2026年高考数学二轮复习专题09 数列的综合应用（复习讲义）（原卷版）

专题09数列的综合应用目录01析·考情精解 ④知识2几种数列求和的常用方法几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．常见的裂项技巧模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）模型4：对数型模型5：三角型（1）（2）知识3常见不等式证明放缩公式常见不等式证明放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．（15）二项式定理①由于，于是②，；，（16）糖水不等式若，则；若，则．（17）指数恒等式：次方差公式这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.（18）利用导数产生数列放缩：由不等式可得：.【易错提醒】用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。题型1通项为等差通项乘以等比通项（错位相减法求和）1．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．2．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项.(1)求数列的前n项和；(2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值；(3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.3．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.4．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，．（i）求数列的通项公式；（ii）设数列满足求数列的前项和．5．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围；(3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求．题型2通项为分数形式时（裂项相消法求和）6．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若．（ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．7．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，．(1)求、通项公式；(2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和；(3)若（其中），证明：．8．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为．(1)求的通项公式；(2)记，其中为二项式系数．（ⅰ）求数列的前项和；（ⅱ）求．9．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，.(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；(2)当在单调递增时，设，求的值；(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.10．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列.(1)求，的值；(2)求；(3)证明：.题型3通项通过加减分为几部分（分组求和）11．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍．(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足，，且当，.（i）求证：；（ii）求数列的前项的和．12．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)设，其中，求数列的前项和为；(3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：.13．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则：.14．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为.(1)求数列的通项公式；(2)记，证明对于任意的，；(3)求（其中）.15．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，