答题模板11 不等式有关的5类核心题型（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、普通型糖水不等式与对数型糖水不等式）解析版

答题模板11不等式有关的5类核心题型

（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、普通型糖水与对数型糖水不等式）

目录

第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向

第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具

【结论背记清单】

方法一权方和不等式的应用及解题技巧

方法二柯西不等式的应用及解题技巧

方法三基本不等式链的应用及解题技巧

方法四普通型糖水不等式的应用及解题技巧

方法五对数型糖水不等式的应用及解题技巧

第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。

【题型01］权方和不等式

【题型02】柯西不等式

【题型03】基本不等式链

【题型04】普通型糖水不等式

【题型05】对数型糖水不等式

第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力

01命题解码.

模块说明：

洞察命题意图，明确攻坚方向

1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。

1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）

近年来高考对不等式的考查，已从单一的公式应用转向隐含条件下的综合推理与结构辨识。试题常

将权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、糖水不等式等作为工具性载体，与函数、数列、解析几

何等知识深度融合，重点考查学生在复杂代数结构中识别适用模型、灵活配凑变形、严谨论证等号成立

条件的高阶思维能力。备考需深入理解各类不等式的成立前提、几何意义与相互联系，强化“结构观察

-模型选择-变形放缩-验证取等”的完整思维链。

核心考查三大方向：一是代数结构的隐蔽转化，如在条件最值问题中将乘积和、平方和等问题通过

柯西不等式、权方和不等式进行整体化处理：二是不等式链的联动放缩，利用均值不等式链建立多变量

间的精确不等关系，实现“和-枳-累”的相互控制：三是生活模型的数学抽象，如糖水不等式及其对数

形式，将直观的浓度原理抽象为严格的代数比较，并延伸至对数、指数等超越函数的大小比较问题。

2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）

学生常见误区：面对复杂多元表达式时，无法识别其与柯西不等式、权方和不等式等标准形式的潜

在关联，导致盲目尝试或暴力计算；使用均值不等式时忽略“一正二定三相等”的条件，特别是对取等

条件的敏感性不足，使论证逻辑出现漏洞；对糖水不等式的理解停留在“浓度直观”，不能将其抽象为

一般化的数学结构，更难以自主推导其对数型、指数型变式。这暴露了在代数结构的模型识别能力、不

等式成立条件的逻辑严谨性.以及从具休模型到抽象不等式的迁移能力等方面的徐合短板~

02方法建模.

模块说明：

构建思维框架，提炼通用解法

L模模块化知识体系：熟记不等式有关的5类核心题型（权方和不等式、柯西不等式、基

本不等式链、普通型糖水与对数型糖水不等式）的相关知识内容，形成清晰的解即思维基

础逻辑，便于快速定位解题切入点。

2,通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减

少思维漏洞，提升答题效率。

3,易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化

对知识边界的理解，避免重复犯错。

隰论背记

一、二级结论

1.权方和不等式

权方和不等式的初级应用：若a,b,x,），>0则—+—>[a+b）~当且仅当-=-时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握权力和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀）

广义上更为一般的权方和不等式,设石,和，乙EK,%%,…,笫£内,

若m>0或m<-\,则\十三4

若一1Vme0,则

上述两个不等式中的等号当且仅当i=i=^-=..-=i时取等

X>2%笫

2.二维形式的柯西不等式

(a2+Z?2)(c2+d2)>(ac+bd')2(a,b,c,dER,当且仅当ad=be时，等号成立.)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)Va2+b2-Vc2+d2>\ac+bd\(a,b,c,dGR,当且仅当ad=be时，等号成立.)

(2)Va2+b2-y/c2+d2>\ac\+\bd\(a,b,c,deR,当且仅当ad=be时，等号成立.)

(3)(a+/))(c4-d)>(Vac4-\[bd)(a,b,c,d>0,当且仅当ad=be时，等号成立.)

(Q：2

3.扩展:+语+----卜W)(好+好+厉+…+b^)>3瓦+a2b2+a3b3+…+an^n)

3.基本不等式链

>a”>NJm>(),b>0),当且仅当a=b时，等号成立.

