2026年高考数学二轮复习专题07 正弦定理与余弦定理（热点）（天津）（解析版）

专题07正弦定理与余弦定理内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：-题型与分值：三年均为解答题第16题，14分，稳定作为中档解答题，属于必考点。核心考点：正弦定理：边角互化、解三角形多解判断、与三角恒等变换结合求角/边。余弦定理：求边长、角度、周长，判断三角形形状，解决中线/角平分线等几何量问题。综合：与三角形面积公式结合，常和两角和差、二倍角公式联动，考凑角求值、范围与最值。命题特点：结构：两小问或三小问，梯度清晰，先基础边角计算，后综合应用或最值求解。难度：稳定中档，无偏怪，侧重公式熟练与灵活转化，区分度适中。预测2026年：1.

题型与分值：极大概率仍为解答题第16题，14分，中档难度，也可能在选择/填空出基础小题，总分值或有微调但核心地位不变。2.

核心考向：基础应用：正余弦定理边角互化，解三角形求边、角、面积、周长（必考点）。综合交汇：与三角恒等变换（和差、二倍角）深度结合，考角度、三角函数值计算；与向量（数量积、模长）、基本不等式结合考范围与最值；可能涉及实际测量类应用问题。创新点：可能加入三角形的中线、高线、角平分线等几何元素，或考多三角形拼接的平面图形计算，提升空间想象与转化能力。3.

难度与趋势：整体中档，第一问基础送分，第二/三问综合提升，强调知识迁移与方法选择，突出数学运算、逻辑推理核心素养．题型01正、余弦定理解三角形边与角解｜题｜策｜略利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。例1（2026·天津静海·月考）在，角所对的边分别为，已知，．(1)求与的值：(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意结合正弦定理角化边可得出的关系，再结合已知求；（2）根据余弦定理得出，再利用同角三角函数基本关系式求；（3）根据二倍角公式求出，再根据两角和的正弦公式求解.【详解】（1）在中由正弦定理可知，因为，所以.（2）由（1）知，在中由余弦定理可知，因为在中，所以.（3）由（2）知，所以，，所以.例2（2026·天津河北·月考）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．与没有包含关系（2026·天津·调研）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理及诱导公式化简等式，即可求得；（2）由余弦定理即可解得，然后得到；（3）由正弦定理求得，判断的范围求得，从而求得，，由和角公式求得的值.【详解】（1）因为由正弦定理有①.又因为，所以代入①式有.又因为三角形内角，因此，所以.（2）由（1）知，且，，由余弦定理，则，解得或（舍去），故；（3）由正弦定理，且，，，得，由于，则为锐角，故，故，，故.【变式1（2026·天津河北·调研）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.(1)求的值；(2)求的面积；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据余弦定理即可求解，（2）根据同角三角函数关系，结合正弦定理和面积公式即可求解，（3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解.【详解】（1）因为，，，由余弦定理得，，解得.（2）因为，，，由正弦定理得，，，所以的面积.（3）因为，所以是锐角，，，，，所以.【变式2】（2026·天津河东·调研）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．(1)求；(2)求；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理得，结合已知条件即可求；（2）根据余弦定理即可求解；（3）由（2）可得，利用二倍角公式可求的正、余弦值，再利用和差的正弦公式计算即可．【详解】（1）由及正弦定理得，，

所以．因为，所以．（2）由余弦定理，

可得，

所以．（3）由（2）可得，

所以，．

所以．题型02正弦定理判定三角形解的个数解｜题｜策｜略已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定；已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定。（1）从代数的角度分析：以已知和，解三角形为例由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：=1\*GB3①若，则满足条件的三角形的个数为0；=2\*GB3②若，则满足条件的三角形的个数为1；=3\*GB3③若，则满足条件的三角形的个数为1或者2；显然由若可得有两个值，一个大于，一个小于，考虑“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行分类讨论。（2）画图法：以已知角的对边为半径画圆弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：当A为锐角时：当A为钝角时[例1（2026·天津蓟州·调研）在中，，则（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】利用正弦定理确定，根据三角形的内角和求得，进而求得；或根据余弦定理求得，并求解三角形的各角检验即可.【详解】在中，由正弦定理，得.因为，所以，或.当时，，所以；当时，，所以.故选：D.方法二：由余弦定理，得，化简得.所以，或.当时，，，符合题意；当时，，所以，，符合题意.故选：D.例2（2025·天津南开·调研）在中，下列命题不正确的是（

