3或x=l；

故答案为：1或2或3.

16.（3分）（24-25七年级下•湖南永州•期中）如果x是一个实数，我们把不超过x的最大整数记为[x],把

工的小数部分记为3,即3=、-田.如：[4.2]=4,{4.2}=0.2,[-4.2]=-5,{-4.2}=0.8,求：[d-2卜:满足[，卜4

的壁契x的值有个；己知5X-3{A}=6,则尸.

【答案】131.54

【分析】根据无理数的估算得到话-2<2,然后根据㈤的定义求解即可求出[代-2卜1；

根据忤*4得到4W浮<5,然后解不等式组求解即可；首先得到尸AA"然后将5x-3{x}=6变形为

5国+2{只=6,然后根据Ogx}<l得到七25}<2,然后由2{0为整数得到{x}=0.5,然后代入5㈤+25}=6求出国=1,

进而求解即可.

【详解】解：：9<15<16,

A3<\fi5<4,

/.1<X/T5-2<2,

A[715-2]=1；

解得7与〈?，

・•・擎教x的值有7,8,9,共3个;

V{X}=V-[A],

.\x={x}+fxj,

*.*5x-3{x}=6,

.•.5({x]+[x])-3{x}=6,

:.5{x}+5[x]-3{x}=6»

/.5[x]+2{.r}=6,

•・•把x的小数部分记为{x},

A0<2{x}<2,

•・・[x]为整数,

・・・2{x}为整数，

・•・当2{x}=0时，{x}=0,不符合题意；

当2{》}=间，卜}=0.5,符合题意；

/.5[x]+l=6,

/.[x]=l>

.\x={x}+/x]=1+0.5=1.5.

故答案为：1,3,1.5.

【点睛】此题考查了新定义实数问题，无理数的估算:，不等式的性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌

握以上知识点.

第II卷

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25七年级下•全国•期中）计算：

（l）2x（-3）+V25-|-4|+V27；

⑵，'1（I）-|2-V5|.

【答案】（1）-2

（2）5-75

【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根与立方根的计算是解题的关键；

（1）先进行有理数乘法，算术平方根化简，化简绝对值，求立方根，然后通过有理数加减运算法则即可求

解.

（2）根据算术平方根与立方根化简，化简绝对值，然后通过有理数加减运算法则即可求解.

【详解】（1）解：原式=-6+5-4+3=2

（2）-|2-石|

34,二、

=4-二x--（v5-2）

43、7

=4-1-75+2

=5-V5.

18.（6分）（24-25七年级下・河南信阳•阶段练习）表达无理数小数部分的方法如下：例如视,因为加的

整数部分是1,所以用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.我们可以用V5-1来表示近的小数部分.

⑴户的小数部分是；

(2)设g的小数部分是X,V7T的整数部分是y，求//而的算术平方根.

【答案】⑴4-2

(2)2

【分析】本题考杳了无理数的估算及算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

(|)估算得到所求小数部分即可；

(2)根据题意确定出x与y,代入原式计算即可得到结果.

【详解】(1)解：(1)V4<7<9,

A2<V7<3,

的整数部分为2,小数部分为6-2；

故答案为：V7-2；

(2)V16<17<25,64<71<81,

/.4<VT7<5,8<V7T<9,

的小数部分为X=/7-4,"■整数部分为尸8,

:.By/=VT7-4+8-47=4,

4的算术平方根是2.

:.用yVT7的算术平方根是2.

19.(8分)(24-25七年级下•江西上饶•阶段练习)根据下表回答下列问题：

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.9

X2225228.01231.04234.C9237.16240.25243.36246.49249.64252.81

(1)7243.36=,723716=,").023104=；

(2)、邱两与哪个整数最接近？求后的近似值(结果精确到0.01)；

(3)若153<V^<154,则满足条件的整数〃有个.

【答案】(1)15.6；154；().152

(2)158,V23-L52

⑶306

【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律.

(1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解：

(2)先将侬丽进行变形，再根据表格中的数据确定其接近的整数；对于旧，可根据算术平方根的小数

点移动规律进行求解；

(3)先对153<叮<154两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数”的个数.

【详解】⑴解:由表格可知，15.62=243.36,

□7243.36=15.6：

1542=23716,

□723716=154；

□0.152M.023104,

□70.023104=0.152.

故答案为：15.6；154；0.152；

(2)解：□725000-7250x100-10V25O，

又口15.82=249.64,15.92=252.81,250-249.64=0.36,252.81-250=2.81,0.36<2.81,

□回函与158最接近；

n7231.04=15.2,2.3=231.04-100,

□723=7231.04-100=15.2-10=1.52.

(3)解：对153<五<154两边同时平方可得1532<〃<1542,

计算可得1532=23409,1542=23716,

□〃的取值范围是23409<〃<23716,

则满足条件的整数〃的个数为23716-23409-1=306个.

故答案为：306.

20.(8分)(24-25七年级下•北京・期中)【定义】用(。力)表示一个数对，其中。为任意数，论0.记网=皿，

-y[b=n,将数对(/〃,〃)和(〃,〃?)称为数对(a,6)的一对“开方对称数对”.例如：数对(8,25)的开方对称数对为(2,-5)

和(-5,2).