211

----(1—

ab

平方平均数，算术平均数，几何平均数，调和平均数.可利

用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.

4.糖水不等式定理

若a>b>0,m>0,则一定有>—

a+ma

通俗的理解：就是。克的不饱和糖水里含有〃克糖，往糖水里面加入m克糖,则糖水更甜;

糖水不等式的倒数形式:

、八，八八七aa+m

设a>h>0,m>0,则有：一〉-----

bb+m

5.对数型糖水不等式

(1)设〃cN+，且/?>1,则有log,f+i〃vlog“+2(〃+l)

(2)设a>b>},m>Oi则有logab<\oga+„,(b+m)

(3)上式的倒数形式:设加>0,则有log/,a>logA4nj(a+m)

此技法归纳

方法一权方和不等式的应用及解题技巧

权方和不等式是处理分式型和的最值问题的有力工具，尤其适用于分子、分母寐次更现特

定关系（分子寐次比分母森次高一次）的情形。

a2b2

第一步：识别结构特征一+一

xy

—+—>"+"）,通常通过提取常数因子、变量代换或乘事变形实现配凑。

xyx+y

第二步：配凑标准形式

注意确保所有变量为正。

第三步：应用权方和不直接套用不等式，将分式和放缩为关于变量和的表达式。若不等式方向不符

等式（如求最大值），可调整配凑方式或考虑反向不等式。

第四步：结合约束条件利用题目中的约束条件简化放缩后的表达式，得到最值。注意检查等号成立

求值条件是否在约束下可达。

第五步：验证等号成立根据取等条件（各分式比值相等）解出变量取值，验证是否满足约束。若可

条件达，则最值即为所求；若不可达，则需调整方法或结合其他不等式

22

例题1已知正数Q满足、+），S若不等式公告十£恒成立，则实数〃的取值范围是——

『

详解：寸—>(f=y=4,所以实数a的取值范围是（f,4].

y+2(x+l+y+2)'

例题2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设

b,K,y>0,则《+欧之史t”，当且仅当@=2时等号成立.根据权方和不等式，函数

xyx+y

/(上F+恐(°c<9的最小值为()

A.39B.52C.49D.36

【答案】B

,Q2A-

【分析】根据权方和不等式的定义，将函数/(1)变形为：/(x)=1-+—+3,再根据权方和不等式求出

3x1-3x

最小值即可.

22

.陛A3X+316916c34

【洋任：】ll为=------------------1-------3=1------h3。<x<;|,

xl-3.v3xl-3x3xl-3xI3j

因为所以l-3x>0，3x>0,

J

根据权方和不等式有：2+旦+3"*±4);+3=52,

3x\-3x3x+\-3x

当且仅当?二丁号时、即时等号成立.

3xl-3x7

所以函数外力=史虫+$(0<彳<9的最小值为52.

x1-3x(3)

故选：B

【点睛】关键点点造：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求

最值.

例题3已知x>0,y>0,且2丫：,+=1»则x+2y的最小值为

【答案】

【详解】解法一：设x+2y=4(2.r+1)，)+&(y+D+f.

可解得4=3|4=3力=-3，

乙乙乙

\33

从而x+2y=5(2x+y)+5(y+l)-Q

13

-(2x+y)+-(y+l)

当且仅当1=1+且4=且时取等号.

23'3

故答案为：6

2

解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：土+生…如的

xyx+y

1=^—十—^—庞（"扬-n2x+4y+34+26

2x+y3y+32x+4y+3

所以x+2y..后+1,当且仅当x=_L+且,y=正时取等号.

2233

故答案为：G+g.

例题4求/(x)=\lx2-3x+2+\]2+3x-x2的最大值为

【答案】2正

【分析】根据权方和不等式直接求解即可.

/(x)=.2_3x+2+V2-3X-X2=(Ap+仅+:4

【详解】।1212

<(x2-3x+2+2+3x-x2^2及

(1+厂

当且仅当1储3xI2=2I3xx2,即x=0或x=3时取等号

故答案为：2&.