）A．若，则B．若，则一定为等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若，，，则有两解【答案】B【分析】根据三角形中的边角关系，边角互化可判断；根据三角函数值相等及正弦函数的性质可判断；利用余弦定理判断三角形形状可判断；利用正弦定理及正弦函数的性质可判断.【详解】对于：若，则，所以，所以，故正确；对于：，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于：，则，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确；对于：，因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角，故有两解，故正确.故选：.【变式1】（2025·天津宁河·月考）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为．【答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.【详解】在中，由及正弦定理可得：.∵有两解，，即.故答案为：.【变式2】（2026·天津南开·月考）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（

）A．，，，有两解 B．，，，有两解C．，，，有两解 D．，，，无解【答案】B【分析】根据三角形的几何性质，及正弦定理、余弦定理，逐项判断即可.【详解】对于A，因为，可得，，，则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故A错误；对于B，由于，即，所以三角形有两解，故B正确；对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误；对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误.故选：B.题型03正、余弦定理判断三角形形状解｜题｜策｜略判定三角形形状的两种常用途径1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断例1（2026·天津南开·月考）中，“”是“是以为的直角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据给定条件，利用余弦定理确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】在中，由及余弦定理，得，整理得，即，则或，因此是以为顶角的等腰三角形或以为直角的直角三角形，所以“”是“是以为的直角三角形”的必要不充分条件.故选：B例2（2025·天津滨海新·调研）在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断.【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以符号相同，若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾，从而只能，所以，所以或，所以或,所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：D.【变式1】（2025·天津武清·月考）在中，，，则一定是（

