2026年高考数学二轮复习专题06 平面向量中的最值（范围）问题4大考向（重难）（天津）（原卷版）

重难点06：平面向量中的最值（范围）问题内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津高考向量最值/范围题稳定在第14题（5分），以数量积最值为主，核心是基底/建系+函数/不等式求最值；2026年将延续该定位，强化跨模块融合、情景化建模、思维深度，难度稳中有升。三年共性特征，位置分值：第14题（5分），填空压轴，区分度强。核心载体：以三角形、正方形为几何背景，含动点（P在线段上）。核心考点：数量积最值（三年均考），偶涉模长、系数范围。方法偏好：基底法（适合对称/角度已知）、建系法（适合直角/正方形），结合二次函数、基本不等式求最值。趋势：2024-2025更重坐标化与函数化，计算量与定义域严谨性要求提高。预测2026年：结构与分值：仍为第14题（5分），填空压轴，梯度清晰。核心考点稳定，必考点：数量积最值、模长范围、线性系数范围，与三角形/四边形+动点结合。高频交汇：与解三角形、解析几何、函数融合；融入物流优化、环境治理等现实情景建模。情景化：真实背景包装，考查“文字→向量模型”转化。设问创新：补充条件探究、多结论选择、开放型最值（如“写出一个满足条件的P点位置并求最值”）。考向1：向量数量积的最值与范围数量积的最值范围处理方法：（1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算；（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理；（3）利用极化恒等式来处理。1．（2025·天津南开·模拟预测）“天津之眼”摩天轮是天津的地标建筑，闪耀着这座城市的宏伟与浪漫．下图是抽象自“天津之眼”的几何图形，圆是以1为半径的圆，，是关于直线对称的两点，且，，为圆上两个动点，满足，且是以为始边按逆时针方向旋转所成角的终边与圆的交点．（1）当点运动到满足，且点在点上方时，则在上的投影向量的模为；（2）当点，在圆上运动时，的取值范围是．2．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时，；（ⅱ）的最小值为．3．（2025·天津西青·模拟预测）在中，，，，分别为边，的中点，若点在线段上，且，，则.若，点为线段上的动点，则的最小值为.4．（2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示；若点为上一动点，则的最大值为．5．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的且则取值范围是（

）A． B． C． D．考向2：向量模长的最值与范围处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.1．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为.2．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=

(1)试用，表示；(2)若，求∠ARB的余弦值(3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.3．（2026·天津滨海新·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则.若是线段上的一个动点，则的最小值为.4．（2026·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（

）①的最大值为②在方向上的投影向量为③④若函数，则函数的最小值为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．考向3：向量夹角的的最值与范围求两个非零向量夹角的步骤第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步：分别求出这两个向量的模；第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角。1．（2025·天津武清·月考）已知，，与的夹角为．(1)求；(2)求；(3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围．2．已知平面向量.(1)若，求的值；(2)若，求的值.(3)若与的夹角是钝角，求的取值范围.3．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知，，与的夹角为，求的值；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．4．若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是5．（2025·天津·模拟预测）已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围.考向4：向量系数的最值与范围此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解。（1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然；（2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。=1\*GB3①当等和线恰为直线时，；=2\*GB3②当等和线在点和直线直线时，；=3\*GB3③当直线在点和等和线之间时，；=4\*GB3④当等和线过点时，；=5\*GB3⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数。1．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则；若点F为线段上的动点，则的取值范围为．

2．（2025·天津南开·月考）在梯形中，，动点和分别在线段和上，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．如图，在等腰梯形中，，，F为的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动，E为圆弧与的交点．若，其中，则的取值范围是．

4．（2025·天津南开·模拟预测）在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，，则的取值范围是.5．（2025·天津静海·月考）已知正六边形顶点的字母依次按逆时针顺序确定的边长为，点是内含边界的动点．设、，则的取值范围是．（建议用时：60分钟）1．（2025·天津河东·二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为．2．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为；当在上的投影向量为时，.3．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，则向量在向量上的投影向量的模为；（2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为.4．（2025·天津·二模）在中，已知，且，则；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为.5．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示；若，则的最小值为.6．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则；若为线段上的动点，则的最小值为．7．（2025·天津·模拟预测）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为．8．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若，其中，为实数，则；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为.9．（2025·天津和平·二模）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则；若为线段上的一点，且，则的最小值为．10．在菱形中，，，，，已知点M在线段上，且，则，若点N为线段上一个动点，则的最小值为．11．（2025·天津河西·模拟预测）在梯形中，，，，，，点满足，则；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为.12．（2025·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为．13．（2025·天津河西·一模）在梯形中，，且分别为线段和的中点，若，用表示.若，则余弦值的最小值为.14．