例题5已知正数肛九z满足x+y+z=l,则二-+=-+：-的最小值为

y+2zz+2xx+2y

【答案】；

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数X,y满足x+y+z=i,

所以上+上+上之_—2_J.

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

XVz1

当且仅当一丁二一一==一H[ix=y=z=7时取等号.

y+2zz+2xx+2y3

故答案为：

方法二柯西不等式的应用及解题技巧

柯西不等式是连接平方和与乘积和的桥梁，在求解涉及平方和的最值、证明不等式、处理向量模长与数

量枳等问题时极为有效。核心技巧是构造两组适当的数列，将目标式转化为柯西不等式的左仰:或右侧，实

现放大或缩小。

第一步：观察目标结构分析目标式是否包含平方和或乘积和的形式。

根据目标式，构造两组数列，易于计算，构造时常利用系数配凑、根式拆分

第二步：构造两组数列

等技巧。

写出柯西不等式并代入构造的数列，得到含有目标式的不等式。注意不等号

第三步：应用柯西不等式

方向。

第四步：利用约束条件求将题目中的等式或不等式约束代入，简化得到目标式的范围或最值。有时需

解联立柯西不等式取等条件与约束条件解出变量。

柯西不等式取等条件，解出比例系数，验证是否存在满足约束的解，从而确

笫五步：验证取等条件

定最值能否取得

例题6已知：若abed均为实数,则(a?+灯k2+/"(讹,+")2,当且仅当〃=儿时等号成立.试运

用上述知识，分析以下问题：函数."X)=X/^+J2X-7在户时取最大值

【答案】<

62

【分析】由("7^+岳用2=1x74^7x1+72x^1^*1+2)(4-夕=|,求得求得等号成立的条件,

进而求得了("的最大值.

【详解】由题意,可得(\/4-x+J2/-7)

22=(1+2)(4—x)+[一£|]=(l+2)(4一j3

<[1+(V2)]

2

当且仅当然时，即％=总时，等号成立，所以“力4，|=乎,

即"力="^+岳二？的最大值为手.

故答案为：?；叁

62

例题7/3)=j5x-4-的最小值为

【答案】吸沙

【分析】运用Aczel不等式即可解.

【详解】/U)=V5A-4-VX-4=5/5•

>(5-1)fx-^]-(x-4)

V.13/

山川.仅当"-5=5即时取等号,

x-4-T

故f(x)=s15x-4-X/7^4的最小值为述.

5

故答案为：感.

5

例题8已知X、)，zeR,xy+yz+zx=-l,则/+5/+8z?当勺最小值是.

详解：由(x+2y+2z『+(y-2zf2。，即f+5丁+8z?2-4(Q，-)，Z+ZT)=4,

311311

当”=]，3，="Pz=—：，或％=-1，>'=Pz=:时取等号，所以最小值是4.