）A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定【答案】A【分析】由余弦定理结合题意化简即可判断的形状.【详解】在中，因为，，所以由余弦定理可得，所以，即，所以，结合，可得一定是等边三角形．故选：A.【变式2】（2026·天津滨海新·调研）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理化简，再结合因式分解可判断三角形的形状.【详解】因为，故，整理得，即，故，故或，故三角形为等腰或直角三角形，故选：D.题型04求三角形（四边形）的面积解｜题｜策｜略1、常用的三角形面积公式：在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。（1）（2）（3）（4）2、与三角形面积有关问题的解题策略（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；（2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量。例1（2026·天津静海·月考）已知函数，函数的最小正周期为(1)求的值及此时的对称中心.(2)将向左平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值.(3)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围.【答案】(1)，对称中心为；(2)(3)【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，结合函数的周期求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先求出平移后的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（3）首项求出，再求出的范围，利用正弦定理表示出，根据三角形面积公式将三角形面积表示为关于的三角函数并利用三角恒等变换公式化简，根据三角函数值域即可求三角形面积．【详解】（1）因为，由的最小正周期为且，所以，解得，所以，令，解得，所以函数的对称中心为；（2）将向左平移个单位得到，又为偶函数，所以，解得，所以的最小值为；（3）因为，即，又，所以，所以，则，∵，，∴，，∵，由正弦定理，所以，∴，∵，∴，∴，∴，即面积的取值范围为．例2（2025·天津·月考）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为．【答案】【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理可得，从而求得的外接圆半径，再利用正弦定理和三角形面积公式，将边化成角，替换掉，根据锐角三角形求出的范围即可求解.【详解】由得，，所以，即，所以，所以.设的外接圆半径为，由正弦定理得.所以，又，所以由是锐角三角形得，，解得，所以，所以.故答案为：.【变式1】（2026·天津·调研）已知，．(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值．【答案】(1)的最小正周期为，单调递减区间为，(2)面积的最大值为.【分析】（1）化简得，结合正弦型函数的周期公式及正弦函数性质可求结论；（2）由，可得，结合正弦定理可得，根据三角形面积公式表示的面积，结合条件及正弦函数性质可求其最值.【详解】（1）由，化简得，所以．的最小正周期；当时，化简得，，所以函数单调递减区间为：；（2）因为，所以因为，所以，所以，故．又由正弦定理可得，所以，所以，所以，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，故，所以，当且仅当时等号成立，故当时，面积取最大值，最大值为.【变式2】（2026·天津南开·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求角A的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角；（2）利用余弦定理和基本不等式得出的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．【详解】解：（1）因为由正弦定理可得，即，又，所以，因为，所以（2）因为，，所以，又，所以，即，当且仅当时取等号；所以，故三角形面积的最大值题型05三角形的外接圆问题解｜题｜策｜略正弦定理：（其中为外接圆半径）例1（2025·天津·调研）设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为.【答案】/【分析】利用球的截面圆的性质得球心到所在平面的距离，进而得到所在平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】设的边长为，由题知，解得，设外接圆的半径为，由正弦定理，得到，解得，设球心到所在平面的距离为，由球的截面圆的性质知，要使三棱锥体积的最大，则在所在平面的投影为的中心，且到所在平面距离的最大值为，所以三棱锥体积的最大值为.故答案为：.例2（2026·天津·调研）在锐角中，点O为的外心.(1)若求的值；(2)若求的值；(3)若求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)利用垂径定理，把向量的数量积转化为投影向量的数量积即可求解；(2)利用正弦定理可求外接圆半径，再利用圆心角性质，即可求模长；(3)利用向量的数量积运算，得到关于的方程求解并表示，最后转化到基本不等式求最值.【详解】（1）作根据圆的性质可得分别为的中点，则，（2）由正弦定理可知，设外接圆半径为，则有，所以，根据圆心角性质又可知，则有.（3）设三角形中角所对的边为，则由可得化简得：，还可得：，化简得：，联立解得：，，所以，当且仅当时,等号成立，此时的最大值为.【变式1】（2025·天津西青·月考）在中，，，，则边长，则的外接圆半径.【答案】/【分析】求出的值，进而可得出的值，利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理可求出的值.【详解】在中，，，，所以，，则为钝角，且，由余弦定理可得，由正弦定理可得，故.故答案为：；.【变式2】（2026·天津·月考）在中，，，的对边分别为，，，且.(1)求外接圆半径；(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理边化角结合诱导公式得到，进而得到，从而利用正弦定理即可得解；（2）根据正弦定理得，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合条件得到的取值范围，根据正弦函数的图像及性质即可得到的取值范围，从而得解.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，则，所以，又，则，所以，又，所以，又，所以，解得.（2）由正弦定理得：，所以，，所以，又，，所以，则

，又因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，则，所以，即，故，所以周长的取值范围为.题型06证明三角形中恒等式或不等式解｜题｜策｜略三角形恒等式证明策略1.

边角互化，统一变量这是最核心的思路，要么把所有边通过正弦定理换成角，要么把所有角通过余弦定理换成边。含sinA,sinB,sinC或cosA,cosB,cosC的恒等式，优先化角为边，利用余弦定理消去三角函数；含a,b,c乘积或比例的恒等式，优先化边为角，结合三角恒等变换（和角、二倍角公式）化简，注意利用A+B+C=Π转化sin(A+B)=sinC、cos(A+B)=-cosC。2.

活用三角形内角和与三角公式遇到A,B,C的三角函数和差，先利用A+B=Π-C转化，再用两角和差公式展开；涉及二倍角时，可结合降幂公式、辅助角公式简化。3.

特殊结构，巧用面积公式若恒等式含a,b,c和高、面积，可结合S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB建立边角联系，辅助化简。二、三角形不等式证明策略1.

边角互化+代数不等式化边后，可利用基本不等式（均值不等式）、三角形三边关系（两边之和大于第三边）、完全平方非负性推导；化角后，利用三角函数的有界性和单调性求解。2.

