2026年高考数学二轮复习专题11 等差等比数列函数性质（题型）（天津）（解析版）

专题11等差等比数列函数性质目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01求等差等比基本量的解题技巧题型02等差数列前n项和的解题技巧题型03等比数列前n项和的解题技巧题型04数列中最值问题的解题技巧题型05数列周期性的应用及解题技巧题型06等差数列中与的关系第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01求等差等比基本量的解题技巧【例1-1】（2026·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式计算即可.【详解】由，解得.故选：D.【例1-2】（2026·天津红桥·月考）已知数列是等差数列，，则．【答案】【分析】根据等差数列的基本量计算得，再根据等差数列求和公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得，，所以，所以，，从到共有项，所以故答案为：解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．【变式1-1】（2026·天津红桥·月考）记等差数列的前项和为，则（）A．130 B．135 C．145 D．150【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，解得：，再由等差数列的前项和得：，故选：C.【变式1-2】（2026·天津东丽·月考）已知数列满足，求．【答案】30【分析】根据条件，整理变形，结合等差数列的定义，可得为等差数列，代入公式，求出，即可得答案.【详解】因为，所以，又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，则，所以.故答案为：30【变式1-3】（2026·天津滨海新·月考）若直线与圆C：相切，则①；②数列为等差数列；③圆C可能经过坐标原点；④数列的前10项和为22.以上结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用直线与圆相切，得到，由即可判断结论①；由等差数列的定义即可判断结论②；由原点坐标满足圆的方程得即可判断结论③；由等差数列前n项求和公式即可判断结论④．【详解】若直线与圆C：相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，得，时，，故①不正确；时，，故数列是首项为，公差为的等差数列，故②正确；若圆经过原点，则，则，此时，故③正确；，数列的前10项和为，故④不正确.结论正确的个数为2.故选：B.题型02等差数列前n项和的解题技巧【例2-1】（2026·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则．【答案】10【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可.【详解】等差数列共项，其中奇数项有个，偶数项有个，设等差数列的公差为，奇数项和①，偶数项和②，由①②，得，代入②式，可得，解得.故答案为：10【例2-2】（2026·天津·月考）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为.【答案】7893【分析】先确定的前2025项中的项数，然后计算的前63项的和，然后计算插入的2的个数和总和，从而求得结果.【详解】由于在和之间插入个形成一个新数列，所以新数列中包含至的总项数由个项和个插入的2构成，总项数为.计算最大的，使得，当时，，即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为项，为插入的2.数列的前63项的和为，的前2016项中插入的2的个数为个，从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为个，则插入的2的和为.所以的前2025项的和为.故答案为：7893.等差数列前n项和与函数关系令，，等差数列前项和公式是无常数项的二次函数等差数列前n项和的性质，，……仍成等差数列为等差数列推导过程：（一次函数）为等差数列【变式2-1】（2026·天津·月考）等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（

）A．4052 B．4051 C．4050 D．4049【答案】C【分析】根据等差数列的性质和前项和公式进行计算判断即可.【详解】因为等差数列中，，则.故，.故使前项和成立的最大自然数.故选：C.【变式2-2】（2026·天津武清·月考）高阶等差数列是数列逐项差之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第10层小球的个数为（

）.A．45 B．55 C．65 D．75【答案】B【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可.【详解】记第层有个球，则，结合高阶等差数列的概念知，，，则第10层的小球个数.故选：B【变式2-3】（2026·天津滨海新·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且.(1)求,的通项公式；(2)设,的前项和分别为，求.(3)设为数列的前项和，求.【答案】(1)，；(2)，；(3).【分析】（1）先利用“”，“”关联两个数列，得到和的具体值；再通过等差数列通项公式（），代入的表达式，解出公差，最终得到的通项；（2）利用等差、等比数列的基本公式（通项公式、前项和公式），结合已知条件逐步推导化简即可；（3）先把复杂数列的求和转化为基础数列的求和问题，再把两个求和结果代入的表达式，通过代数运算化简，最终得到的结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，根据等比数列通项公式，可得，由，代入可得，所以，设等差数列的公差为，因为，，根据等差数列通项公式，可得，解得，所以，因此，的通项公式为，的通项公式为；（2）根据等差数列前项和公式，因为，，可得，根据等比数列前项和公式，因为，，可得，因此，，.（3）由（2）得：，对拆项后，利用等比数列求和公式，可得，因此，.题型03等比数列前n项和的解题技巧【例3-1】（2025·天津·模拟预测）已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（