方法三基本不等式链的应用及解题技巧

方法概述：基本不等式链(均值不等式链)描述了平方平均。、算术平均A、几何平均G、调和平均”之

间的大小关系：小巴子-2§2之，石之121(〃>0,/?>())。该鞋是处理多元变量范围、最值及不等

--1--

ab

式证明的基础工具。通过灵活选择链中的适当环节，可建立变量间的制约关系，从而求解或证明。

第一步：分析条件审视题目给出的等式或不等式条件，以及需要证明或求解的目标。识别其中

与目标是否涉及和、积、平方和等结构，判断使用哪一部分均值不等式。

根据目标需求选择链中相应环节：

涉及平方和与和的关系一用。沙；

第二步：选择合适

涉及和与积的关系-用ANG；

的不等式环节

涉及积与倒数和的关系-用G>H0

有时需多次使用不同环节。

第三步：进行代数将条件变形，代入所选不等式，得到关于变量的新不等式。可能需要利用条

变形与替换件消元或整体代换，构造出可使用均值不等式的形式。

第四步：解不等式将得到的不等式整理化简，解出目标式的取值范围或最值。注意不等号传递

求范围或最值的方向一致性。

第五步：检查等号均值不等式取等当且仅当所有变量相等。验证该条件是否在题目条件下可实

成立条件现，以确认最值能否取到及范围的精确性

例题9（多选）若x,），满足丁+丁-岁=1,则（）

A.B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y21

详解：由基本不等式链：Jg■之等2疝2T1rm

-H—

ab

可得访工（誓）《吟父（凡*R），

对干C,由/+）,2-个=1可变形为（/+/）-1=个4二!£,解得/+/42,当且仅当x=y=±l时取等

号，所以C正确

因为他《誓）-4吟互■（a/iR）,由一+）,2一个=］可变形为,(x+y)2-I=3xy<3^2.,解得

12,

-2<x+y<2,当且仅当,r=y=-l时，“+），=—2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确;

【答案】：BC.

例题10(多选)已知。>。力>0,且。+〃=2,则()

A.2"+2冤2&B.，+卜2

ab

2

C.log2a+log2Z?<lD.a+b->2

详解：A.2"+2》22J2gh=4>2&，当，=8=1时，等号成立，故A正确:

1=厘>而〉上

B.2一一11，当。=2=1时，等号成立，故B正确；

-H—

ab

a+b'~

C.log«+log2b=logab<log=0<1,故c正确;

222)

当〃=4=1时等号成立，故D正确.

方法四普通型糖水不等式的应用及解题技巧

方法概述：普通型糖水不等式描述了一个其分数（分子小于分母的正分数）在分子分母同时加上同一

个正数后，分数值会增大（即“加檐变;.彩式化：若々>Z»>0,6>0,则一定有竺”>2

a+ma

其变形和推广形式（如分式不等式的传递性）在比较大小、证明不等式、求解参数范围等问题中具有直

观、简洁的优势，尤其适用于分式结构或可化为分式的对数、指数比较。

第一步：识别分式观察待比较的两个式子是否具有分式形式，或可通过变形（如取倒数、通分、

结构对数化等）化为分式。注意识别真分数（分子小于分母）条件。

第二步：应用糖水

若两分式分母相同或可化为同分母，直接利用糖水不等式比较。

不等式直接比较

第三步：构造中间当两个分式不易直接比较时，可构造一个中间分式，分别使用糖水不等式进

量传递比较行放缩，形成不等式链。

第四步：结合其他糖水不等式常与其他函数性质（如单调性）结合。例如，比较对数时可利用

性质综合判断换底公式化为分式，再用糖水不等式。

第五步：验证条件确保所用糖水不等式的条件（正数、分子小于分母）满足，并检查放缩方向

与结论是否正确，得出最终比较结果。

例题11在。克的糖水中含有〃克的糖,再添加少许的糖，〃克（，心0）,全部溶解后糖水更

甜了，由此得糖水不等式处巴>2,若j=x,*=N〃>0）,则（）

a+maa+ma+n

A.若〃?>〃，则x>）'B.若〃?<〃，则

b+m,a+n.b+ina+n

C.----<I<----D.当〃>〃时，----->-----.

a+mb+na+mb+n

【答案】ABC

【分析】应用作差法、不等式性质判断各项不等式关系的正误即可.

【详解】^a>b>0,m>0,则处上>?，

a+ma

...b+mb+n

/=x,y(〃>0),

a+ma+n

b+mb+n(b+fn)(a+n)-(b+n)(a+m)(m-n)(a-b)八,,

m>n则x-y=----------=---------------------=---------->0,故x>y；

ta+ma+n(a+⑼(a+n)(a+〃?)(a+n)

b+mb+n,八

若m<n,则x-y=----------=----------<0,故x”；

a+ina+n(a+m)(a+n)

由题设，结合不等式性质显然有〈炉

a+mb+n

故选:ABC

例题12已知89<7%设〃=log",Z?=IogQ8,。=0.9,则()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

［分析］根据8。＜7俗同时取对数可判定〃，c关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定关系.

