2026年高考数学二轮复习专题12 数列递推归类（题型）（天津）（解析版）

专题12数列递推归类目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01叠加法题型02叠乘法题型03待定系数法题型04同除以指数题型05取倒数法题型06已知通项公式与前项的和关系求通项问题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01叠加法【例1-1】（2026·天津武清·月考）求下列数列的通项公式(1)已知数列满足，求；(2)正项数列满足，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累加法求得正确答案.（2）利用累乘法求得正确答案.【详解】（1）依题意，，所以，也符合上式，所以.（2）依题意，，则，所以，也符合上式，所以.【例1-2】（2026·天津红桥·月考）数列中，，，则．【答案】【分析】先利用递推式列出递推关系，再通过累加法求通项公式．【详解】，，时，，，，，符合条件，．故答案为：数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和【变式1-1】（2026·天津滨海新·月考）已知数列满足，则的最小值为.【答案】【分析】本题主要考查累加法在求数列通项公式中的应用及单调性在求数列的最小项中的应用.先由题设，然后利用累加法求得，进而求得，再利用单调性求得其最小值.【详解】，将以上式子相加，可得：，即，又当时，有也适合上式，，易知：当时，单调递减；当时，单调递增，又的最小值为.故答案为：【变式1-2】（2025·天津南开·调研）已知数列满足，，则数列的通项公式.【答案】【分析】由题化简得出，则用累加法可求出.【详解】若，则，即，这与矛盾，所以，由，两边同时除以，得，则，，，，上边的式子相加可得：，所以.故答案为：【变式1-3】（2025·天津·调研）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前5项分别为1，3，6，10，15，设数列的前n项和为，则.【答案】/【分析】结合题意可得数列是以为公差，为首项的等差数列，即可得其通项公式，再借助裂项相消法求和即可得解.【详解】因为是二阶等差数列，由题意可得，故数列是以为公差，为首项的等差数列，即，则有时,，，，，则，即，也适合，故，故，则.故答案为：.题型02叠乘法【例2-1】（2026·天津蓟州·月考）已知数列满足，，且是公比为的等比数列，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意求出的通项公式，再根据，利用累乘法求出时的表达式，验证，即可确定的通项公式，即可求得答案.【详解】由题意知是公比为的等比数列，，则；故当时，，则，当时，也适合上式，故，则.故选：A【例2-2】（2025·天津·月考）在数列中，，.则（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】由累乘法可求得，代入求值即可.【详解】，即，所以，,显然满足上式，所以，则.故选：C.数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式【变式2-1】（2025·天津滨海新·月考）已知数列的项满足，而，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用累乘法可数列的通项公式.【详解】由已知，即则时，，，，，，，等式左右分别相乘可得，又，适合上式，所以，故选：B.【变式2-2】（2025·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是【答案】【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解.【详解】由，则，即，又，则，故数列是以为首项，为公差的等差数列，即，则有，，，，且，故，即，显然均满足.故答案为：.【变式2-3】（2026·天津和平·调研）已知数列满足，数列的首项为2，且满足(1)求和的通项公式(2)设，求数列的前n项和【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据即可求出的通项，利用累乘法即可求出的通项；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）由①，当时，，当时，②，由①②得，所以，当时，上式也成立，所以，因为，所以，当时，，当时，上式也成立，所以；（2），则，，两式相减得，所以.题型03待定系数法【例3-1】（2025·天津·调研）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为.【答案】【分析】变形得到，故为公比为2的等比数列，从而得到通项公式.【详解】，又，故为公比为2的等比数列，故，所以.故答案为：【例3-2】（2025·天津西青·联考）已知数列，下列结论不正确的是（）A．若为等比数列，则数列是等差数列B．若，，则C．若，，则D．若为等差数列，则数列是等比数列【答案】A【分析】对于A，当是负数构成的等比数列时，此时没有意义；对于B，构造等比数列即可求解数列的通项；对于C，用累加法求解即可；对于D，根据等比数列的定义证明即可.【详解】对于A，若是负数构成的等比数列，此时没有意义，故A错误；对于B，等价于，数列是以为首项，公比为2的等比数列，，故B正确；对于C，，，故C正确；对于D，若为等差数列，可设，（常数）数列是等比数列，故D正确.故选：A.形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．【变式3-1】（2025·天津·调研）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（

）（参考数据：，，，）A．1240 B．1260 C．1280 D．1290【答案】B【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项公式，代入计算即可.【详解】依题意，当时，，则，于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列，则，即，所以.故选：B．【变式3-2】（2025·天津和平·调研）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．9 B．21 C．45 D．93【答案】C【分析】利用将条件转化为关于数列的递推式，然后构造等比数列求出数列的通项公式，进而可得的值.【详解】由得，整理得，又得，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即所以.故选：C.【变式3-3】（2025·天津滨海新·开学考试）已知数列满足，，则以下结论正确的个数是（