【知识运用】

⑴直接写出数对(27,L69)的开方对称数对：

(2)若数对(xj，)的一个开方对称数对是求x,y的值；

⑶若数对(。力)的,个开方对称数对是G4,-5),求a+b的值.

【答案】(1)(3,7.3),(-1.3,3)

(2)「尽产49

(3)-39^-109

【分析】本题考查了新定义运算，涉及立方根和算术平方根的概念理解，理解新定义是解题的关键.

(1)根据新定义运算解答即可求解；

(2)先得到桓0,彩0,再根据新定义即可求解:

(3)根据新定义，分两种情况解答即可求解；

【详解】(1)解：V27=/«=3,-V169=n=-1.3»

:.数对(27,1.69)的开方对称数对(3,-1.3),(-1.3,3)：

⑵解：,迎=〃3-〃=〃，将数对(〃八〃)和(〃,〃?)称为数对(。力)的一对“开方对称数对“，

/i<0,

..•数对Gj)的一个开方对称数而是(，7,9，

工尸G7方=49,=p

(3)解：若沥=-4,-y/b=-5>

贝！Ja=-64,6=25,

・・.a+b=-64+25=-39；

若国=-5>-VS=-4»

则0=-125,^=16,

・・・。+4-125+16=/09：

的值为-39或-109.

21.(10分)(24-25七年级下•青海海东•期中)我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意

一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：如果h+6=0,其中人、

人为有理数，x为无理数；那么必然有40,且6=0,据此，解决下列问题.

(1)如果(〃?-3)&+2-〃=0,其中〃八〃为有理数，则〃尸，片：

(2)如果(〃-2)V55+2〃?=8,其中加、〃为有理数，求3根-；〃的平方根.

【答案】(1)3,2

⑵二3

【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的

关键.

(1)根据小〃为有理数,由已知等式求出相与〃的值即可；

(2)已知等式右边化为0,根据小，〃为有理数，求出m与〃的值，即可确定出3怯1的值，再求平方根即可.

【详解】⑴解：。〃-3)&+2-〃=0,其中〃?，〃为有理数，应为无理数，

/.w-3=0,2-/?=0,

/.m=3,〃=2；

(2)解：:。?1)旧+2m-8=0,〃?，〃为有埋数，旧为无埋数，

••.〃-2=0,2〃?-8=(),

解之,得〃?=4,"=2.

则3〃?-"=12-3=9.

・・・3吐)的平方根是±3.

22.(10分)如图①足由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.

①②

(1)求出这个魔方的楼长：

⑵图①中阴影部分是•个正方形幺8CO,求出阴影部分的面积及其边长；

(3)把正方形48C。放到数轴上，如图②，使得点A与-1重合，那么点O在数轴上表示的数为.

【答案】(1)这个魔方的棱长为2；

(2)阴影部分的面积为2,边长为0

(3卜1・役

【分析】本题考杳了实数与数釉、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长.

(1)设这个魔方的校长为4,根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可；

(2)根据魔方的棱长，得到每个小立方体的极长，进而得到每个小正方形的面枳，再由魔方的一面的面积

的•半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长；

(3)由(2)可知正方形48CO边长为用点4表示的数减去边长求解即可.

【详解】(1)解：设这个魔方的楼长为。，

则Q3=8,

解得:4=2,

即这个魔方的棱长为2；

（2）解：□魔方的棱长为2,则每个小立方体的棱长都为1,

匚每个小正方形的面积都为1,

［魔方的一面的面积为1x4=4,

□阴影部分的面积=94=2,

匚正方形力8c。的面积为2,

□它的边长为遮；

（3）解：由（2）可知正方形488边长为VI

□JD=V2,

Li点A与-1重合，

口点。在数轴上表示的数为-1-0,

故答案为：-1-VL

23.（12分）（24-25七年级下•云南・期中）本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分

内容：

平方根立方根

定一般地，如果一个数x的平方等于a,即/=〃，那一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那

义么这个数X就叫做。的平方根（也叫做二次方根）么这个数X就叫做。的立方根（也叫做三次方根）

性一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立

质方根是0;负数没有平方根.方根是负数.

【类比探索】（I）探索定义：观察（±1）4=1：（±2）4=16

类比平方根和立方根，给四次方根下定义：.

⑵探究性质：①81的四次方根是；②0的四次方根是_________;③・625（填“有”或“没

有”）四次方根.

类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：

①________________________________________________________;

②

③___________________________________________________

【拓展应用】（1）］（-;）=;

（2）比较大小：V3V8.

【答案】类比探索：（1）一般地，如果一个数x的四次方等于。，即/=〃，那么这个数％就叫做。的四次方

根；

（2）①±3;②U;③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；。的四次方根是U；负数没有四次

方根；

拓展应用：（1），；（2）>

【分析】本题考查类比探究类问题.类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键.

类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义；

（2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可；

拓展应用：（1）根据定义求一个数的四次方根；

（2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可.

【详解】类比探索：（1）类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于小

即d=a,那么这个数x就