【详解】由89<7Z可知118(89)<1。&(7°)=9<1010887,所以c=0.9<1。&7=«,

易知b=log98=^,a=log87=^，

In9In8

先证糖水不等式：若x>y>0,〃?>0,则£<上土?，

xx+m

证明如下：作差得上一"%得证.

xx\mx(xItn)

ir9.63

5一*In7E7+?*度

所以有黄即av。，

1119

ln8+ln?1n9

8

所以c<4<b.

故选：A

【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：/(X)=lOg.,(X-1)(工＞1)为定义域上增函数；精水不等式:

工＞)，＞0,〃?＞0,则2＜丝竺；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专题总结.

xx+m

例题13已知55＜83134V85.设a=logs3,Z?=logs5,c=logi38,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

详解：【法一】

..8,241339

1“In3o+In­In—..2In3+In-In——.

in35cIn355Ino8

a=——<----------3-==又a=——<-----------=——<----------用排除法，选

,n5

ln5+ln-In8In82ln5+ln13lnl3lnl3

55

A,

4

5454

【法二】5<8logs5<log3S=>h<-,

13'<85=>log134<log85=>c>-=>b<clog3®og5<x>log3log81,

l3l35Yl5'8'55

但lo综上所述，

log53log58<^g53+log58^=(12^£|=1,a<b<c^

例题14（多选）已知实数。也，满足OvavOvc,则下列说法正确的是（）

I1「bb+c

A.----->------B.->-----

c-ab-aaa+c

]]

C，a（c-a）b^c-a）D.ab+c1>ac+bc

.八八EI+bb+c

详解：【法一】由糖水不等式的倒数形式,b>a>O,c>O,则有：一>----

aa+c

_.._hb+c

【法二】一>——h(a+c)>a[b+c)be>acb>a,故B正确;

aa+c

【答案】BCD

例题15试比较1。&3log4的大小（填“v"或或“="）

,o,5.15

।aIn3+In—In—।A

详解：依题意唾43=27V--------1=-^-<^=log54.

,n4ln4+3,n5ln5

4

方法五对数型糖水不等式的应用及解题技巧

方法概述：对数型糖水不等式是将普通糖水不等式应用于月数函数得到的结论，常用于比较不同底数

或不同奥数的对数值大小。常见形式：（1）设neN+,且??>1,则有log,f+1n<log,J+2（/?+1）

(2)设a>b>\jn>0,则有logM/;<logu+w(/?+???)

(3)上式的倒数形式：设a>b>l,m>01则有logfta>log^^(a+m)

可通过加“糖”进行放缩。该方法是解决对数比较大小问题的有效手段，尤其在高考中涉及数值估算时,

能避免复杂计算，快速判断。

第一步：取对数化若问题涉及指数式比较（如〃与加）,通常先取对数化为对数比较。利用换底公

为分式式将对数值写为整的分式形式。

InA

第二步：应用对数

直接使用结论：对于Wlog（/（a+l）>log（b+l）o或利用普通糖水不等式

型糖水不等式t-v-lnJ一,rn.ilrvl/nJ+InkIn（月A）

于分式hJ若InJI，则InJ皿依丁（狗。

第三步：构造放缩与普通糖水不等式类似，通过选择适当的糖“（正数1M）,构造中间对数式，将

链比较大小对数比较转化为一系列简单比较。

第四步：结合指数注意对数函数的单调性（底数大于1时递增，底数在。到1之间时递减），确

与对数的单调性保放缩方向一致。有时需将不同底对数化为同底。

第五步：回归原问将对数比较的结果翻译回原问题（如指数式大小），得出最终答案。必要时

题得结论利用临界值（如loga=l）进行判断。

例题16已知力=8"'-9,则()

A.a>0>bB.a>Z>>0C.b>a>0D.b>0>a

,M

详解：因为9=10,所以zw=log910.在上述推论中取6/=9,Z?=10,可得/H=logt)10>

logoll=lglL且/n=logQ10<Iog89.