）A．30 B．32 C．42 D．46【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列前项和公式列式求解即可.【详解】依题意，，显然，，则，又，故，所以，由，得，则，解得，所以.故选：A【例3-2】（2026·天津·联考）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，……，若该数列的前项和为，则满足的整数的个数为（

）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】B【分析】由题意，根据等差、等比数列前n项求和公式依次求出每组的最后一个数，归纳出，结合即可求解.【详解】由题记第一组数为:1，个数为1，和为1，最后一个数为第1项，；第二组数为:1，2，个数为2，和为，最后一个数为第项，；第三组数为:1，2，4，个数为3，和为，最后一个数为第项，；第四组数为:1，2，4，8，个数为4，和为，最后一个数为第项，；；第组数为:1，2，4，8，，，个数为，和为，最后一个数为第项，，因式所以由可知，从13开始计数，因为，，第9组的数为:1,2,4,8,16,32,64,128,256，即所以要满足，则，，故n的个数为个.故选：B.等比数列前n项和的性质（1），，……仍成等比数列（2）【变式3-1】（2025·天津红桥·一模）等比数列的前n项和为，且，，则（

）A．24 B．28 C．36 D．48【答案】B【分析】求出公比，得到，从而得到.【详解】设公比为，则，所以，所以.故选：B【变式3-2】（2025·天津·联考）在数列中，已知，则的前10项和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件表示出的前10项和，再由等比数列求和可得答案.【详解】因为，所以，，，，，则的前10项和为.故选：C.【变式3-3】（2025·天津河西·联考）设数列的前n项和为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将给定数列化简后，利用公式法求和即可.【详解】给定数列，且设该数列为，故，则，故D正确.故选：D题型04数列中最值问题的解题技巧【例4-1】（2025·天津静海·三模）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（）A． B．当且仅当时，取得最小值C． D．数列中第5项的值最大【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可.【详解】A：因为是公差为1的等差数列，所以，因此，所以A正确；B：由上可知：，因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确；C：由上可知：，于是当时，，显然，符合，所以C正确；D：由上可知：，令，显然当时，因为，所以，而，显然数列中第5项的值最大，故D正确，故选：B【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）设为一等差数列的第项．若及，则下列何者正确？（）I．该数列的首项是100．II．III．是该数列最小的正数项．A．只有I及II B．只有I及IIIC．只有II及III D．I、II及III【答案】A【分析】由已知可求得的首项与公差，进而逐项判断即可.【详解】由题意可得是等差数列，设其公差为，由，，可得且，解得，，所以，令，得，解得，所以数列前34项为正，又，所以是该数列最小的正数项，故I正确，III错误；所以，故II正确.故选：A.解决数列的单调性问题可用以下三种方法：①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列.②用作商比较法根据或与1的大小关系进行判断③结合相应函数的图象直观判断.若，则最大，若，则最小求等差数列前项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值利用等差数列的前项和为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前项和的最值，已知等差数列的公差为,前项和为,①若有最小值，若,则最小，若,则最小；②若有最大值，若,则最大，若则最大【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（

）项．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解.【详解】由题意，可得，所以，且，又由等差数列的公差，所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，且，所以数列中最大的项为，即第6项.故选：C.【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）设为等差数列的前n项和，且满足，，对任意正整数n，都有，则k的值为（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】C【分析】根据，，结合等差数列求和公式得到，且，从而确定公差，且最小，从而得到正确答案.【详解】因为，，所以，，故，，故，且，可知等差数列的公差，且，故，，结合，可得：最小.综上：的值为1010.故选：C.【变式4-3】（2025·天津·一模）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（