构造函数，利用单调性对于含单一角的不等式，可设角为变量，构造三角函数，利用导数或三角函数单调性判断最值。3.

借助知名不等式常见的如余弦定理结合基本不等式例1（2025·天津·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的最大值.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明；（2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简，再结合基本不等式求最值.【详解】（1）由正弦定理可知，，得，且，即，整理为，即；（2），由（1）可知，，且，所以，上下同时除以，，因为，得，所以，当时等号成立，所以，所以的最大值为.例2（2026·河天津·月考）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)记的中点为，若，且，求的周长．【答案】(1)证明见解析；(2)16.【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证；（2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得.【详解】（1）由正弦定理，得，，，，，即，，即；（2）由（1）及题设有，又，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，显然有，则，整理得，即，又，所以，从而，的周长为.【变式1】（2025·天津西青·调研）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】直角三角形中，求得，在中，由正弦定理求得，再在等腰直角求得．【详解】在直角中，，则，在中，，，所以，由正弦定理得，即，解得，所以，在等腰直角中，直角边，故选：A．【变式2】（2025·天津南开·调研）如图，是底部不可能达到的一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高.【答案】【分析】借助正切定义可得，，计算即可得解.【详解】由题意可得，，故，，则，故，故.故答案为：.题型07距离、高度、角度的测量解｜题｜策｜略解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．[例1（2025·天津滨海新·调研）桂林日月塔又称金塔银塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度米.

【答案】【分析】首先设，并表示，最后在中，根据余弦定理，即可求解.【详解】由条件可知，，，设，所以，，且米，，中，根据余弦定理，，得，（负值舍去）.所以该塔的高度米.故答案为：例2（2026·天津南开·调研）一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了2km到达地，然后由地向南偏东方向骑行了2km到达地，再从地向北偏东方向骑行了8km到达地，则A，D两地的距离为km．【答案】【分析】在中，利用余弦定理求得，通过已知求出，然后由勾股定理可得.【详解】由题可知，，所以，，所以，在中，由余弦定理得，所以，即两地的距离为.故答案为：【变式1】（2025·天津东丽·调研）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积；(3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小；（2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积；（3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围.【详解】（1）由及正弦定理得：，因为，所以，又，，，又，故；（2）由余弦定理，又，所以，所以，由可得，故的面积；（3）由正弦定理可知，故，因为是锐角三角形，所以，所以，令，，，由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减；当时，；当时，；当时，；因为，所以，故.【变式2】（2025·天津·调研）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据图形求出最小正周期可求得，代入点可求得；（2）根据求得，根据面积求出，即可由余弦定理求得.【详解】解：（1）据图象可得，故，由得：．由得：．由知，，，解得，；（2），，，，，，由题意得的面积为，解得，由余弦定理得，解得：.题型08正余弦定理与三角函数综合解｜题｜策｜略正余弦定理与三角函数综合题的核心解题策略是边角互化统一变量，结合三角恒等变换化简求解，具体可分三步推进：1.

定方向：选择边角互化路径若题干以边的代数关系为主（如a2+b2-c2=ab），优先用余弦定理化边为角，转化为cosC等三角函数式；若题干以角的三角函数关系为主（如sinA=2sinBcosC），优先用正弦定理化角为边，或利用A=Π-(B+C)拆角后结合和差公式展开；若涉及边的比例或面积，用正弦定理a=2RsinA化边为角，结合面积公式S=1/2absinC建立等式。2.

化简：三角恒等变换突破核心是活用两角和差、二倍角、降幂、辅助角公式，消去非目标角，比如遇到sin(B+C)直接替换为sinA；化简后若出现关于某一角的三角函数式（如2sinCcosC=sinC），注意结合三角形内角范围(0,Π)舍去无效解。3.