）①为等比数列；②的通项公式为；③为递增数列；④的前n项和.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据等比数列的定义即可判断①；由①选项结合等比数列的通项即可判断②；作差判断的符号即可判断③；利用分组求和法即可判断④.【详解】因为，且，可知，所以，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故①正确；则，所以，故②错误；因为，因为，所以，所以，所以为递减数列，故③错误；由上得，所以，故④正确.故选：C.题型04同除以指数【例4-1】（2026·天津河北·月考）已知数列中,,（）则.【答案】7【分析】由递推公式依次求得.【详解】当时，，当时，，故答案为：7【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知数列中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解.【详解】已知，两边同时除以，可得，即.又当时，，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以.故选：A形如，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）设数列的前项和为，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，可求出的值，当时，由可得，两式作差可判断出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可得出的表达式，逐项判断即可.【详解】因为数列的前项和为，，当时，，解得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，整理可得，等式两边同时除以可得，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，故，所以，故，，故，A错B对；由题意可得，所以，CD都错.故选：B.【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出.【详解】由，得，即，而，则，即，，由数列为递增数列，得任意的恒成立，则，即恒成立，当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则，当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则，所以实数的取值范围为.故选：A【变式4-3】（2025·天津·一模）已知正项数列中，，则数列的通项（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：给已知等式两边同除以，令则可得，从而得数列是等比数列，求出，进而可求出；解法二：设，化简后与已知等式比较可得，从而可得数列是首项为，公比为2的等比数列，进而可求出.【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，令，则①式变为，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比为，所以，即，所以，所以，解法二：设，则，与比较可得，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D题型05取倒数法【例5-1】（2026·天津蓟州·月考）已知数列满足：，.(1)数列是否为等差数列？请说明理由；(2)求；(3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由.【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析.(2)(3)是数列中的项，是第5项，理由见解析.【分析】（1）将原等式进行变形，根据等差数列的定义判断即可.（2）根据（1）中的数列是等差数列先求出其通项公式，进而可求得结果.（3）若是数列中的项，则是数列中的项，然后代入数列的通项公式中求出即可.【详解】（1）数列是等差数列，理由：因为数列满足：，，所以.所以，所以数列是等差数列.（2）由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3，所以，所以.所以.（3）若是数列中的项，则是数列中的项，令，则，解得.所以是数列中的第5项.【例5-2】（2026·天津南开·开学考试）数列中，，求.【答案】【分析】根据条件，化简整理可得为等差数列，根据公式，可得，代入数据，即可得答案.【详解】因为，所以，即，又，则，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以.对于，取倒数得．当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．【变式5-1】（2025·天津·一模）已知数列满足：，.若，(1)求证：为等差数列.(2)求数列的通项公式【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证；（2）根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式.【详解】（1）因为，所以，即，且因为，所以，，所以是以为首项，为公差的等差数列；（2）由(1)知，又，所以，即数列的通项公式为.【变式5-2】（2025·天津红桥·调研）在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据递推公式直接计算得到答案.【详解】，，则，，，.故选：A.【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）已知数列满足递推关系，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.【详解】由，所以则，又，所以所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列所以，则所以故选：B题型06已知通项公式与前项的和关系求通项问题【例6-1】（2026·天津蓟州·月考）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)集合共有4个元素，求实数范围.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）用换递推公式中的，然后两式相减，化简得，利用等比数列通项公式可得，利用等差数列的通项公式可得；（2）代入和，裂项相消，可求和；（3）令，研究数列的单调性，要求恰好有4个元素，即恰好有4个，使得，只需.