）．A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定【答案】C【分析】由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案【详解】因为，，由等差数列的性质可得，所以，所以该数列的公差，所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，因为，所以，所以绝对值最小的项为，故选：C题型05数列周期性的应用及解题技巧【例5-1】（2026·天津滨海新·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根据“冰雹猜想”探讨数列的周期性，再利用该性质求得答案.【详解】在数列中，，，因此数列是以3为周期的周期数列，而，所以，故选：D【例5-2】（2026·天津·月考）已知数列满足，则.【答案】【分析】由递推关系求出可知数列是周期为3的周期数列，从而得解.【详解】因为数列满足，所以，，，……，所以数列是周期为3的周期数列，所以，故答案为：对于无穷数列如果存在一个正整数,对于任意正整数恒有成立，则称是周期为的周期数列。的最小值称为最小正周期，简称周期【变式5-1】（2026·天津·月考）已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则．【答案】【分析】先由，a1＝1，得到数列周期为4，计算出一个周期内的和为，所以.【详解】因为数列中，，；所以，，，，与相同，所以数列的周期为4一个周期内的和为，因为所以；故答案为：.【变式5-2】（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（

）．A．1350 B．1352 C．2025 D．2026【答案】B【分析】由数列的递推公式可得数列可以看作以为一个周期的数列，然后代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，，所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列，则.故选：B【变式5-3】（2025·天津滨海新·月考）若数列满足，则，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】求出的前5项，得到为周期数列，一个周期为4，故.【详解】，，，，故为周期数列，一个周期为4，故.故选：D题型06等差数列中与的关系【例6-1】（2026·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是．【答案】【分析】根据进行求解，得到答案.【详解】当时，，当时，，当时，，故，故答案为：【例6-2】（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且.(1)求数列、的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和.【详解】（1）因为，所以当时，，当时，，当时，，符合上式，所以，又因为，数列是公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.（2）由（1）知，，可得，则，，两式相减，可得，所以.等差数列中与的关系数列的前项和和通项的关系：则【变式6-1】（2024·天津·二模）已知数列的前n项和为，且满足，若对于任意的正整数n恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】降次作差即可证明为等比数列，再利用等比数列求和公式以及分离参数得，设，求出其最大值，即可得到的范围.【详解】根据，当时，;当时，，两式相减可得，即，由，得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，则可变为，即，令，则且，，，即实数的取值范围是.故答案为：.【变式6-2】（2026·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第1项起是公比为3的等比数列，得【详解】已知，则当时，，两式相减得到，即；所以数列是从第2项起是公比为3的等比数列，当时，；所以数列是从第1项起是公比为3的等比数列，所以；故选：A.【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）（2026·天津·月考）（1）已知数列前项和为，求数列的通项公式；（2）已知是公差为正的等差数列，且，，求数列的通项公式.【答案】（1），（2）；【分析】（1）利用与的关系求解；（2）在等差数列中，利用性质由的值得到的值，的等式与解方程组，求出，求出公差，利用公式求出.【详解】（1），当时，；当时，，也满足；故数列的通项公式.（2）是公差为正的等差数列，公差，，，，联立，解得，，，故数列的通项公式.1．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案.【详解】中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为，取到偶数的概率为，的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.设，，有；考虑递推关系：代入，，，当时，，为奇数的概率为，故.所以是以为首项，为公比的等比数列；所以，当时，，当时，.故选：A2．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．36【答案】A【分析】当时，可得，当时，利用作差法可得到，即当时，数列是公差为3的等差数列，从而可得，进而可得，由，可求解，的值，再利用等差数列的通项公式即可求解【详解】当时，，可得，因①，可知时，②，用①-②得：，等式两边同乘，得到，即，即当时，数列是公差为3的等差数列，所以，又，所以，又因为，则整理得，即，因为数列是正项数列，所以，所以，所以故选：A3．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（

）A．15 B．35 C．45 D．55【答案】C【分析】利用数列是等比数列求出，再求出，进而可求解.【详解】等比数列的首项为1，公比为，，，，，且，是首项为，公差为的等差数列，数列的前10项和为.故选：C.4．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（

）A．239 B．225 C．211 D．261【答案】C【分析】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解.【详解】由可得，故累加可得，故，故选：C5．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（

）A．30 B．4944 C．9876 D．14748【答案】B【分析】由题意可得数列的前项和，数列的前项和，利用，可求解.【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，数列的通项公式为，所以数列为等比数列，所以数列的前项和为，所以，，当时，.故选：B.6．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．520【答案】C【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项.【详解】由题设，则，所以，则又，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，所以，则.故选：C7．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可.【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即.若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出.所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.8．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解.【详解】数列的通项公式为，其前n项和为，所以，则数列的前2025项和为.故选：D.9．（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（

）A．60 B．54 C．42 D．36【答案】C【分析】首先根据等比数列的性质计算出，