所以t/=10w-11>10lgl,-ll=0,Z?=8'"一9V8bg99—9=0,即选A.

例题17比较大小：log74与loggG的大小.

一M4+1/I*hW

啮4=吧<——

详解：【法一】=log96。

ln7ln7+m?1119,n9

7

4646

【法二】R)g74Tog96=0og74-1)一(loggb-l)=log7--log9-<log9--log9-<0

【法三】对数型糖水不等式宜接可得

03

模块说明：

聚焦前沿题型，靶向提升解题能力

1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把

提前沿考点。

2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题

思路与技巧。

题型01权方和不等式(共3题)

1.“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的.其具体内容为：设

a>eN\/rz>0,，当且仅当

nm

屹+b2+b3++bn)

2=今=£■=--=*■时，等号成立.根据权方和不等式，若％€(0，弓，当王叵+—!—取得最小值时，X的

仇4&bnk2Jsinxcosx

值为()

ItcKcnc57t

A.—B.—C.-D.—

126312

【答案】C

【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.

【详解】由题意得，siiu>0,cosx>0,

看产乙,

,373132p

则--+----=-------r+---------r

sinxcosx/./222

(sin2xl2IcosJI2(sinx+cosx尸

当且仅当3=」，即COSX=g时等号成立，所以X=

sinxcosx23

故选：C.

Io

2.已知正实数X、y且满足x+y=l,求r+r的最小值.

“y

【答案】27

【分析】设x=cos%,y=sin2a,。4。，三)，由权方和不等式计算可得.

【详解】设xncos^a,y=sin2a,

18I323(1+2)'

由权方和不等式，可知了+示=>下+厂『之厂」—F=27,

人>Icos-aj(sirra)(cos~a+sin~a)

当且仅当T1—=?即x=Igy=32时取等号，

cos'asin"a33

1Q

所以-r+r的最小值为27.

故答案为：27

3.己知x+2y+3z+4〃+5V=30,求f+2），+3z?+4/+5,的最小值为

【答案】60

【分析】应用权方和不等式即可求解.

2c»「（2」炉（2y）2（3z）2（4〃『（5v）2

x+2y~+3z~+4w+5v~=—+-------+-------+-—+-------

•12345

【详解】,'

（x+2y+3z+4u+5vY3O2

>--------:----------------------=-----=60

1+2+3+4+515

当且仅当4=》=2=〃=丫时取等号

故答案为：60

题型02柯西不等式（共3题）

49

4.已知x,y都在区间（-2,2）内，且岁=7,则函数〃=匚7+口■的最小值是（）

8

a

12712一

-B.24D.5

577

【答案】D

【分析】解法一：由可洛y用X表示出来，从而使函数转化为只含，个变量的式子，然后利用通

分、分离常数化简变形，最后利用基本不等式即可求得最小值，注意等号取得的条件.解法二：由孙=-1,

可将〉用X表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，再使用柯西不等式求解即可.

【详解】解法一：因为岁=7,

所以>=—,且（"0）,

又因为x,yw（-2,2）,

所以.（一2,4）5:，2）,

22

4949x249.C-1+1,41

+

所以〃=-；--7+-7=~—2771—7-------；=1H7-----i----

4-x*9-/4-x29x-14-x2-----9X2-1----------4-x29x2-\

36/-4+4-f।35户

=1+--------；------——1+------:--------------

(4-X2)(9X2-1)-9.?+37X2-4

因为xw(—2,——)o(彳,2),

22

所以X'€(—,4),

4

47

当且仅当9/=7,即时等号成立,

12

所以〃的最小值为

解法二:因为孙=T,

所以y=_J,且(xwO),

4949149X2-1+1,4I

所以〃=----y+---r=---r+—z——=----+----；---=1+---7+—；——

4-X29-/4-x29X2-14-x29x2-l4-x29x2-l

,361.1(361八，八2一

=1+------2+—；—2=1+—------7+—；—(36—9厂+9厂-1)

36-9x9x-\35136-9/gx2f

*3£养厮7+后"屈』

12

=I+(M=I+49=1+2

353555

12

所以〃的最小值为

故选:D.

