2026年高考数学二轮复习专题11 立体几何截面及动点压轴小题7大考向（重难）（天津）（原卷版）

重难点11：立体几何截面及动点压轴小题内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津卷以5分选填压轴（10-12题）为主，截面考形状/面积/与球截面，动点考轨迹/最值/范围，难度中高档，核心是直观想象+逻辑推理+几何/向量双解法。三年共性规律：必出5分选填压轴；高频模型：正方体/长方体/正棱锥+截面/动点；核心方法：截面用交线法/延展法，动点用轨迹法/函数法/向量法；核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算；陷阱常为截面漏顶点/轨迹边界漏判/球心位置错算预测2026年：2026预计题型稳定、融合加深，更侧重截面与动点耦合+新情景建模，强化临界分析与多解验证。侧重：基础型：截面形状判定+面积计算（保分），如正方体中过棱中点的截面为正六边形，算面积。中档型：截面+体积/距离，如棱锥中截面平行于两线，求截面面积最值，用相似比²=面积比转化。新情景：翻折/旋转+截面/动点（如平面图形翻折成棱锥，求截面周长最值）、实际建模（容器截面/机械轨迹）、含参数递推动点，强化分类讨论与临界值验证。难度与陷阱：难度中高档；陷阱在截面交线漏找、轨迹边界漏验、球心到截面距离错算、函数定义域漏判。考向1：作出空间几何体的截面1、作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线；（2）凡是相交的直线都要画出它们的交点；（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线；2、作交线的方法有如下两种：（1）利用基本事实3作直线；（2）利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线。1．如图，在正方体中，点、、分别为、和边的中点(1)画出过、、三点的截面（保留作图痕迹）；(2)若正方体的棱长为2，求截面的面积；(3)证明：直线平面2．在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．

(1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）．(2)计算截面的周长．(3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长．3．已知正三棱台，点分别在上，且

(1)求过点的平面截正三棱台的截面周长；(2)求直线与平面所成的角的正弦值；(3)求二面角平面角的余弦值．4．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点，(1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由；(2)求三棱锥的外接球的表面积；(3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值．5．（2025·天津·模拟预测）如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、．(1)画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积；(2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值．考向2：判断截面多边形的形状判断截面多边形形状时需要注意以下几点：1、截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。2、不会与同一个表面有两条交线。3、与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）4、截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系1．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列．圆形截面正方形截面矩形截面条件r为圆半径a为正方形边长h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b抗弯截面系数(1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数；(2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由．2．如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点.(1)求直线到平面的距离；(2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；(3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.3．在三棱锥中，平面，，，M，N分别为PA，AB的中点，平面过点M且平行于平面PNC，则截三棱锥所得截面图形的形状为，截面图形的周长为.4．（2025·天津·一模）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是.5．在长方体中，过直线的平面交直线于点E，交直线于点F，则四边形的形状为.考向3：求解截面多边形的周长求解截面多边形的周长有两个思路：（1）利用多面体展开图进行求解；（2）在各个表面确定交线，分别利用解三角形进行求解。1．在边长为12的正方体中，，分别为线段，上的点，且满足，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为边形；该多边形的周长为2．已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为.3．如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为．4．如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为.5．（2025·天津·模拟预测）已知正方体的棱长为为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为.

考向4：求解截面多边形的面积求解截面多边形的面积问题的步骤：（1）通过解三角形求得截面多边形各边的长度；（2）判断多边形的形状是否规则，若为规则图形可直接使用面积公式求解；否则可通过切割法将多边形分为多个三角形求解。1．下列命题中，是真命题的是.（请填上所有正确命题的序号）①底面是矩形的平行六面体是长方体②正四面体的高为其棱长的倍③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大2．如图，已知正四棱锥中，在平面内，正四棱锥可绕着任意旋转，平面．若，则正四棱锥在平面内的投影面积的取值范围是．3．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是．4．（2025·天津·二模）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于5．如图，已知正方形的边长为2，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得.空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为.考向5：截面分割几何体的体积问题截面分割后的几何体易出现不规则的几何体，对此往往采用“切割法”或“补形法”进行体积的求解。1．如图，在正方体中，分别是棱，的中点，点在面对角线上运动，给出下列四个结论：

①直线平面；②平面截正方体所得的截面图形是五边形；③；④三棱锥的体积不变．其中所有正确结论的序号是．2．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是．①若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4；②勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是；③勒洛四面体ABCD的体积是；④勒洛四面体ABCD内切球的半径是．3．半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为．4．如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是.5．（2025·天津·月考）如图，在正方体中，E.分别为棱的中点.则过点的截面分正方体上下两部分的体积之比为.考向6：截面最值的相关问题截面最值问题的计算，主要由以下三种方法：1、极限法：通过假设动点运动至两端，计算最值（需注意判断是否单调）；2、坐标法：通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解；3、化归法：通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中的最值计算。1．已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（

）A．3 B．4 C．5 D．62．在棱长为2的正方体中，分别是，上的动点，

(1)若正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为，并画出此时与正方体的截面；(2)求的最小值；(3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的最小值，及此时点的位置．3．（2026·天津·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面平面．(1)证明：平面平面；(2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值；(3)若二面角的余弦值为，求.4．如图，已知正方体的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，由点、、确定的平面为，有下列四个命题：①平面截正方体的截面始终为四边形；②点运动过程中，三棱锥的体积为定值；③平面截正方体的截面面积的最大值为；④三棱锥的外接球表面积的取值范围为．其中，正确命题的序号有．5．正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为.考向7：球的截面问题求解球的截面问题的要点：（1）确定球心与半径；（2）寻找作出并计算截面与球心的距离；（3）充分利用“球心做弦的垂线，垂足是弦中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。1．（2025·天津·模拟预测）设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为.2．已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2025·天津·模拟预测）如图，正方形的边长为．现沿对角线将翻折到的位置，使二面角成直二面角．分别为的中点，点四点都在球的表面上，则过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值是．

4．（2025·天津南开·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则平面截该正方体的外接球得到的截面的面积为（

）A． B． C． D．5．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（

）A．若在线段上，则的最小值为B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为（建议用时：60分钟）1．（2025·天津和平·三模）已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（

）A． B． C． D．2．（2025·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（

）A． B． C． D．3．（2025·天津南开·模拟预测）海棠同学在参加南开中学陶艺社时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为厘米，则该球的表面积为平方厘米.

4．（2025·天津·一模）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（

）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为C．勒洛四面体的体积是D．勒洛四面体内切球的半径是5．（2025·天津津南·模拟预测）《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，现提供一中计算“牟合方盖”体积的方法，显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到上述正方形的内切圆，结合祖暅原理，利两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等.若正方体棱长为3，则“牟合方盖”体积为（

）

A．6 B．12 C．18 D．246．（2025·天津红桥·二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（

）A． B．C． D．7．（2025·天津南开·模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(

)A． B． C． D．38．（2025·天津红桥·二模）两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为.9．（2025·天津·一模）“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法：夹在两个平行平面之间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的（不超过三次）多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一．即，式中，，，依次为几何体的高、上底面积、下底面积、中截面面积．如图，现将曲线与直线及轴围成的封闭图形绕轴旋转一周得到一个几何体，则利用辛卜生公式可求得该几何体的体积为（

）A． B． C． D．1610．（2025·天津西青·模拟预测）下列说法正确的个数为（

）①用一个平面去截圆锥，截面