【详解】（1）当时，用替换得：，将原式与时的式子相减得：，两边乘以得，；当时，有，上式也成立，故是首项为、公比为的等比数列，因此，点在直线上，所以，故是首项为、公差为的等差数列，因此，（2）由(1)知，，，所以，故.（3）由(1)知，，所以，该表达式对有意义，令，计算部分值：，，，，，又，当时，故对恒成立，在时单调递减，所以对恒成立.集合的元素是满足的自然数（），要求恰好有4个元素，即恰好有4个，即，使得，当时，均满足，至少有5个元素；当（即时，满足，而不满足，恰好4个元素；当时，满足条件的减少至2个或更少.因此，恰有4个元素当且仅当，即.【例6-2】（2026·天津滨海新·月考）若数列的前项和是，则数列的通项公式是.【答案】【分析】利用与之间关系直接求解即可.【详解】当时，；当时，，不满足；.故答案为：.对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．【变式6-1】（2026·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可.【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，，所以，故选：A【变式6-2】（2026·天津红桥·月考）已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据计算求解得出结合，计算求解.【详解】因为，则，当时，则，且，所以，当时，，且，即，则.故选：C.【变式6-3】（2026·天津河北·月考）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式（2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【分析】根据求解即可.【详解】（1）因为，当时，，当时，，又不满足上式，所以；（2）因为，当时，，当时，，又满足上式，所以.1．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意可得，即可求出，再根据两边同除以，可得，即可求出（2）根据分组求和、裂项求和及错位相减法，即可求出答案.【详解】（1），，，，又，，，，由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列，，从而数列的通项公式为（2）由（1）知，，，设，则，两式相减得，整理得，.2．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则.【答案】【分析】通过题给条件逐项计算发现规律，即可写出的值.【详解】由题知，即，因为，解得，时，，即，因为，解得，时，，即，即，因为，解得，同理可得，.故答案为：.3．（2025·天津河北·一模）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式；（2）由（1）先求出，再利用错位相减法即可求出数列的前项和；（3）先根据已知条件整理得，设数列的前项和为，然后分组求和，利用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，则由，即，得，解得或，因为，故舍去，所以，．（2）由（1）得，，所以，令数列的前项和为，则，即①，②，两式相减得：，所以.（3）设数列的前项和为由，，得，则，即；故.4．（2025·天津·模拟预测）数列的前项和，则数列中的最大项为．【答案】【分析】根据与的关系，可得到，进而求出，，通过求解，解出正整数，即可求得数列中的最大为.【详解】当时，，当时，由已知，，，则，当时，，满足，所以，设，则，设数列中的第项最大，则应满足，即，整理得，解得，又，所以，又，所以数列中的最大项为.故答案为：.5．（2024·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．（ⅰ）求数列的通项公式及；（ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)（ⅰ），；（ⅱ）不存在，理由见解析【分析】（1）当时，由可得，两式作差可得出，再由可得出，求出的值，确定等比数列的公比，即可求得数列的通项公式；（2）①求得，利用错位相减法可求得；②假设在数列中是否存在三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，由等比数列的定义结合已知条件化简得出，结合以及可得出结论.【详解】（1）（1）方法一：当时，，则，为等比数列，等比数列的公比为3，当时，解得：．方法二：设公比为为等比数列解得或3，，，（2）（2）（ⅰ）设两式相减得方法二：设两式相减得（ⅱ）假设存在满足题意的3项，成等比数列，，即成等差数列，，整理可得：，又，即，解得：，则，与题设矛盾。假设错误，即不存在满足题意的3项．6．（2024·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第项．【答案】【分析】当时求出，当时，，作差即可求出的通项公式，从而求出，即可表示出，再由基本不等式求出数列的最大项.【详解】因为，当时，，解得；当时，，两式相减得，即，经检验当时也成立，所以；因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号．所以数列的最大项为第项.故答案为：；．7．（2025·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用递推关系求出，再利用裂项相消法求和即可得出答案.【详解】当时，，当时，，，两式相减可得：，所以，又时，，所以不满足，所以，设，数列的前项和，所以，设数列的前5项和为：.故选：D.8．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项.(1)求和的通项公式：(2)若，求数列的前项和；(3)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，设正项等比数列的公比为，由等比中项的性质求出，再由等差中项的性质求出，即可求出的通项；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得；（3）由（1）可得，利用裂项相消法及分组求和法计算可得.【详解】（1）因为，所以，即，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，设正项等比数列的公比为，由，解得或（舍去），又是与的等差中项，所以，即，即，解得（负值舍去），所以.（2）由（1）可得，所以，所以，所以，所以.（3）由（1）可得，所以当为偶数时，当为奇数时，综上可得.9．（2025·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范