求目标：结合约束条件求解求角：化简后得到值，结合角的范围确定唯一解；求边/周长/面积：求出关键角后，用正余弦定理求边长，或结合基本不等式求最值；求范围：将目标量转化为单一角的三角函数（如a=2RsinA），利用三角函数的有界性和单调性确定范围。考法1：解三角形+三角求值例：已知a,b,c关系，求sin(A-B)的值。技巧：先求A,B的三角函数值，再用两角差公式展开，注意角的范围对符号的影响。考法2：解三角形+最值问题例：求周长的最大值或面积的最小值。技巧：化目标量为单一角的三角函数，利用辅助角公式转化为标准形式，结合角的范围求最值。例1（2025·天津·调研）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则，的取值范围为．【答案】【分析】由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，结合角的范围，得到，并利用三角恒等变换化简得到，根据为锐角三角形，求出，从而得到的取值范围.【详解】，由正弦定理得，又，故，即，为锐角三角形，，故，所以，故，，又，故，故，解得，，因为为锐角三角形，且，解得，故，，，故.故答案为：，例2（2025·天津·调研）已知，，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.【详解】解：（1）．的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递减，所以函数单调递减区间为：；（2）因为，所以，，，．设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，，，（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.【变式1】（2025·天津·调研）已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的取值范围是.【答案】【分析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角，求出的范围，即可求得结论.【详解】，，，.故答案为:【变式2】（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理得：，所以，故选：A.（建议用时：20分钟）1．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理，得，则，解得.故选：C.2．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，.(1)求C的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由余弦定理可得答案；（2）由正弦定理可得答案；（3）由平方关系求出，再利用两角和的余弦展开式化简可得答案.【详解】（1）由余弦定理，得，又因为，所以；（2）因为，由正弦定理，得；（3）因为，所以，所以，所以,.3．（2025·天津河北·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则．【答案】/【分析】应用余弦定理求余弦值即可.【详解】由题设.故答案为：4．（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，且面积，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求的值．（2）（ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而可求的值，根据余弦定理可得的值；（ⅱ）由余弦定理求得，进而可得，再根据两角差余弦及二倍角公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，可得：，由正弦定理可得：，可得：，因为，所以，所以，即，因为，所以（2）（ⅰ）因为，且，解得：，，由余弦定理可得：，解得：；（ⅱ）由余弦定理可得，所以，，，所以.5．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，．(1)求的值；(2)若，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案；（2）由正弦定理可求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理即可得出答案.【详解】（1）因为，由正弦定理，得，即．因为，，所以，．由，得，因为，所以．（2）由正弦定理，可得．又，由正弦定理，可得．6．（2025·天津北辰·三模）在中，角所对的边分别为.满足.(1)求角的大小；(2)若的面积为.①求的值；②求的值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用正弦定理边化角求解.（2）①利用余弦定理及三角形面积公式列出方程组求解；②利用余弦定理、二倍角及和角的正弦公式求解.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，又，所以.（2）①在中，，由（1）及余弦定理得，即，又，即，而，所以.②由余弦定理得而，则，，.7．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.(1)求边b的长；(2)求C的正切值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由余弦定理求解即可；（2）构造直角三角形，计算边长即可求解C的正切值；（3）由（2）可求出C的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式求解即可.【详解】（1）由余弦定理得（2）过点作于点，在中，，在中，，（3）由（2）可知因为，，8．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，，(1)求角的大小；(2)求的值与的面积；(3)求的值．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）利用辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由正弦定理得出，结合余弦定理求出、的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积；（3）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值.【详解】（1）由可得，可得，因为，则，所以，解得.（2）由正弦定理，有，所以，由（1）知，由余弦定理得，解得，，所以的面积为.（3）由余弦定理可得，所以，所以.9．（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）方法一：结合题设，根据余弦定理及正弦定理求解即可；方法二：结合题设，根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可；（2）由余弦定理先求出，再结合平方关系求解即可；（3）结合二倍角公式先求出，，结合正弦定理求出，再结合平方关系求出，进而根据两角和的余弦公式求解即可.【详解】（1）方法一：由，根据余弦定理可得，，则，即，由，根据正弦