5.已知x,y,zwR,且满足2x+y+石z=2,求/+）；+z?的最小值为.

7

【答案】j/0.4

【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可.

【详解】由题意得2x+y+&z=2xx+lxy+75xz=2,

则由柯西不等式得*2+丁+Z?)X+12+(75)2]>(2X+>'+石z)2=2?=4,

2

可得(J+2)xl()>4,解得％:+f+Z2>-,

z5

当且仅当3=y=4时取等，此时x=2,),=_L,z=@,

275555

7

可得f+）；+z2的最小值为二.

故答案为：!2

222

6.已知正实数相），、z的和为1,则上一+上+工的最小值为_____

x+yy+zz+x

【答案】1/0.5

【分析】利用不等式构造定值求解即可.

【详解】解法一：（柯西不等式）•・“，/>0，x+y+z=l,

/2->2

xy~z~

・・・8---------+——+---------[(x+y)+(y+z)+(z+x)]

<x+yy+zz+xy+zz+x;

222i«

则」一+二一+二一27.当且仅当x=y=z=：时取等号.

x+yy+zz+x23

4r24v24z2

解法二：(均值不等式)——+x+”4x,」_+)，+z24y,—+z+x>4z,

x+yy+zz+x

2222

所以4r+4V2+二4zN2x+2y+2z=2n-^x—~+-v^—+Jz2!1

x+yy+zz+xx+yy+zz+x2

当且仅当x=y=z=g时取等号.

工2।/।心之(x+y+z)2J

解法三:（权方和不等式）

x+yy+zz+xx+y+y+z+z+x2

当且仅当x=y=z=g时取等号.

故答案为：y

题型03基本不等式链（共5题）

多选题

7.设正实数及丁满足x+2y=4,则以下说法正确的有（）

A.f+y2的最小值为B.五+4的最大值为"

C.x+y的最大值为4D.；的最小值为3+2a

【答案】AB

【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用

消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决.

［详解］对于A：vx=4-2y,/.x2+/=(4-2y)2+y2=5/-16y+16=5(y--)2+—,

55

所以当y=|，Y时，f+y2取得最小值*故A正确；

对于B：(a2+b2Xc2+d2)-(ac+bd)2

=crc2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2acbd-b2d2-2acbd+b2c2=(ad-be)2>0

即(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2),

当且仅当a/=儿时，等号成立，

所以(6+4)2=(lx6+当x而产4口2+(§)2］［(五尸+(而中=6,

当且仅当后=即x=*y=:时，等号成立，

所以4+6的最大值为卡，故B正确；

对卜C：x=4-2y,y>0t：.x+y=4-2y+y=4-y<4,故C错误；

对广D：-+-=-(x+2y)(-+-)=-(3+^+-)>-(3+21^-)=3+2^-,

xy4xy4xy4\xy4

当且仅当空=•,即％=4夜一4,)，=4一2五时，等号成立，

所以的最小值为上述，故D错误.

x)'4

故选:AB.

8.已知正实数也〃满足〃?+2〃=1,则下列说法正确的是()

A.〃?〃的最大值是:

O

B.,/+〃2的最小值是:

C.'+'的最小值是3+2正

mn

D.册+的最大值是理~

2

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式即可判断AC,利用二次函数即可判断B,利用柯西不等式即可判断D.

(详解］由〃?+2〃=1有：1=m+2n>2j2tnn=>nm<-,

o

当且仅当机=2〃=g时，等号成立，故A正确；

由/+〃2=（1一2〃）2+〃2=5（〃一|）~+?2"当〃=［时，即m］时，等号成立,

所以W+〃2的最小值是（，故B错误；

由_1/=仕+口（,〃+2〃）=3+电+%之3+2、/^=3+2五.

mn\mnJinnymn

当且仅当机=0-1,〃=三2时，等号成立，故C正确；

2

由4in+